沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题15 多边形的内角和（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题15 多边形的内角和（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共45页。

©知识点一：认识多边形
◎考点1：多边形的概念与分类
方法技巧：多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·江苏·南通第一初中九年级期中）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
练习1．(2023·全国·七年级课时练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（ ）边形
A．十B．十一C．十二D．十三
练习2．(2023·全国·七年级课时练习）下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
练习3．(2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
◎考点2：多边形截角后的边数问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
练习2．(2023·云南·弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
◎考点3：多边形的周长
例．(2023·四川眉山·七年级期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
练习2．(2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
练习3．(2023·河南商丘·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD、AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．15B．12C．9D．6
◎考点4：网格中多边形面积比较
例．(2023·辽宁葫芦岛·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为( )
A．7B．10C．D．8
练习1．(2023·江苏无锡·七年级阶段练习）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
A．S四边形ABDC=S四边形ECDF B．S四边形ABDC＜S四边形ECDF C．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D．S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
©知识点二：多边形的对角线
方法技巧：对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
◎考点5：多边形的条数问题
例．(2023·四川成都·七年级期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角线条数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
练习1．(2023·河南·开封市第二十七中学八年级期末）若一个正多边形的内角和为，那么从该正多边形的一个顶点引对角线的条数为（ ）
A．9条B．10条C．11条D．12条
练习2．(2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
练习3．(2023·辽宁丹东·七年级期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
◎考点6：多边形分三角形个数问题
例．(2023·山东枣庄·七年级期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
练习1．(2023·全国·七年级课时练习）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
练习2．(2023·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，把三个长为2，宽为1的长方形拼接，则图中面积为1的三角形个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
练习3．(2023·广东·八年级专题练习）从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
©知识点三：多边形的内角和
方法技巧：n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
◎考点7：多边形的内角和问题
例．(2023·广东广州·八年级期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
练习1．(2023·广东汕头·八年级期末）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为
A．75°B．80°C．100°D．110°
练习2．(2023·广东中山·八年级期末）如图，点E在AC上，则的度数是（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
练习3．(2023·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（ ）
A．60°B．72°C．70°D．78°
◎考点8：正多边形的内角和问题
例．(2023·广东清远·二模）六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（ ）
A．100°B．120°C．60°D．90°
练习1．(2023·山东济宁·八年级期末）如图，正六边形IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若，则∠BIM等于（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·浙江宁波·九年级期末）正八边形每个内角度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
练习3．(2023·贵州黔西·八年级期末）已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．135°B．360°C．1080°D．1440°
◎考点9：多或少算一个角的问题
例．(2023·浙江杭州·模拟预测）一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）当多边形的边数增加时，它的内角和会( )
A．增加B．增加C．增加D．增加
练习2．(2023·安徽马鞍山·八年级期末）n边形的边每增加1条，它的内角和就增加（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·七年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为（ ）
A．120°B．130°C．135°D．150°
◎考点10：多边形截角后内角和问题
例．(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16B．15或16或17C．15或16D．16或17
练习1．(2023·湖北黄石·八年级期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．730°
练习2．(2023·全国·八年级单元测试）在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（ ）
A．360°、540°、720°B．360°、540°C．540°、720°D．360°、720°
练习3．(2023·全国·八年级阶段练习）一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（ ）
A．B．C．D．或或
◎考点11：复杂图形的内角和问题

例．(2023·全国·七年级）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·江苏无锡·七年级期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
©知识点四：多边形的外角和
方法技巧：n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
◎考点12：正多边形的外角问题
例．(2023·浙江衢州·九年级期末）衢州钟灵塔的塔基是个正n边形（n是正整数）．测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°，如图所示，n的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
练习1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的各个外角都等于72°，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．六边形C．五边形D．四边形
练习2．(2023·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
练习3．(2023·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．180米B．110米C．120米D．100米
◎考点13：多边形外角和的实际应用
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在六边形中，若，则（ ）
A．180°B．240°C．270°D．360°
练习1．(2023·贵州·峰林学校八年级期中）如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（ ）米．
A．80B．100C．120D．140
练习2．(2023·全国·七年级）n 边形的每个外角都为 15°，则边数 n 为（ ）
A．20B．22C．24D．26
练习3．(2023·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．6D．5
◎考点14：多边形内角和与外角和的综合
例．(2023·上海·复旦二附中八年级期中）若一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形的内角和是（ ）．
A．540°B．720°C．900°D．1080°
练习1．(2023·上海市建平实验中学八年级期末）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
练习2．(2023·福建·厦门市湖滨中学八年级期末）如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形
练习3．(2023·山西·八年级期末）一个正多边形的每一个内角都是150°，则它的边数为（ ）
A．6B．9C．12D．15
©知识点五：平壤镶嵌
例．(2023·福建·厦门市湖里中学八年级期中）下列不能够单独进行平面镶嵌的多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形
练习1．(2023·黑龙江省虎林市庆丰农场学校九年级期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
练习2．(2023·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正七边形D．正九边形
练习3．(2023·吉林·桦甸市第三中学八年级期中）不能用镶嵌的道理密铺地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正六边形B．正三角形和正方形
C．正方形和正八边形D．正六边形和正八边形
专题15 多边形的内角和（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：认识多边形
◎考点1：多边形的概念与分类
方法技巧：多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
凸多边形 概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
例．(2023·江苏·南通第一初中九年级期中）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
答案:D
解析：
分析：
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.
【详解】
解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
练习1．(2023·全国·七年级课时练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（ ）边形
A．十B．十一C．十二D．十三
答案:C
解析：
分析：
从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n−3）条对角线，把n边形分为（n−2）的三角形．
【详解】
解：由题意可知，n−2＝10，解得n＝12．
∴这个多边形的边数为12．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n−2）的三角形．
练习2．(2023·全国·七年级课时练习）下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案:C
解析：
分析：
根据多边形的定义判断即可．
【详解】
由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键．
练习3．(2023·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
答案:B
解析：
分析：
根据多边形外角的定义及正多边形的定义作答．
【详解】
A．由于任何一个多边形在每一个顶点处都有两个外角，所以一个多边形外角的个数是顶点个数的2倍，也是边数的2倍，故A错误；
B．正确；
C．如矩形，每个角都相等，但矩形不是正多边形，故C错误；
D．如菱形，每条边都相等，但菱形不是多边形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角的定义及正多边形的定义．
多边形的边与它相邻的边的延长线组成的角叫做多边形的外角．一个n边形在每一个顶点处都有两个外角，因此，n边形有2n个外角．
每个角都相等，每条边也都相等的多边形是正多边形．
◎考点2：多边形截角后的边数问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学七年级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
答案:C
解析：
分析：
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
答案:D
解析：
分析：
根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】
本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
练习2．(2023·云南·弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
答案:A
解析：
【详解】
试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
答案:D
解析：
【详解】
如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形，
故内角个数是为3、4或5.
故选D.
◎考点3：多边形的周长
例．(2023·四川眉山·七年级期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
答案:C
解析：
分析：
根据长方形周长的计算公式求解．
【详解】
解：∵2（2m+3n）=4m+6n，
故选C．
【点睛】
本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
答案:B
解析：
分析：
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
练习2．(2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
答案:B
解析：
分析：
由垂直平分线的性质和三角形周长的意义可得解答．
【详解】
解：由DE为AC的垂直平分线可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵△ ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周长为15，
故选B ．
【点睛】
本题考查垂直平分线与三角形周长的综合应用，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
练习3．(2023·河南商丘·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD、AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．15B．12C．9D．6
答案:D
解析：
分析：
根据EF是AC的垂直平分线可得：CF=AF，再由△BCF的周长= BC+BF+CF= BC+BF+AF=AB+BC=3，因此四边形ABCD的周长即可求得．
【详解】
∵EF是AC的垂直平分线
∴CF=AF
∴△BCF周长= BC+BF+CF= BC+BF+AF=AB+BC=3
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=2(AB+BC)=6
故选：D
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，利用中垂线的性质把三角形的三边长等量代换为平行四边形的边长是解题的关键．
◎考点4：网格中多边形面积比较
例．(2023·辽宁葫芦岛·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为( )
A．7B．10C．D．8
答案:A
解析：
分析：
利用分割法即可解决问题.
【详解】
解：S四边形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，
故选A．
【点睛】
本题考查了四边形的面积和网格问题，利用图形得出各边长度是解题关键．
练习1．(2023·江苏无锡·七年级阶段练习）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
A．S四边形ABDC=S四边形ECDFB．S四边形ABDC＜S四边形ECDF
C．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D．S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
答案:A
解析：
【详解】
试题分析：S四边形ABDC=CD•AC=1×4=4，S四边形ECDF=CD•AC=1×4=4，故选A．
考点：1．多边形；2．平行线之间的距离；3．三角形的面积．
练习2．(2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
答案:B
解析：
【详解】
试题分析：运用面积公式、割补法求阴影部分面积，再与题目的要求比较．
解答：解：花坛面积为4m2，一半为2m2，
A、阴影部分面积为2×2÷2=2m2，
B、阴影部分面积为1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、阴影部分面积为1×1÷2×4=2m2，
D、把图中上面两个扇形移下来，刚回拼成两个小正方形，面积为2m2；
故选B．
考点: 组合图形的面积．
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】
观察图形可得
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
©知识点二：多边形的对角线
方法技巧：对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
◎考点5：多边形的条数问题
例．(2023·四川成都·七年级期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角线条数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
答案:D
解析：
分析：
利用n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
【详解】
解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是8-3=5，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式．
练习1．(2023·河南·开封市第二十七中学八年级期末）若一个正多边形的内角和为，那么从该正多边形的一个顶点引对角线的条数为（ ）
A．9条B．10条C．11条D．12条
答案:A
解析：
分析：
根据多边形的内角和公式求得，进而根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n-3，列方程求解．
【详解】
解：设多边形有n条边，则
解得
则对角线条数为：12-3=9，
故选A
【点睛】
本题考查了多边形的内角和以及多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，多边形的内角和为（n-2）×180°．
练习2．(2023·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案:A
解析：
分析：
根据n边形的内角和为1080°，求出n边形的边数，即可得出从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．
【详解】
解：∵n边形的内角和为1080°，
∴（n-2）×180°=1080°，
解得n=8，
∴8-3=5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础，掌握从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
练习3．(2023·辽宁丹东·七年级期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
答案:B
解析：
分析：
根据边形一个顶点的对角线为计算求解即可．
【详解】
解：由题意知
解得
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形的对角线．
◎考点6：多边形分三角形个数问题
例．(2023·山东枣庄·七年级期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
答案:C
解析：
分析：
：根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
【详解】
解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
练习1．(2023·全国·七年级课时练习）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
答案:C
解析：
分析：
可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n−3，可分成（n−2）个三角形直接判断．
【详解】
解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n−2）,
∴7边形的一个顶点可以作4条对角线，把这个7边形分成个三角形；
故选：C．
【点睛】
多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n−3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n−2）个三角形．
练习2．(2023·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，把三个长为2，宽为1的长方形拼接，则图中面积为1的三角形个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案:C
解析：
分析：
根据题意面积为1的三角形就是底为1高为2的三角形，即可求解．
【详解】
解：根据题意，面积为1的三角形就是底为1高为2的三角形
在图中找这样的三角形有6个，分别为
故选C．
【点睛】
此题考查了三角形面积问题，根据题意确定寻找什么样的三角形是解题的关键．
练习3．(2023·广东·八年级专题练习）从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
答案:C
解析：
分析：
根据n边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形解答即可．
【详解】
解：设这个多边形为边形．
根据题意得：．
解得：．
故选：．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的对角线分割多边形为三角形，掌握n边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形是解题的关键．
©知识点三：多边形的内角和
方法技巧：n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
◎考点7：多边形的内角和问题
例．(2023·广东广州·八年级期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
答案:B
解析：
分析：
根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】
解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
练习1．(2023·广东汕头·八年级期末）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为
A．75°B．80°C．100°D．110°
答案:D
解析：
分析：
由题意结合三角形内角和易求出、，再根据四边形内角和即可求出的大小，最后根据对顶角相等即可求出的大小．
【详解】
∵
∴，
，
在四边形CDFE中，，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，多边形的内角和．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
练习2．(2023·广东中山·八年级期末）如图，点E在AC上，则的度数是（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
答案:B
解析：
分析：
由三角形外角的性质可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案．
【详解】
解：由三角形外角的性质可得，
∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质．
练习3．(2023·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（ ）
A．60°B．72°C．70°D．78°
答案:C
解析：
分析：
根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．
【详解】
解：五边形的内角和等于，，
，
、的平分线在五边形内相交于点，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．
◎考点8：正多边形的内角和问题
例．(2023·广东清远·二模）六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（ ）
A．100°B．120°C．60°D．90°
答案:B
解析：
分析：
首先根据多边形内角和公式可求得正六边形的内角和，据此即可求得
【详解】
解：正六边形的内角和为：，
正六边形的每个内角的度数为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和公式：是解决本题的关键．
练习1．(2023·山东济宁·八年级期末）如图，正六边形IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若，则∠BIM等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
根据正六边形的性质证得△IBM≌△GFH，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：IM=IH=HG，∠MIH=∠IHG=∠B=∠A=∠F= ，
∴∠BMI+∠BIM=∠AIH+∠AHI=∠FHG+∠FGH=60°，∠AIH+∠BIM=∠FHG+∠AHI=60°，
∴∠BMI=∠AIH=∠FHG，
同理∠BIM=∠FGH，
∴△IBM≌△GFH，
∴∠BMI=∠FHG=28°，
∴∠BIM=180°-∠BMI-∠B=32°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正多边形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
练习2．(2023·浙江宁波·九年级期末）正八边形每个内角度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
答案:B
解析：
分析：
根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为360°，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．
【详解】
解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，
一个外角等于：
∴内角为
故选B
【点睛】
本题考查了正多边形的内角与外角的关系，利用外角求内角是解题的关键．
练习3．(2023·贵州黔西·八年级期末）已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．135°B．360°C．1080°D．1440°
答案:C
解析：
分析：
先利用正多边形的每一个外角为 求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.
【详解】
解： 正多边形的一个外角等于45°，
这个正多边形的边数为：
这个多边形的内角和为：
故选C
【点睛】
本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.
◎考点9：多或少算一个角的问题
例．(2023·浙江杭州·模拟预测）一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能
答案:D
解析：
分析：
若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．
【详解】
解：如下图所示：
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．
内角和是：180°或360°或540°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）当多边形的边数增加时，它的内角和会( )
A．增加B．增加C．增加D．增加
答案:B
解析：
分析：
根据n边形的内角和为180°（n－2），可得（n＋1）边形的内角和为180°（n－1），然后作差即可得出结论．
【详解】
解：∵n边形的内角和为180°（n－2）
∴（n＋1）边形的内角和为180°（n＋1－2）=180°（n－1）
而180°（n－1）－180°（n－2）=180°
∴当多边形的边数增加时，它的内角和会增加
故选B．
【点睛】
此题考查的是多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
练习2．(2023·安徽马鞍山·八年级期末）n边形的边每增加1条，它的内角和就增加（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n+1，根据多边形的内角和定理即可求得．
【详解】
解：n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1-2）•180°，
则（n+1-2）•180°-（n-2）•180°=180°．
故它的内角和增加180°．
故选B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
练习3．(2023·全国·七年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为（ ）
A．120°B．130°C．135°D．150°
答案:B
解析：
分析：
设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】
解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则（n﹣2）×180﹣x＝2570，
180•n＝2930+x，
∴n＝，
∵n为正整数，0°＜x＜180°，
∴n＝17，
∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
◎考点10：多边形截角后内角和问题
例．(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16B．15或16或17C．15或16D．16或17
答案:A
解析：
分析：
由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】
解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
【点睛】
本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
练习1．(2023·湖北黄石·八年级期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．730°
答案:D
解析：
分析：
根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】
解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
【点睛】
本题考查了多边形内角和，分类讨论是解题的关键．
练习2．(2023·全国·八年级单元测试）在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（ ）
A．360°、540°、720°B．360°、540°C．540°、720°D．360°、720°
答案:A
解析：
分析：
分三种情况：①一条直线将矩形分为两个三角形，②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，③一条直线将矩形分为两个四边形，再根据三角形和四边形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：分三种情况：
①一条直线将矩形分为两个三角形，如图1所示：
则x＋y＝180°＋180°＝360°；
②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，如图2所示：
则x＋y＝180°＋360°＝540°；
③一条直线将矩形分为两个四边形，如图3所示：
则x＋y＝360°＋360°＝720°；
④一条直线将矩形分为1个三角形和1个五边形，如图4所示：
则；
综上所述，x＋y的和是360°或540°或720°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形和四边形的内角和，分类讨论是解题的关键．
练习3．(2023·全国·八年级阶段练习）一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（ ）
A．B．C．D．或或
答案:D
解析：
分析：
一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；然后分别求出每一种情况下的多边形的内角和．
【详解】
解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；
①四边形的内角和为：360°；
②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°；
③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况．
◎考点11：复杂图形的内角和问题

例．(2023·全国·七年级）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】
解：连接CD，设AD与BC交于点O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故选B．
【点睛】
此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．
练习1．(2023·江苏无锡·七年级期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
答案:C
解析：
分析：
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】
解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
©知识点四：多边形的外角和
方法技巧：n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
◎考点12：正多边形的外角问题
例．(2023·浙江衢州·九年级期末）衢州钟灵塔的塔基是个正n边形（n是正整数）．测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°，如图所示，n的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案:B
解析：
分析：
根据多边形外角和为360°即可得答案．
【详解】
∵正n边形的一个外角为60°，多边形外角和为360°，
∴n=360÷60=6，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和为360°是解题关键．
练习1．(2023·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的各个外角都等于72°，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．六边形C．五边形D．四边形
答案:C
解析：
分析：
利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【详解】
解：360°÷72°=5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．
练习2．(2023·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案:D
解析：
分析：
根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．
【详解】
∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
练习3．(2023·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．180米B．110米C．120米D．100米
答案:D
解析：
分析：
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．
【详解】
解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，
∴他走过的图形是正多边形，
边数n=360°÷36°=10，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10=100米．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
◎考点13：多边形外角和的实际应用
例．(2023·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在六边形中，若，则（ ）
A．180°B．240°C．270°D．360°
答案:C
解析：
分析：
根据多边形外角和求解即可．
【详解】
解： ，
，
故选：C
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和是解题的关键．
练习1．(2023·贵州·峰林学校八年级期中）如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（ ）米．
A．80B．100C．120D．140
答案:C
解析：
分析：
由小明第一次回到出发点A，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案.
【详解】
解：由 可得：小明第一次回到出发点A，
一个要走米，
故选C
【点睛】
本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为得到一共要走12个10米”是解本题的关键.
练习2．(2023·全国·七年级）n 边形的每个外角都为 15°，则边数 n 为（ ）
A．20B．22C．24D．26
答案:C
解析：
分析：
根据多边形的外角和等于360度得到15°•n＝360°，然后解方程即可．
【详解】
解：∵n边形的每个外角都为15°，
∴15°•n＝360°，
∴n＝24．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键．
练习3．(2023·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．6D．5
答案:A
解析：
分析：
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，根据邻补角的定义得到x＋3x＝180°，解出x＝45°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
【详解】
解：设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，
∴x＋3x＝180°，
∴x＝45°，
故这个多边形的边数＝＝8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．
◎考点14：多边形内角和与外角和的综合
例．(2023·上海·复旦二附中八年级期中）若一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形的内角和是（ ）．
A．540°B．720°C．900°D．1080°
答案:B
解析：
分析：
先利用多边形的外角和求得多边形的边数，然后再利用多边形的内角和公式即可求解.
【详解】
解:多边形的边数为：，
多边形的内角和是：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键．
练习1．(2023·上海市建平实验中学八年级期末）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
答案:D
解析：
分析：
任何多边形的外角和是360度，n边形的内角和是（n-2）•180°，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
设这个多边形的边数是n，根据题意得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和与外角和的关系求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
练习2．(2023·福建·厦门市湖滨中学八年级期末）如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形
答案:D
解析：
分析：
多边形的外角和是360°，则内角和是4×360=1440°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n-2）×180°=4×360°，
解得：n=10．
故这个多边形是十边形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
练习3．(2023·山西·八年级期末）一个正多边形的每一个内角都是150°，则它的边数为（ ）
A．6B．9C．12D．15
答案:C
解析：
分析：
设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【详解】
解：设正多边形的边数为n，
由题意得，（n2）×180°=n×150°，
解得n=12．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．
©知识点五：平壤镶嵌
例．(2023·福建·厦门市湖里中学八年级期中）下列不能够单独进行平面镶嵌的多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形
答案:C
解析：
分析：
根据密铺的性质，当围绕一点拼在一起的几个内角加起来恰好组成周角时，就可以铺满地面．
【详解】
解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，故本选项不符合题意；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺，故本选项不符合题意；
C、正五边形的每一个内角是，不能整除360°，所以不能密铺，故本选项符合题意；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
练习1．(2023·黑龙江省虎林市庆丰农场学校九年级期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
答案:C
解析：
分析：
从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】
解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
练习2．(2023·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形B．正五边形C．正七边形D．正九边形
答案:A
解析：
分析：
根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．
【详解】
解：A、∵正方形的内角和为 ，
∴正方形的每个内角为90°，
而 ，
∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；
B、正五边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
C、正七边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
D、正九边形的每个内角为 ，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．
练习3．(2023·吉林·桦甸市第三中学八年级期中）不能用镶嵌的道理密铺地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正六边形B．正三角形和正方形
C．正方形和正八边形D．正六边形和正八边形
答案:D
解析：
分析：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】
A、正三角形和正六边形内角分别为、，四个正三角形与一个正六边形能构成的周角，所以能铺满地面，故此选项不符合题意；
B、正三角形、正方形内角分别为、，三个正三角形与两个正方形能构成的周角，所以能铺满地面，故此选项不符合题意；
C、正方形、正八边形内角分别为、，一个正方形与两个正八边形能构成的周角，所以能铺满地面，故此选项不符合题意；
D、正六边形和正八边形内角分别为、，不能构成的周角，故不能铺满，故此选项符合题意，
故选：
【点睛】
本题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．