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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题32 二次函数中的面积问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题32 二次函数中的面积问题 （全国通用），文件包含专题40二次函数中的面积问题原卷版docx、专题40二次函数中的面积问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题32 二次函数中的面积问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．（2022·湖北·汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．2C．6D．8
3．（2022·广东·江门市新会东方红中学二模）如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点P是抛物线上位于轴上方的一点，连接AP、BP，分别以AP、BP为边向△ABP外部作正方形APED、BPFG，连接BD、AG．点P从点A运动到点B的过程中，△ABD与△ABG的面积和的变化情况是（ ）
A．先增大后减小B．先减小后增大
C．始终不变D．一直增大
5．（2021·贵州铜仁·三模）如图，抛物线与直线相交于，两点，点C是抛物线的顶点．下列结论正确的个数（ ）
（1）；（2）抛物线为：；（3）当时，代数式的值是负数；（4）△ABC的面积为6
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·浙江台州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x与x轴交于O，A两点，点B为x轴上一点且AB＝3，将AB绕点A逆时针旋转45°得到AC，使得点C恰好落在抛物线上，点P为抛物线上一点，连接AP，PC，PC⊥AC，则△PAC的面积为（ ）
A．9B．C．D．3
8．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为9∶10，则c的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，点D在该函数第四象限内的图象上，若的面积为，则点D的横坐标是（ ）．
A．1B．C．D．2
11．（2018·山东济南·三模）如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2022·北京市师达中学九年级阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为 _____．
13．（2022·安徽合肥·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a<0）的顶点为A，与抛物线交于x轴上方的点B．
（1）点B的横坐标是___________
（2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为___________
14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 _____．
15．（2022·福建·莆田擢英中学九年级阶段练习）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．
三、解答题
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，点坐标为，连接，若．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式：
17．（2023·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，地物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求出该地物线的函数关系式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为．直接写出的面积的最大值．
18．（2021·新疆·乌鲁木齐市第十五中学九年级期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，，求．
(3)拋物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·广东·江东镇初级中学九年级期中） 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
20．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)①求抛物线的解析式；
② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
21．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接．
(1)求抛物线的解忻式；
(2)设点D的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
(3)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标．
22．（2022·山东济南·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求c、t的值；
(2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标．
23．（2022·河南洛阳·二模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点．
(1)直接写出，，的坐标；
(2)点为线段上一点（点与点，点不重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点的左侧，当矩形的周长最大时，求的面积．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于C点，已知点，点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．
25．（2020·新疆农业大学附属中学九年级阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值
26．（2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数与x轴交于点和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线与y轴交于点E．
(1)试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
(2)是否存在这样的点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题32 二次函数中的面积问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．（2022·湖北·汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．2C．6D．8
3．（2022·广东·江门市新会东方红中学二模）如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点P是抛物线上位于轴上方的一点，连接AP、BP，分别以AP、BP为边向△ABP外部作正方形APED、BPFG，连接BD、AG．点P从点A运动到点B的过程中，△ABD与△ABG的面积和的变化情况是（ ）
A．先增大后减小B．先减小后增大
C．始终不变D．一直增大
5．（2021·贵州铜仁·三模）如图，抛物线与直线相交于，两点，点C是抛物线的顶点．下列结论正确的个数（ ）
（1）；（2）抛物线为：；（3）当时，代数式的值是负数；（4）△ABC的面积为6
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·浙江台州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x与x轴交于O，A两点，点B为x轴上一点且AB＝3，将AB绕点A逆时针旋转45°得到AC，使得点C恰好落在抛物线上，点P为抛物线上一点，连接AP，PC，PC⊥AC，则△PAC的面积为（ ）
A．9B．C．D．3
8．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为9∶10，则c的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，点D在该函数第四象限内的图象上，若的面积为，则点D的横坐标是（ ）．
A．1B．C．D．2
11．（2018·山东济南·三模）如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2022·北京市师达中学九年级阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为 _____．
13．（2022·安徽合肥·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a<0）的顶点为A，与抛物线交于x轴上方的点B．
（1）点B的横坐标是___________
（2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为___________
14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 _____．
15．（2022·福建·莆田擢英中学九年级阶段练习）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．
三、解答题
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，点坐标为，连接，若．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式：
17．（2023·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，地物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求出该地物线的函数关系式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为．直接写出的面积的最大值．
18．（2021·新疆·乌鲁木齐市第十五中学九年级期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，，求．
(3)拋物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·广东·江东镇初级中学九年级期中） 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
20．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)①求抛物线的解析式；
② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
21．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接．
(1)求抛物线的解忻式；
(2)设点D的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
(3)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标．
22．（2022·山东济南·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求c、t的值；
(2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标．
23．（2022·河南洛阳·二模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点．
(1)直接写出，，的坐标；
(2)点为线段上一点（点与点，点不重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点的左侧，当矩形的周长最大时，求的面积．
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于C点，已知点，点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．
25．（2020·新疆农业大学附属中学九年级阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值
26．（2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．
27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数与x轴交于点和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线与y轴交于点E．
(1)试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
(2)是否存在这样的点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
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