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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题31 二次函数中的线段周长问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题31 二次函数中的线段周长问题 （全国通用），文件包含专题39二次函数中的线段周长问题原卷版docx、专题39二次函数中的线段周长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题31 二次函数中的线段周长问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2020·福建·龙海二中一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x﹣4D．y＝x2﹣2x﹣5
【答案】A
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.
【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.
2．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系； ②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3； ③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值； ④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论．
【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0． 故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，
则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接与直线x=1的交点即为点P， 则△PAB周长的最小值是的长度．
∵B（0，3），，
∴．而
即△PAB周长的最小值是． 故③正确．
④观察二次函数图象可知： 当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1-x1＜x2-1，
∴y1＞y2．
故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
3．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
【答案】B
【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．
【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx，
解得x1＝0，x2＝，
∴P的横坐标为，
∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝
，
∴＝，
∴＝n﹣2，
∴﹣1＝n﹣2，
∴＝n﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键．
4．（2015·江苏苏州·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【答案】A
【详解】试题分析：因为抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过点N（－1，1），所以，解得，所以，所以顶点M为（-3,5），则点M关于y轴的对称点为（3,5），设直线N的解析式为，把点N（－1，1），点（3,5），代入得，解得，所以直线为，令x=0，则y=2，所以点P的坐标为（0，2），故选A．
考点：1．待定系数法求函数解析式；2．轴对称；3．直线与y的交点．
5．（2019·浙江·九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
【答案】C
【详解】试题解析：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有=1，解得b=3，故本选项错误；
③∵x1+x2＞2，
∴＞1，
又∵x1-1＜1＜x2-1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=；D′E′=；
∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
6．（2019·浙江湖州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】取点H（6,0）,连接PH,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标, 可得⊙C半径为4,由三角形中位线的定理可求OD=PH, 当点C在PH上时,PH有最大值,即可求解．
【详解】如图,取点H（6,0）,连接PH,
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A（﹣6,0）,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为：y＝﹣,
∴顶点C（﹣3,4）,
∴⊙C半径为4,
∵AO＝OH＝6,AD＝BD,
∴OD＝PH,
∴PH最大时,OD有最大值,
∴当点C在PH上时,PH有最大值,
∴PH最大值为＝3+ ＝3+,
∴OD的最大值为: ,
故选B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.
7．（2018·河北邢台·一模）如图，抛物线经过点，顶点为，过点作轴的平行线，与抛物线及其对称轴分别交于点，以下结论：
①当时，；
②存在点，使；
③是定值；
④设点关于的轴的对称点为，当时，点在下方．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③
C．②④D．①④
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为，且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与轴交点坐标和对称轴与轴交点可对②作判断；
根据对称性得：，根据线段的和与差可对③作判断；根据的坐标和到轴的距离可对④作判断．
【详解】解：①由题意得：，开口向上，
抛物线对称轴是，且经过点，
抛物线过轴另一个点为，
当时，；
故①正确；
②当在点时，，
，
不可能与重合，
故②不正确；
③，
故③正确；
④把代入中，，
当时，，，点在的上方，
故④不正确；
所以正确的有：①③，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、与轴的交点、关于轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．
8．（2020·山东· 模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点、点在该函数图象上，则
③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出A，B，C的坐标，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则四边形的最小周长，即可判断④．
【详解】把代入中，得，
，
一元二次方程两个相等的实数根，
∴抛物线与直线有且只有一个交点，
故此小题结论正确；
抛物线的对称轴为：直线，
点关于直线的对称点为，
，
当时，随增大而增大，
又，点、点、点在该函数图象上，
，
故此小题结论错误；
将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，抛物线的解析式为：，即：，
故此小题结论正确；
当时，抛物线的解析式为：，
，
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则，
根据两点之间线段最短，可知最短，而的长度一定，
四边形的最小周长
=
=
=．
故此小题结论正确；
综上所述：结论正确的有，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．
9．（2019·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（ ）
A．一直在增大B．一直不变C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】B
【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设，分别解得直线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN 的长，据此解题．
【详解】抛物线的对称轴为
直线为
E为对称轴与x轴的交点，
点D为抛物线上一动点，设
令x=0，解得y=-3，
令y=0，则
设直线的表达式为，代入点B、D
得
直线的表达式为
设直线的表达式为，代入点A、D
得
直线的表达式为
直线交直线于点M
解得
同理直线交直线于点N，
解得
的长度不变，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论．
【详解】解：令，则，
∴，
∵，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，
∴，
∴，
作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，
则，，，，
此时，
∴此时四边形EDFG周长最小，
延长，它们交于点H，如图，
则，
∴，
∴四边形EDFG周长的最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．
【答案】##0.25
【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵PQ∥y轴，
∴可设点，则，
∴，
∴当时，最大，最大值．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．（2022·吉林白城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D，若，则c的值为 _____．
【答案】
【分析】先用根与系数的关系求出，再根据求出，然后由得到关于c的方程，解方程求出c即可．
【详解】解：设，
令，则，
由根与系数的关系得：，
则，
令，则，
∴，
∵轴，
∴点D纵坐标为c，
当时，则，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．（2022·山东·日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线上取点 ， 在y轴负半轴上取一个点，使为等边三角形，然后在第四象限取抛物线上的点，在y轴负半轴上取点，使为等边三角形，重复以上的过程，可得，则的坐标为________．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，通过观察得出规律，再根据规律求出的坐标．
【详解】解：根据的坐标，设直线解析式为，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∵，又直线过点，
则直线的解析式为：，
联立抛物线解析式得，
解得：，
∴，，，
同理可得，，，
……
当，，
点纵坐标的绝对值=1+2+3+…+100=5050，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键．
14．（2022·山东·武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
【答案】
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
15．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
【答案】##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
【详解】解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
16．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于点A 和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．
【答案】
【分析】先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，取E（0，1），连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，据此求解即可．
【详解】解：∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OA=OC=3，
∴点A的坐标为（-3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（1，0） ，
取E（0，1），连接AM，EM，AE，
∴CE=ME=2，
又∵，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴CN=ME，
∴四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，
∵点A，B关于直线MN对称，
∴AM=BM，
∴四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，
∴，
∴四边形BCNM的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)①求抛物线的解析式；
② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；
(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，
(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；
②过点作轴，交于点，设，则，求得，根据二次函数的性质求得最大值，以及的值，从而求得的坐标；
（3）根据题意可得，进而勾股定理分别求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别解方程求解即可．
【详解】（1）解： y＝x+3，令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则x＝－3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0），（0，3）；
故答案为：（﹣3，0），（0，3）；
（2）①B的坐标为：（0，3），
∴
将点A的坐标（﹣3，0）代入抛物线表达式得：，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为；
②如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∴
当时，取得最大值，为
此时
∴
（3）令中y＝0，则＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或，
∴C（1，0）．
∵，
∴D（﹣1，4），
∵点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，
∴．
∵，，
∴，
，．
①当PC＝PB时，
即
解得：t＝3；
②当BC＝PC时，
解得：t＝4±；
③当BC＝PB时，
解得：t＝4或﹣2（舍去负值）
综上可知：当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一点，过点作∥轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作∥轴交BC于点H，由题意易得，则有，然后可得，，，进而可求，设，设直线的解析式为：，则有，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵点、、在抛物线的图像上，
∴将点A、B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴；
（2）解：如图，过点P作∥轴交BC于点H，
∵∥轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴当取最大值时，取最大值，
设，设直线的解析式为：，
将点B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的最大值，
将代入到中，得，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，求出此时Q点坐标；
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，即可求出m的值及这个二次函数的解析式；
（2）使的周长最小，即是求的值最小，作B点关于x轴的对称点，当A、Q、三点在一条直线上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而可得Q点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，则，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴直线解析式为，
当时，，即，
∴B点关于x轴的对称点点的坐标为，
设直线的解析式为，
将A、两点坐标代入，得，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图，当A、Q、三点在一条直线上时，的值最小，即的周长最小，Q点为直线与x轴的交点，
当时，即，
解得，
∴Q点坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，解题时注意数形结合思想的运用．
20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线的函数解析式为 ，点的坐标为 ，连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为
【答案】(1)
(2)；或
(3)
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得线的表达式为：，依题意将的面积分成的两部分，则或，进而求得的纵坐标，即可求解．
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，根据题意得出点，进而待定系数法求得直线的表达式为： ，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式，
，
解得，
故二次函数的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线的表达式，
，
解得，
∴直线的表达式为：；
对于，函数的对称轴为，故点；
将的面积分成的两部分，则或，
则或，即或，解得：或，
故点或；
故答案为：，，或；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，
的周长最小，点，
设直线的表达式为：，则，
解得，
故直线的表达式为： ，
令，则，故点．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，轴对称求线段和，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可；
（2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）设，
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：如图，延长交x轴于点F，
设点，的周长是l，
∵，
∴，
∵，
∴的周长是12，
设直线BC的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式是：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为，
当时，，
∴．
综上：周长的最大值为，此时点P的坐标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式．
22．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线解析式可求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．由抛物线的解析式可求出点C和点D的坐标，从而得出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而即可求出E点坐标．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴令，则；令，则，
∴点B、C的坐标分别为，
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
故该抛物线的解析式：；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．
对于，令，则，
∴点C的坐标为，
∴点的坐标为．
∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为．
设直线的表达式为，
将、D的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
对于，当时，，
故点E的坐标为．
【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合题，考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，二次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线的函数解析式为______，点的坐标为______，______．
(3)在轴上找一点，使得的周长最小．请求出点的坐标；
【答案】(1)
(2)；；
(3)
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再利用抛物线的对称轴方程求解抛物线的顶点坐标，设抛物线的对称轴交于点E，连接，证明，再利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，可得的周长为，此时的周长最短，再求解直线的解析式即可．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
故抛物线的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线AB的解析式为：，
，解得，
∴直线的表达式为：；
对于，函数的对称轴为直线，
把代入，
∴顶点；
如图，设抛物线的对称轴交于点E，连接，
把代入，得，
，
为线段的中点，，
在中，，
，
，
，
在中，
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，
∴的周长为，
此时的周长最短，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，锐角三角函数的计算，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）设，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线BC的对称点，连接，利用勾股定理及轴对称的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴设，将代入，
得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点，连接，
∵，，
∴，
∵O、关于直线对称，
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴，
在中， ，
∵，
∴，即点Q位于直线与直线交点时，
有最小值10．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段最短及轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在，；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，即可得出，设直线的解析式为：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周长．
【详解】（1）将，，代入
得:,
解得:
所以抛物线的函数表达式：
（2）存在；∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，
∴ 解得 ，
∴ 直线的解析式为：，
把代入直线的解析式，得，
∴；
∴
∴
【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解（2）题的关键．
26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由与坐标轴的交点可求得、，然后用待定系数法可求得抛物线的解析式是
（2）设，分别用含m的代数式表示点D、E的坐标，从而得到是一个关于m的二次式，根据二次函数的性质可求解的最大值是3
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴、，
∵点、C在抛物线解上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点P在直线l下方的抛物线上，设，
∵轴，轴，点D，E都在直线上，
∴，，
∴，
，
∴，
即：，
∵，，
∴当时，的最大值是3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数求最值的方法
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设动点P得坐标为，则C点得坐标为，进而表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：∵、在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
∵、在直线上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
∴，
∵，，
∴当时，当P点坐标为，线段PC有最大且为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（2022·重庆八中模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作PZx轴交于点Z，过点P作PQCB交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值为，
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设，过P作轴交于M，过Q作轴交于N，根据待定系数法求直线，解析式，则可求M，Z的坐标，从而求出，，然后证明可得，，再证明，得出，进而得出，最后利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质可得新抛物线为，，然后分①以，为对角线；②以，为对角线；③以，为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵
∴顶点坐标为；
（2）解：设，
过P作轴交于M，过Q作轴交于N，
∵，，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、M的横坐标相同，
∴，
∴，
易求，
∵，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、Z的纵坐标相同，
∴Z的纵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵轴，，轴，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，，
∵轴，与x轴所交的锐角为
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值为，
此时，
∴；
（3）解：抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，得到新抛物线，
向下平移个单位，向右平移3个单位，得到
设， ，
令，则，解得，，
∴，
①以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴，
∴
②以，为对角线时，
，
解得，，
又，
∴，
∴，
∴无解，
∴不符合题，舍去；
③以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴（正跟舍去），
∴，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，一次函数图象上点坐标的特征，菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标以及相关线段的长度．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题31 二次函数中的线段周长问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2020·福建·龙海二中一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x﹣4D．y＝x2﹣2x﹣5
【答案】A
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.
【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.
2．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系； ②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3； ③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值； ④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论．
【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0． 故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，
则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接与直线x=1的交点即为点P， 则△PAB周长的最小值是的长度．
∵B（0，3），，
∴．而
即△PAB周长的最小值是． 故③正确．
④观察二次函数图象可知： 当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1-x1＜x2-1，
∴y1＞y2．
故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
3．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
【答案】B
【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．
【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx，
解得x1＝0，x2＝，
∴P的横坐标为，
∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝
，
∴＝，
∴＝n﹣2，
∴﹣1＝n﹣2，
∴＝n﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键．
4．（2015·江苏苏州·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【答案】A
【详解】试题分析：因为抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过点N（－1，1），所以，解得，所以，所以顶点M为（-3,5），则点M关于y轴的对称点为（3,5），设直线N的解析式为，把点N（－1，1），点（3,5），代入得，解得，所以直线为，令x=0，则y=2，所以点P的坐标为（0，2），故选A．
考点：1．待定系数法求函数解析式；2．轴对称；3．直线与y的交点．
5．（2019·浙江·九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
【答案】C
【详解】试题解析：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有=1，解得b=3，故本选项错误；
③∵x1+x2＞2，
∴＞1，
又∵x1-1＜1＜x2-1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=；D′E′=；
∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
6．（2019·浙江湖州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】取点H（6,0）,连接PH,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标, 可得⊙C半径为4,由三角形中位线的定理可求OD=PH, 当点C在PH上时,PH有最大值,即可求解．
【详解】如图,取点H（6,0）,连接PH,
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A（﹣6,0）,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为：y＝﹣,
∴顶点C（﹣3,4）,
∴⊙C半径为4,
∵AO＝OH＝6,AD＝BD,
∴OD＝PH,
∴PH最大时,OD有最大值,
∴当点C在PH上时,PH有最大值,
∴PH最大值为＝3+ ＝3+,
∴OD的最大值为: ,
故选B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.
7．（2018·河北邢台·一模）如图，抛物线经过点，顶点为，过点作轴的平行线，与抛物线及其对称轴分别交于点，以下结论：
①当时，；
②存在点，使；
③是定值；
④设点关于的轴的对称点为，当时，点在下方．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③
C．②④D．①④
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为，且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与轴交点坐标和对称轴与轴交点可对②作判断；
根据对称性得：，根据线段的和与差可对③作判断；根据的坐标和到轴的距离可对④作判断．
【详解】解：①由题意得：，开口向上，
抛物线对称轴是，且经过点，
抛物线过轴另一个点为，
当时，；
故①正确；
②当在点时，，
，
不可能与重合，
故②不正确；
③，
故③正确；
④把代入中，，
当时，，，点在的上方，
故④不正确；
所以正确的有：①③，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、与轴的交点、关于轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．
8．（2020·山东· 模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点、点在该函数图象上，则
③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出A，B，C的坐标，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则四边形的最小周长，即可判断④．
【详解】把代入中，得，
，
一元二次方程两个相等的实数根，
∴抛物线与直线有且只有一个交点，
故此小题结论正确；
抛物线的对称轴为：直线，
点关于直线的对称点为，
，
当时，随增大而增大，
又，点、点、点在该函数图象上，
，
故此小题结论错误；
将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，抛物线的解析式为：，即：，
故此小题结论正确；
当时，抛物线的解析式为：，
，
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则，
根据两点之间线段最短，可知最短，而的长度一定，
四边形的最小周长
=
=
=．
故此小题结论正确；
综上所述：结论正确的有，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．
9．（2019·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（ ）
A．一直在增大B．一直不变C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】B
【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设，分别解得直线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN 的长，据此解题．
【详解】抛物线的对称轴为
直线为
E为对称轴与x轴的交点，
点D为抛物线上一动点，设
令x=0，解得y=-3，
令y=0，则
设直线的表达式为，代入点B、D
得
直线的表达式为
设直线的表达式为，代入点A、D
得
直线的表达式为
直线交直线于点M
解得
同理直线交直线于点N，
解得
的长度不变，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论．
【详解】解：令，则，
∴，
∵，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，
∴，
∴，
作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，
则，，，，
此时，
∴此时四边形EDFG周长最小，
延长，它们交于点H，如图，
则，
∴，
∴四边形EDFG周长的最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．
【答案】##0.25
【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵PQ∥y轴，
∴可设点，则，
∴，
∴当时，最大，最大值．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．（2022·吉林白城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D，若，则c的值为 _____．
【答案】
【分析】先用根与系数的关系求出，再根据求出，然后由得到关于c的方程，解方程求出c即可．
【详解】解：设，
令，则，
由根与系数的关系得：，
则，
令，则，
∴，
∵轴，
∴点D纵坐标为c，
当时，则，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．（2022·山东·日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线上取点 ， 在y轴负半轴上取一个点，使为等边三角形，然后在第四象限取抛物线上的点，在y轴负半轴上取点，使为等边三角形，重复以上的过程，可得，则的坐标为________．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，通过观察得出规律，再根据规律求出的坐标．
【详解】解：根据的坐标，设直线解析式为，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∵，又直线过点，
则直线的解析式为：，
联立抛物线解析式得，
解得：，
∴，，，
同理可得，，，
……
当，，
点纵坐标的绝对值=1+2+3+…+100=5050，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键．
14．（2022·山东·武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
【答案】
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
15．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
【答案】##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
【详解】解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
16．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于点A 和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．
【答案】
【分析】先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，取E（0，1），连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，据此求解即可．
【详解】解：∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OA=OC=3，
∴点A的坐标为（-3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（1，0） ，
取E（0，1），连接AM，EM，AE，
∴CE=ME=2，
又∵，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴CN=ME，
∴四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，
∵点A，B关于直线MN对称，
∴AM=BM，
∴四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，
∴，
∴四边形BCNM的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)①求抛物线的解析式；
② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；
(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，
(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；
②过点作轴，交于点，设，则，求得，根据二次函数的性质求得最大值，以及的值，从而求得的坐标；
（3）根据题意可得，进而勾股定理分别求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别解方程求解即可．
【详解】（1）解： y＝x+3，令x＝0，则y＝3，
令y＝0，则x＝－3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0），（0，3）；
故答案为：（﹣3，0），（0，3）；
（2）①B的坐标为：（0，3），
∴
将点A的坐标（﹣3，0）代入抛物线表达式得：，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为；
②如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∴
当时，取得最大值，为
此时
∴
（3）令中y＝0，则＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或，
∴C（1，0）．
∵，
∴D（﹣1，4），
∵点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，
∴．
∵，，
∴，
，．
①当PC＝PB时，
即
解得：t＝3；
②当BC＝PC时，
解得：t＝4±；
③当BC＝PB时，
解得：t＝4或﹣2（舍去负值）
综上可知：当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一点，过点作∥轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作∥轴交BC于点H，由题意易得，则有，然后可得，，，进而可求，设，设直线的解析式为：，则有，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵点、、在抛物线的图像上，
∴将点A、B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴；
（2）解：如图，过点P作∥轴交BC于点H，
∵∥轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴当取最大值时，取最大值，
设，设直线的解析式为：，
将点B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的最大值，
将代入到中，得，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，求出此时Q点坐标；
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，即可求出m的值及这个二次函数的解析式；
（2）使的周长最小，即是求的值最小，作B点关于x轴的对称点，当A、Q、三点在一条直线上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而可得Q点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，则，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴直线解析式为，
当时，，即，
∴B点关于x轴的对称点点的坐标为，
设直线的解析式为，
将A、两点坐标代入，得，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图，当A、Q、三点在一条直线上时，的值最小，即的周长最小，Q点为直线与x轴的交点，
当时，即，
解得，
∴Q点坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，解题时注意数形结合思想的运用．
20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线的函数解析式为 ，点的坐标为 ，连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为
【答案】(1)
(2)；或
(3)
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得线的表达式为：，依题意将的面积分成的两部分，则或，进而求得的纵坐标，即可求解．
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，根据题意得出点，进而待定系数法求得直线的表达式为： ，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式，
，
解得，
故二次函数的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线的表达式，
，
解得，
∴直线的表达式为：；
对于，函数的对称轴为，故点；
将的面积分成的两部分，则或，
则或，即或，解得：或，
故点或；
故答案为：，，或；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，
的周长最小，点，
设直线的表达式为：，则，
解得，
故直线的表达式为： ，
令，则，故点．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，轴对称求线段和，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可；
（2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）设，
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：如图，延长交x轴于点F，
设点，的周长是l，
∵，
∴，
∵，
∴的周长是12，
设直线BC的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式是：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为，
当时，，
∴．
综上：周长的最大值为，此时点P的坐标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式．
22．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线解析式可求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．由抛物线的解析式可求出点C和点D的坐标，从而得出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而即可求出E点坐标．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴令，则；令，则，
∴点B、C的坐标分别为，
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
故该抛物线的解析式：；
（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．
对于，令，则，
∴点C的坐标为，
∴点的坐标为．
∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为．
设直线的表达式为，
将、D的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
对于，当时，，
故点E的坐标为．
【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合题，考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，二次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线的函数解析式为______，点的坐标为______，______．
(3)在轴上找一点，使得的周长最小．请求出点的坐标；
【答案】(1)
(2)；；
(3)
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再利用抛物线的对称轴方程求解抛物线的顶点坐标，设抛物线的对称轴交于点E，连接，证明，再利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，可得的周长为，此时的周长最短，再求解直线的解析式即可．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
故抛物线的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线AB的解析式为：，
，解得，
∴直线的表达式为：；
对于，函数的对称轴为直线，
把代入，
∴顶点；
如图，设抛物线的对称轴交于点E，连接，
把代入，得，
，
为线段的中点，，
在中，，
，
，
，
在中，
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，
∴的周长为，
此时的周长最短，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，锐角三角函数的计算，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）设，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线BC的对称点，连接，利用勾股定理及轴对称的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴设，将代入，
得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点，连接，
∵，，
∴，
∵O、关于直线对称，
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴，
在中， ，
∵，
∴，即点Q位于直线与直线交点时，
有最小值10．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段最短及轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在，；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，即可得出，设直线的解析式为：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周长．
【详解】（1）将，，代入
得:,
解得:
所以抛物线的函数表达式：
（2）存在；∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，
∴ 解得 ，
∴ 直线的解析式为：，
把代入直线的解析式，得，
∴；
∴
∴
【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解（2）题的关键．
26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由与坐标轴的交点可求得、，然后用待定系数法可求得抛物线的解析式是
（2）设，分别用含m的代数式表示点D、E的坐标，从而得到是一个关于m的二次式，根据二次函数的性质可求解的最大值是3
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴、，
∵点、C在抛物线解上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点P在直线l下方的抛物线上，设，
∵轴，轴，点D，E都在直线上，
∴，，
∴，
，
∴，
即：，
∵，，
∴当时，的最大值是3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数求最值的方法
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设动点P得坐标为，则C点得坐标为，进而表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：∵、在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
∵、在直线上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
∴，
∵，，
∴当时，当P点坐标为，线段PC有最大且为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（2022·重庆八中模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作PZx轴交于点Z，过点P作PQCB交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值为，
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设，过P作轴交于M，过Q作轴交于N，根据待定系数法求直线，解析式，则可求M，Z的坐标，从而求出，，然后证明可得，，再证明，得出，进而得出，最后利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质可得新抛物线为，，然后分①以，为对角线；②以，为对角线；③以，为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵
∴顶点坐标为；
（2）解：设，
过P作轴交于M，过Q作轴交于N，
∵，，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、M的横坐标相同，
∴，
∴，
易求，
∵，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、Z的纵坐标相同，
∴Z的纵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵轴，，轴，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，，
∵轴，与x轴所交的锐角为
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值为，
此时，
∴；
（3）解：抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，得到新抛物线，
向下平移个单位，向右平移3个单位，得到
设， ，
令，则，解得，，
∴，
①以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴，
∴
②以，为对角线时，
，
解得，，
又，
∴，
∴，
∴无解，
∴不符合题，舍去；
③以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴（正跟舍去），
∴，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，一次函数图象上点坐标的特征，菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标以及相关线段的长度．
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