河北省邢台市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

这是一份河北省邢台市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷共4页，满分150分，直线与直线平行，则的值为，已知为等差数列的前项和，，则=，已知双曲线，已知圆与直线，下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：1．本试卷共4页，满分150分。
2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，点，分别是棱，的中点，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．过两点，的直线的倾斜角为120°，则=（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，直线过且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．以上都不对
5．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．或B．或
C．D．
6．圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知为等差数列的前项和，，则=（ ）
A．240B．120C．180D．60
8．已知双曲线：的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
11．已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点，到直线距离相等
B．当时，直线与直线平行
C．当时，直线在轴上的截距为-2
D．当时，直线的斜率不存在
12．已知点是抛物线C：y²=2px上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______．
14．抛物线的准线方程为______．
15．已知数列满足，则=______．
16．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知直线：，直线：
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．（本小题满分12分）
已知圆过点，和．
（1）求圆的方程；
（2）求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求的面积．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足：，，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，，，，，，且为中点．求证：；
22．（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．
（1）求面积的最小值；
（2）设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴．
高二数学参考答案：
1．B
【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可．
【详解】如图所示的长方体中，
A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；
C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，
故选：B
2．C
【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案．
【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以．
故选：C．
3．B
【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求．
【详解】设直线斜率为，则，
故选：B．
4．C
【分析】根据两点斜率公式，即可求解．
【详解】由题意得，，
若直线l过点且与线段相交，则或，
故选：C．
5．C
【分析】由两条直线平行可得，求出的值，再检验．
【详解】因为直线与直线平行，
则，解得或，
当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；
当时，两直线方程分别为：，，满足题意；
综上，．
故选：C
6．D
【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程．
【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
故，解得，
故关于直线对称的点为，
所以所求的圆的方程为．
故选：D
7．B
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可．
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：B．
8．C
【分析】根据双曲线定义求解即可．
【详解】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：C．
二．多选题全选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。
9．ACD
【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可．
【详解】对于，因为，故三个向量共面，故符合题意；
对于，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，故不符合题意；
即，，不共面；
对于，，故三个向量共面，故符合题意；
对于，，故三个向量共面，故题意符合．
故选：．
10．AC
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2．
所以最短弦长为，故C正确，
故选：AC．
11．BC
【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解．
【详解】对于A：当时，直线为，
此时，，显然不满足题意，故A错误；
对于B：时，直线为，，不过A点，
而，，所以直线与直线平行，故B正确；
对于C：时，直线为，取，则，故C正确；
对于D：时，直线为，直线斜率为，故D错误；
故选：BC．
12．ABD
【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项．
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；
所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；
易知点，直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，D对；
，故、不垂直，C错．
故选：ABD．
13．
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得．
【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，
由椭圆的定义得所求长轴长
．
故答案为：
14．
【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解．
【详解】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为．
故答案为：．
15．
【分析】由已知可得，与已知的等式相减可得，从而可求得结果．
【详解】因为，所以，
所以，故．
故答案为：4
16．
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线．
【详解】由；
由．
综上：且．
故答案为：．
17．（1）；
（2）或．
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求．
【详解】（1）由，则，即，
所以或；
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，．；
（2）由，则，即，
所以，即或。
18．（1）
（2）或
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程．
（2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程．
【详解】（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和．
，解得，
故圆的方程为：．
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知圆心到直线与直线的距离相等．
故有|
解得或
所以直线的方程：或
19．（1）
（2）
【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；
（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积．
【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为焦距为，，
又离心率，，；
再由，
所以椭圆标准方程为：；
（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：
则，
，
由弦长公式，；
到直线的距离，
。
20．（1）
（2）
【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得．
【详解】（1）因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，；
所以，则．；
（2）
。
21．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论．
【详解】由题意，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，；
故，
，
即；
又平面，
故平面。
22．（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系、弦长公式、点到直线的距离公式求得面积的表达式，进而求得面积的最小值．
（2）通过求的横坐标来求得正确答案．
【详解】（1）由得，，∴，；
依题意得的斜率存在，设直线的方程，，，
由得：，
∴，，
∴，；
又O到的距离，
；
（2）由（1）得直线的方程，的横坐标为，
又由得的横坐标为，
因为，的横坐标相同，所以平行于轴．
【点睛】方法点睛：求解抛物线中三角形面积的最值有关问题，有两个关键点，一个是联立直线的方程与抛物线的方程，由此求得根与系数关系，进而求得弦长、三角形面积的表达式；二个是根据三角形面积的表达式选择恰当的方法来求面积的最值，可以考虑：基本不等式、二次函数的性质、函数的单调性等知识．