+河南省周口市西华县第二高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份+河南省周口市西华县第二高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．己知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，点满足与交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
4．一条河两岸平行，河的宽度为，一搜船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知在的内接四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为上的中线，为的重心，分别为线段上的动点．且三点共线．若，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．在中，．则（ ）
A． B． C． D．或
8．在Rt中，为的外心，则（ ）
A．5 B．2 C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若．则的长度相等且方向相同或相反
B．若向量满足，且同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则四点共线
10．已如，若，且，则（ ）
A． B．在方向上投影向量的坐标为
C． D．
11．设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是边的中点
B．若，则在边的延长线上
C．若，则是的重心
D．若，则的面积是面积的
12．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B． C． D．的面积为
三、填空题
13．已知平面向量，则_______。
14．已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为_______。
15．的内角的对边分别为，且．则_______。
16．如图，作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知．与的夹角为，则的大小为_______。
四、解答题
17．的夹角为．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求．
18．已知向量．
（1）求证，三点共线。
（2）若．求的值．
19．如图所示，在中，与相交于点．
（1）用和分别表示和；
（2）若．求实数和的值。
20．在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求的周长．
21．如图．在平行四边死，令．
（1）用标示；
（2）若，且，求。
22．在中，的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）已知点在线段上，且，求长．
2023-2024学年度高一下期开学考试
数学答案
1．D
【分析】由平面向量的线性运算求解即可．
【详解】因为，所以为的中点，，所以，
所以
故选：D．
2．C
【分析】根据投影向量的概念求解．
【详解】因为，所以．
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C。
3．C
【分析】设是上除点外的令一个三等分点，判断出是三角形的重心，得出的比例，由此得出的值。
【详解】设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则。在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故。所以，由此可知，故选C．
【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题。
4．B
【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间。
【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，以为邻边作平行四边形，如下图所示：
由题意可知，，且，
由勾股定理可得，
因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间，
则．故选：B。
5．C
【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度。
【详解】
连接，由题意四边形为的内接四边形知，
则在三角形中由余弦定理得，
在三角形中由余弦定理得，
因为，
所以，
即，
解得．
故选：C
6．B
【分析】根据向量的线性运算表示出，利用三点共线可得，继而将化为，结合基本不等式即可求得答案。
【详解】由题意在中，为上的中线，为的重心，
且，
故，
由于三点共线，故，
故，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
故的最小值为3，故选：B
7．C
【分析】由正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式即可求解。
【详解】在中，由及正弦定理得，而，
则，显然，解得，所以。
故选：C
8．D
【分析】由已知得是的中点，，再利用向量的数量积公式即可得解。
【详解】在Rt中，
又为的外心，是的中点，
故选：D
9．ABD
【分析】因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D．
【详解】对于A项，只能说明的长度相等，不能判断它们的方向，因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：ABD．
10．ACD
【分析】根据模长公式判断A选项，根据投影向量公式判断B选项，根据数量积公式结合向量垂直计算判断C，D选项．
【详解】，
A选项正确；
在方向上投影向量的坐标为，B选项错误；
，选项正确；
，D选项正确；故选：ACD。
11．AC
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；。故选：AC．
13．
【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得．
【详解】因为，
所以，
所以．
故答案为：．
14．
【分析】利用数量积为负可求参数的取值范围．
【详解】因为与的夹角为钝角，
故且与不共线反向，
由可得，
即即，故或，
若与共线，则存在实数，使得，
而不共线，故即或，
当时，与共线同向；
当时，与共线反向；
故的取值范围为或或，
故答案为：．
15．
【分析】结合余弦定理，正弦定理、两角和的正弦及诱导公式即可求解．
【详解】由，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
因为，
即，
即，
因为，则，
因为，故．
故答案为：
16．1
【分析】利用共点力的平衡条件，得到，移项，解出即可．
【详解】三个力处于平衡状态，，即，
则
故答案为：1．
17．（1）7
（2）．
【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解．
【详解】（1）的夹角为，
故．
（2）若与互相垂直，则，
即．
所以，整理得，
即，解得．
18．（1）证明见解析
（2）1
【分析】（1）求出，由证明即可；
（2），根据向量相等列方程组求解即可．
【详解】（1）证明：，故三点共线；
（2），
则有，即，解得
19．（1）
（2）
【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；
（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案。
【详解】（1）由，可得。
（2）（2）设，将
代入，则有，
即解得，
故，即．
20．（1）
（2）
【分析】（1）根据已知条件利用二倍角余弦公式化简求得，求得结果；
（2）由三角形面积公式求得，再利用余弦定理可求得，从而得三角形周长．
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
则或（舍去）．
因为，所以．
（2）因为的面积为，所以，则．
由余弦定理可得，
则，即，解得．
故的周长为．
21．（1）
（2）
【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；
（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可。
【详解】（1）因为，且是平行四边形，所以，
所以，
所以，
所以．
（2）方法一：由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以．
方法二：因为，所以，因为
，且，
所以，解得，
所以，
又
所以．
22．（1）；
（2）．
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解。
（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得。
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
即，而，
所以．
（2）由（1）知，由余弦定理得，
为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，
所以。