广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷

这是一份广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了圆与圆的公切线有，在数列中，，，则，已知双曲线的左、右焦点分别为，，已知直线与圆交于，两点，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线和，若，则的值为（ ）
A．B．3C．1或3D．或3
2．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
5．在数列中，，，则（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，在平行六面体中，为的中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列，的前项和分别为，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线右支于，两点，且，，则的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值B．函数在处取得极值
C．函数在区间上单调递减D．函数的图象在处的切线斜率大于零
10．已知直线与圆交于，两点，则（ ）
A．圆的面积为B．过定点
C．面积的最大值为D．
11．已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面B．与所成角的取值范围为
C．的最小值为D．三棱锥外接球体积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线的准线到焦点的距离为______．
13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为______．
14．已知直线是曲线与曲线的公切线，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（15分）
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
17．（15分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（17分）
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
19．（17分）
已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（异于，），且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线，的斜率分别为，，且，求的值；
（3）设和的面积分别为，，求的最大值．
广西示范性高中高二3月调研测试
数学
一、选择题
二、选择题
三、填空题
四、解答题
15．（13分）
（1）设等差数列的公差为，
依题意得
解得
故数列的通项公式是．
（2）由（1）知，
∴
16．（15分）
（1）因为圆心在直线上，所以设，
因为圆经过，两点，所以，
解得，即，
半径，所以圆的标准方程为．
（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以到直线距离，
当直线斜率不存在时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即
综上所述，直线的方程为或．
17．（15分）
（1）连接，四边形是菱形，则，
因为，分别为，的中点，所以，故，
因为为等边三角形，为的中点，则
平面平面，平面平面，平面，
所以平面
因为平面，故
因为，平面，所以平面．
（2），，为等边三角形，是的中点，则，由（1）得平面，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，所以，
由（1）得是平面的一个法向量，
，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18．（17分）
（1），．
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3），，
令，则；令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
19．（17分）
（1）由题，，，所以，，
由可得，解得，
∴，椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，
且直线的斜率可以不存在，但不为0，
设直线的方程为，设点、，
解得，，，
则，.
即，所以的值为．
（3）
因为，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
C
A
B
D
A
9
10
11
AC
ABD
ABD
12
13
14
3
2