沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题09 勾股定理（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题09 勾股定理（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共73页。

©知识点一：勾股定理
◎考点1：用勾股定理解三角形
例．(2023·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，点D是AB的中点，连接CD，若，，则CD的长度是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
练习1．(2023·山西太原·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6B．4.8C．10D．5
练习2．(2023·全国·八年级期中）如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cmB．12cmC．13cmD．15cm
练习3．(2023·贵州毕节·九年级期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
◎考点2：求两点间的距离
例．(2023·甘肃玉门·八年级期末）点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3B．4C．－4D．5
练习1．(2023·河北·宽城满族自治县教研室八年级期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，且，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.2B．C．D．
练习2．(2023·湖南永兴·八年级期末）关于点P（﹣3，4），下列说法正确的个数有（ ）
（1）点P到x轴的距离为4；（2）点P到y轴的距离为﹣3；（3）点P在第四象限；（4）点P到原点的距离为5；（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
练习3．(2023·广西凤山·八年级期末）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（ ）
A．5B．7C．D．
◎考点3：勾股树（数）问题
例．(2023·福建省福州第十六中学八年级期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．15，8，7B．4，5，6C．24，25，7D．5，12，13
练习1．(2023·甘肃会宁·八年级期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．，，B．0.3，0.4，0.5C．6，7，8D．5，12，13
练习2．(2023·江苏灌云·八年级期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（ ）
A．，，B．6，7，8C．3，4，6D．9，40，41
练习3．(2023·陕西·碑林区教育局八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．7，24，25D．，，
◎考点4：勾股定理与网格问题
例．(2023·福建·福州华伦中学八年级期末）如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．3C．3.5D．4
练习1．(2023·浙江龙湾·八年级期中）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A．B．2C．D．
练习2．(2023·江苏高邮·八年级期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（ ）
A．130B．140C．135D．145
练习3．(2023·福建省福州第十九中学八年级期中）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
◎考点5：勾股定理与折叠问题
例．(2023·山东曹县·三模）如图，三角形纸片，，，点E为AB的中点，沿过点E的直线折叠使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F，，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·山东莱州·七年级期中）如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
练习2．(2023·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．12B．8C．10D．13
练习3．(2023·四川·达州中学八年级期中）如图，长方形ABCD中，，，点E在BC边上，将长方形ABCD沿着AE折叠，使得点B恰好落在CD边上，线段AE的长度为（ ）
A．15B．5C．5D．16
◎考点6：利用勾股定理证明线段平方关系
例．(2023·江苏兴化·八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7B．9C．16D．25
练习1．(2023·浙江·八年级期末）如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（ ）
A．的内角和仍为B．C．D．
练习2．(2023·陕西·榆林市第一中学分校八年级阶段练习）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
练习3．(2023·山西定襄·八年级期末）中，斜边，为边上的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
◎考点7：勾股定理的证明方法
例．(2023·广东顺德·八年级期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个B．3个C．2个D．1个
练习1．(2023·全国·八年级）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
练习2．(2023·河北·临漳县教育体育局教研室八年级期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·辽宁铁岭·八年级期中）如图，两个大正方形的面积分别为132和108；则小正方形M的面积为（ ）
A．240B．C．D．24
◎考点8：用勾股定理构造图形解决问题
例．(2023·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10B．8C．5D．4
练习1．(2023·福建泉港·八年级期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·山东济阳·八年级期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·吉林朝阳·八年级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点9：勾股定理与无理数
例．(2023·江苏海州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
练习1．(2023·贵州毕节·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
练习2．(2023·重庆市实验学校八年级期中）如图，点C所表示的数是（ ）
A．B．﹣C．1﹣D．﹣
练习3．(2023·浙江诸暨·八年级期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2B．+1C．2D．﹣1
©知识点二：勾股定理的应用
◎考点10：梯子滑落高度
例．(2023·湖北荆门外语学校八年级阶段练习）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
练习1．(2023·浙江·九年级期末）如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
练习2．(2023·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m
练习3．(2023·浙江·八年级期末）如图，斜靠在墙上的一根竹竿，，．若端沿地面方向外，则端沿垂直于地面方向下移（ ）
A．等于B．小于C．大于D．不确定
◎考点11：求旗杆高度
例．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·河南鄢陵·八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（ ）米．
A．5B．12C．13D．17
练习2．(2023·北京海淀·八年级期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8mB．10mC．12mD．15m
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）

A．12B．13C．15D．24
◎考点12：求大树折断前的高度
例．(2023·广东·深圳市新华中学八年级阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
练习1．(2023·河南通许·九年级期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2-（x+3）2=82B．x2-（x-3）2=82C．（x+3）-x2=82D．（x-3）2-x2=82
练习2．(2023·福建·古田县新城初级中学八年级阶段练习）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5尺B．12尺C．13尺D．15尺
练习3．(2023·陕西长安·八年级期中）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2＋62＝（10﹣x）2B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2＋6＝（10﹣x）2D．x2﹣6＝（10﹣x）2
◎考点13：水杯中的筷子问题
例．(2023·陕西泾阳·八年级期中）如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cm
A．1B．2C．3D．4
练习2．(2023·山东邹城·八年级期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8B．10C．13D．12
练习3．(2023·江苏广陵·八年级期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为 （ ）
米B．3米C．4米D．12米
◎考点14：航海问题
例．(2023·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
练习1．(2023·辽宁建昌·八年级期末）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500mB．1200mC．1000mD．800m
练习2．(2023·广西象州·八年级期中）如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·河北滦州·二模）如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上
◎考点15：求河宽度
例．(2023·山西潞城·八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2kmB．4kmC．10 kmD．14 km
练习1．(2023·黑龙江·哈尔滨市征仪路学校八年级期中）一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440mB．460mC．480mD．500m
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（ ）
A．480 m B．380 m C．580 mD．500 m
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
◎考点16：求台阶上地毯长度
例．(2023·全国·八年级）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6B．8C．9D．15
练习2．(2023·甘肃·广河县回民第二中学八年级期中）在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A．13mB．5mC．12mD．17m
练习3．(2023·山东淄博·一模）地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cmB．100cmC．150cmD．200cm
◎考点17：求台风是否受影响
例．(2023·重庆·八年级期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
练习1．（2011·湖北武汉·中考真题）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）

A．秒B．秒C．秒D．秒
练习2．(2023·河南洛龙·八年级期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（3.5，0）C．（，0）D．（5，0）
练习3．(2023·湖北·武汉经济技术开发区第一初级中学八年级阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
◎考点18：最短路径问题
A．4B．5C．6D．7
例．(2023·辽宁和平·八年级期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）
A．B．5C．D．
练习1．(2023·广东普宁·八年级期末）如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cmB．2cmC．5cmD．10cm
练习2．(2023·辽宁苏家屯·八年级期中）如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．2cmB．2cmC．10cmD．13cm
练习3．(2023·全国·八年级）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15B．20C．18D．30
专题09 勾股定理和性质应用
【思维导图】
©知识点一：勾股定理
◎考点1：用勾股定理解三角形
例．(2023·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，点D是AB的中点，连接CD，若，，则CD的长度是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
答案:C
解析：
分析：
先利用勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解：在中，，，，
，
点是的中点，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
练习1．(2023·山西太原·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6B．4.8C．10D．5
答案:A
解析：
分析：
根据菱形的性质及勾股定理，可求出BC的长，利用菱形的面积公式即可求出AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等，熟练掌握并灵活应用菱形的性质是解题关键．
练习2．(2023·全国·八年级期中）如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cmB．12cmC．13cmD．15cm
答案:D
解析：
分析：
先将不规则图形补成长方形，再利用勾股定理计算BC的长度．
【详解】
解：延长AB、DC交于H点，
由题意知：BH=12﹣3=9，CH=16﹣4=12，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查再不规则图形中应用勾股定理，能够在不规则图形中构造直角三角形并运用勾股定理是解决本题的关键．
练习3．(2023·贵州毕节·九年级期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案:C
解析：
分析：
根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到OC的长．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，，，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点，
∴OE为的中位线，
∴AD=2OE=6，，
∴，
∵点O为BD的中点，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
◎考点2：求两点间的距离
例．(2023·甘肃玉门·八年级期末）点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3B．4C．－4D．5
答案:D
解析：
分析：
利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
解：点到坐标原点的距离是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．
练习1．(2023·河北·宽城满族自治县教研室八年级期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，且，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.2B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点坐标．
【详解】
解：∵，
∴＝，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数是：．
故选D．
【点睛】
此题考查实数与数轴，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出．
练习2．(2023·湖南永兴·八年级期末）关于点P（﹣3，4），下列说法正确的个数有（ ）
（1）点P到x轴的距离为4；（2）点P到y轴的距离为﹣3；（3）点P在第四象限；（4）点P到原点的距离为5；（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案:B
解析：
分析：
根据已知点所在象限，画出图形，进而分析得出答案．
【详解】
解：如图所示：
（1）点P到x轴的距离为4，故（1）正确；
（2）点P到y轴的距离为3，故（2）错误；
（3）点P在第二象限，故（3）错误；
（4）点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为3，根据勾股定理可得，点P到原点的距离为5，故（4）正确；
（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），故（5）正确．
所以正确的个数有3个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，正确确定P点位置是解题关键．
练习3．(2023·广西凤山·八年级期末）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（ ）
A．5B．7C．D．
答案:A
解析：
分析：
过点作轴于点，则，，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，过点作轴于点，
则．
，
，，
在中，，，，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
◎考点3：勾股树（数）问题
例．(2023·福建省福州第十六中学八年级期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．15，8，7B．4，5，6C．24，25，7D．5，12，13
答案:B
解析：
分析：
利用勾股数的定义（勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数），最大数的平方=最小数的平方和，直接判断即可．
【详解】
解：A、，故A不符合题意．
B、，故B符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了勾股数的判别，熟练掌握勾股数的定义，是求解该题的关键．
练习1．(2023·甘肃会宁·八年级期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．，，B．0.3，0.4，0.5C．6，7，8D．5，12，13
答案:D
解析：
分析：
根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解
【详解】
解：A、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，则不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、 ，是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
练习2．(2023·江苏灌云·八年级期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（ ）
A．，，B．6，7，8C．3，4，6D．9，40，41
答案:D
解析：
分析：
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、三个数都不是正整数，不是勾股数，故该选项不符合题意；
B、62+72≠82，不是勾股数，故该选项不符合题意；
C、32+42≠62，不是勾股数，故该选项不符合题意；
D、92+402=412，三边是整数，同时能构成直角三角形，是勾股数，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
练习3．(2023·陕西·碑林区教育局八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．0.3，0.4，0.5
C．7，24，25D．，，
答案:C
解析：
分析：
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【详解】
解:A、22+32≠42，故此选项错误；
B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项错误；
C、72+242＝252，故此选项正确；
D、（）2+（）2≠（）2，同时它们也不是正整数，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
◎考点4：勾股定理与网格问题
例．(2023·福建·福州华伦中学八年级期末）如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．3C．3.5D．4
答案:B
解析：
分析：
利用面积法求三角形的高即可．
【详解】
解：∵BC＝5，AC＝ ＝5，
∴S△ABC＝×BC×3＝×AC×BD，
∴BD＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
练习1．(2023·浙江龙湾·八年级期中）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A．B．2C．D．
答案:C
解析：
分析：
过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，的长，再利即可求解．
【详解】
解：如图：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，，
S△ABC＝BC•AD，
，
∴AD＝，
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形面积的求法，结合网格的特点求出三角形的面积是解题关键．
练习2．(2023·江苏高邮·八年级期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（ ）
A．130B．140C．135D．145
答案:C
解析：
分析：
由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】
解，设每个小方格的长为1
由勾股定理可得，，
∵，即，
∴为等腰直角三角形
∴，
∴
故选C
【点睛】
此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，得到为等腰直角三角形．
练习3．(2023·福建省福州第十九中学八年级期中）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
答案:B
解析：
分析：
通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果．
【详解】
解：如图所示：
由作图可知，∠1＝∠4，∠2＝∠3，AC＝BC，
设正方形方格的边长为1，则 ；；
∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等图形，正确构建等腰直角三角形是解答本题的关键．
◎考点5：勾股定理与折叠问题
例．(2023·山东曹县·三模）如图，三角形纸片，，，点E为AB的中点，沿过点E的直线折叠使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F，，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
由折叠的性质可知，所以可求出，由直角三角形的性质可知，所以的长可求，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】
解： 沿过点的直线折叠，使点与点重合，
点E为中点，

故选：C
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形斜边中线与斜边的关系以及勾股定理的运用，求出是解题的关键．
练习1．(2023·山东莱州·七年级期中）如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案:A
解析：
分析：
根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；
由题意得：AF=AD=BC=10，
由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=102-82，
∴BF=6，
∴CF=BC-BF=10-6=4；
设EF=DE=x，EC=8-x；
在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，
解得：x=5，
∴EF=DE=5，
∴EC=CD-DE=8-5=3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．
练习2．(2023·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．12B．8C．10D．13
答案:D
解析：
分析：
设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．
【详解】
设BE为x，则DE为x，AE为25-x
∵四边形为长方形
∴∠EAB=90°
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
练习3．(2023·四川·达州中学八年级期中）如图，长方形ABCD中，，，点E在BC边上，将长方形ABCD沿着AE折叠，使得点B恰好落在CD边上，线段AE的长度为（ ）
A．15B．5C．5D．16
答案:B
解析：
分析：
根据题意，中可得，进而可得，设，则，在中，勾股定理求得，即的值，进而求得，在中，勾股定理即可求得的长
【详解】
四边形是长方形
折叠
中可得，
设，则，
在中，
解得
，
在中，
故选B
【点睛】
本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
◎考点6：利用勾股定理证明线段平方关系
例．(2023·江苏兴化·八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7B．9C．16D．25
答案:C
解析：
分析：
连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在在与中，利用勾股定理可得，在在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得．
【详解】
解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
练习1．(2023·浙江·八年级期末）如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（ ）
A．的内角和仍为B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、△A′BC的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意；
B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，
∴∠BA′C＜∠BAC正确，故本选项正确，不合题意；
C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本选项正确，不合题意；
D、应为A′B2+A′C2＞BC2，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键．
练习2．(2023·陕西·榆林市第一中学分校八年级阶段练习）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
答案:B
解析：
分析：
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
练习3．(2023·山西定襄·八年级期末）中，斜边，为边上的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理解题即可．
【详解】
中，斜边，为边上的中点，
根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线的性质、直角三角形勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
◎考点7：勾股定理的证明方法
例．(2023·广东顺德·八年级期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案:A
解析：
分析：
分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】
解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点睛】
此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
解析：
分析：
利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；
③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．
练习2．(2023·河北·临漳县教育体育局教研室八年级期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，
利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，
利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，
利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．
练习3．(2023·辽宁铁岭·八年级期中）如图，两个大正方形的面积分别为132和108；则小正方形M的面积为（ ）
A．240B．C．D．24
答案:D
解析：
分析：
根据勾股定理的验证可得即可得解；
【详解】
根据勾股定理的验证可得：；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的验证，准确分析计算是解题的关键．
◎考点8：用勾股定理构造图形解决问题
例．(2023·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（ ）
A．10B．8C．5D．4
答案:A
解析：
分析：
若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
若蚂蚁从侧表面从A爬行到B，将此圆柱展成平面图得：
∵圆柱的高等于8，底面半径为2（π=3），
∴AC=8，BC==4π=6，
∴AB=10．
根据两点之间线段最短，蚂蚁从侧表面从A爬行到B最短路径为10．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
练习1．(2023·福建泉港·八年级期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．
【详解】
如图所示，路径一：AB；
路径二：AB．
路径三：AB=
∵18＜20＜26
∴，
∴蚂蚁爬行的最短路程为．
故选B．
【点睛】
本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
练习2．(2023·山东济阳·八年级期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】
解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
练习3．(2023·吉林朝阳·八年级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【详解】
当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，从而铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．
所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．
◎考点9：勾股定理与无理数
例．(2023·江苏海州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
答案:A
解析：
分析：
根据点P坐标为（﹣2，3），可得，从而得到点A的横坐标为，再由，可得，即可求解．
【详解】
解：∵点P坐标为（﹣2，3），
∴，
∴，
∵点A为x轴的负半轴，
∴点A的横坐标为，
∵，
∴，
∴点A的横坐标介于﹣4和﹣3之间．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，无理数的估算，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．
练习1．(2023·贵州毕节·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
答案:B
解析：
分析：
先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C表示的实数介于哪个区间即可．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴OC=1+2，
∴点C的坐标为，
∵即，
∴，
即点C的表示的实数介于2和3之间，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了坐标轴上表示无理数的方法及勾股定理，无理数大小比较的方法，熟练掌握无理数的表示及比较大小的方法是解题关键．
练习2．(2023·重庆市实验学校八年级期中）如图，点C所表示的数是（ ）
A．B．﹣C．1﹣D．﹣
答案:C
解析：
分析：
根据勾股定理求出AB的长为，根据弧的半径相等得AC＝AB＝，根据两点之间的距离求得点C表示的数．
【详解】
解：根据勾股定理得：，
∴AC＝AB＝，
∴点C表示的数是1﹣．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是根据勾股定理求得AB的长．
练习3．(2023·浙江诸暨·八年级期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2B．+1C．2D．﹣1
答案:D
解析：
分析：
由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】
由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
©知识点二：勾股定理的应用
◎考点10：梯子滑落高度
例．(2023·湖北荆门外语学校八年级阶段练习）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
答案:A
解析：
分析：
设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【详解】
解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
练习1．(2023·浙江·九年级期末）如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
答案:C
解析：
分析：
由题意知，AB=DE=25米，CB=7米，则在直角△ABC中，根据AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，则BD=DC-BD即为题目要求的距离．
【详解】
解：在直角中，已知米，米，
米，
在直角中，已知米，米，米，
米，
米，
米
故云梯底端在水平方向滑动了8米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角△ABC中和直角△CDE中分别运用勾股定理是解题的关键．
练习2．(2023·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m
答案:A
解析：
分析：
在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
【详解】
解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝=，
∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
练习3．(2023·浙江·八年级期末）如图，斜靠在墙上的一根竹竿，，．若端沿地面方向外，则端沿垂直于地面方向下移（ ）
A．等于B．小于C．大于D．不确定
答案:B
解析：
分析：
利用勾股定理求出OA，然后根据平移的性质求出OD和CD，再利用勾股定理求出OC，即可求出AC，最后比较大小即可得出结论．
【详解】
解：由勾股定理可得OA=
∵端沿地面方向外，
∴OD=OB＋BD=，CD=AB=5
由勾股定理可得OC=
∴AC=OA－OC=（4－）m
即端沿垂直于地面方向下移（4－）m
∵（4－）m＜
故选B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和实数的比较大小是解决此题的关键．
◎考点11：求旗杆高度
例．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
标注点，根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：如图：
地面钢缆固定点到电杆底部的距离为
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
练习1．(2023·河南鄢陵·八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（ ）米．
A．5B．12C．13D．17
答案:B
解析：
分析：
因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】
解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键．
练习2．(2023·北京海淀·八年级期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8mB．10mC．12mD．15m
答案:C
解析：
分析：
由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】
解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）

A．12B．13C．15D．24
答案:A
解析：
分析：
设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答．
【详解】
设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m，
在中，
解得：
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题．
◎考点12：求大树折断前的高度
例．(2023·广东·深圳市新华中学八年级阶段练习）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
答案:D
解析：
分析：
根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度．
【详解】
根据题意，米
米
故选D
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
练习1．(2023·河南通许·九年级期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2-（x+3）2=82B．x2-（x-3）2=82C．（x+3）-x2=82D．（x-3）2-x2=82
答案:B
解析：
分析：
设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可．
【详解】
解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
练习2．(2023·福建·古田县新城初级中学八年级阶段练习）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5尺B．12尺C．13尺D．15尺
答案:B
解析：
分析：
由题意可作一个直角三角形ABC，设AC长为x尺，则BC长为（25−x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】
解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25−x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＋AB2＝BC2，
则x2＋52＝（25−x）2，
解得：x＝12，即AC＝12尺，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际运用，读懂题意，画出图形运用方程思想是解题的关键．
练习3．(2023·陕西长安·八年级期中）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2＋62＝（10﹣x）2B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2＋6＝（10﹣x）2D．x2﹣6＝（10﹣x）2
答案:A
解析：
分析：
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2，
故选：A．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
◎考点13：水杯中的筷子问题
例．(2023·陕西泾阳·八年级期中）如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长；当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，
∴h＝BD＝24（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，
在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，
∴AB＝（cm），
所以h的取值范围是：24cm≤h≤26cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cm
A．1B．2C．3D．4
答案:B
解析：
分析：
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】
解：如图：
玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，
∵CD＝6，AD＝8，
∴BD＝cm，
露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，
故选：B．
【点睛】
本题所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．
练习2．(2023·山东邹城·八年级期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8B．10C．13D．12
答案:D
解析：
分析：
如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
练习3．(2023·江苏广陵·八年级期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为 （ ）
A．米B．3米C．4米D．12米
答案:C
解析：
分析：
根据题意得出水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，然后设出BC的长度为h，分别表示出BD和CD的长度，根据由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：在Rt△BCD中，设BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，
∴由勾股定理得：，即，
∴解得：h=4．
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理的实际应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．
◎考点14：航海问题
例．(2023·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
答案:D
解析：
分析：
根据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴海里，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理．
练习1．(2023·辽宁建昌·八年级期末）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500mB．1200mC．1000mD．800m
答案:A
解析：
分析：
由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC．
【详解】
解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC==1500米．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，方位角，得到∠BAC=90°是解题的关键．
练习2．(2023·广西象州·八年级期中）如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
因为两船分别沿东北及东南方向行驶，故∠BAC＝90°，设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，利用勾股定理求出BC的长即可．
【详解】
解：∵两船分别沿东北及东南方向行驶，
∴∠BAC＝90°，
设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，
∵一轮船以8nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6nmile/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，
∴AB＝8×2＝16nmile，AC＝6×2＝12nmile，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝nmile．
故选A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
练习3．(2023·河北滦州·二模）如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上
答案:B
解析：
分析：
先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．
【详解】
解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°．
◎考点15：求河宽度
例．(2023·山西潞城·八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2kmB．4kmC．10 kmD．14 km
答案:B
解析：
分析：
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
练习1．(2023·黑龙江·哈尔滨市征仪路学校八年级期中）一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440mB．460mC．480mD．500m
答案:C
解析：
分析：
从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（ ）
A．480 m B．380 m C．580 mD．500 m
答案:A
解析：
分析：
根据题意发现：他的入水点和实际到达的点和应到的点三个点组成了一个直角三角形．根据勾股定理进行计算．
【详解】
在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m，
根据勾股定理，得
AC=（m）
故选A.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，正确理解题意中涉及的数据，熟练运用勾股定理计算是解答本题的关键．
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
◎考点16：求台阶上地毯长度
例．(2023·全国·八年级）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6B．8C．9D．15
答案:D
解析：
分析：
此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】
解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
练习2．(2023·甘肃·广河县回民第二中学八年级期中）在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A．13mB．5mC．12mD．17m
答案:D
解析：
分析：
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理可求得BC的长，即可求解．
【详解】
由勾股定理，，
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
练习3．(2023·山东淄博·一模）地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cmB．100cmC．150cmD．200cm
答案:C
解析：
分析：
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选C．
【点睛】
本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
◎考点17：求台风是否受影响
例．(2023·重庆·八年级期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
答案:B
解析：
分析：
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
练习1．（2011·湖北武汉·中考真题）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）

A．秒B．秒C．秒D．秒
答案:B
解析：
分析：
首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
练习2．(2023·河南洛龙·八年级期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（3.5，0）C．（，0）D．（5，0）
答案:C
解析：
分析：
在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．
【详解】
解：作出题目中给出的图形：
已知AC＝3，OC＝2，OB＝8，
在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x，
则CD＝x﹣2，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则AD2＝AC2+CD2，
AD＝
∵OD＝x，则BD＝8﹣x，
存在8﹣x＝，
两边平方得到，3x2+4x﹣16＝0
解得：x＝，
故D点坐标（，0）
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了根据题意画出图形的能力，本题中找到汽车行驶速度为摩托车速度的2倍的等量关系，并且根据其求D点坐标是解题的关键．
练习3．(2023·湖北·武汉经济技术开发区第一初级中学八年级阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
答案:A
解析：
分析：
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
◎考点18：最短路径问题
例．(2023·辽宁和平·八年级期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）
A．B．5C．D．
答案:B
解析：
分析：
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，
∴AB＝＝5；
把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，
∴AB＝＝；
把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1，
∴AB＝＝ ；
∵5＜＜，
∴蚂蚁爬行的最短距离是5．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
练习1．(2023·广东普宁·八年级期末）如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cmB．2cmC．5cmD．10cm
答案:B
解析：
分析：
把圆柱侧面展开后，连接AP．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP的长．
【详解】
侧面展开图如图所示：
∵圆柱的底面半径为cm，
∴圆柱的底面周长为12cm，
∴AC′＝6cm．
在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．
练习2．(2023·辽宁苏家屯·八年级期中）如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．2cmB．2cmC．10cmD．13cm
答案:D
解析：
分析：
要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程即可．
【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即
矩形的宽是圆柱的高12，即
厘米．
故选D
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．
练习3．(2023·全国·八年级）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15B．20C．18D．30
答案:A
解析：
分析：
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：
则DB=AD=4cm，
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，
∴DE=DH－EH=12－4=8cm，
∴BE=DE+DB=8+4=12cm ，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，
故选;：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．