2024年湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷（含解析）

这是一份2024年湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示4个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线y=(x−1)2+3的对称轴是( )
A. 直线x=1B. 直线x=3C. 直线x=−1D. 直线x=−3
3.在双曲线y=kx的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是( )
A. −2B. 0C. 2D. −1
4.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( )
A. 0.905B. 0.90C. 0.9D. 0.8
5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A. (−1,−1)
B. (−43,−1)
C. (−1,−43)
D. (−2,−1)
6.如图，在△ABC中，DE/​/AB，且CDBD=32，则CECA的值为( )
A. 35
B. 23
C. 45
D. 32
7.已知反比例函数y=−2x的图象上有点A(2,y1)，B(1,y2)，C(−3,y3)，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y3>y1>y2
8.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=3，BE=2，CF=4，则△ABC的周长为( )
A. 18
B. 17
C. 16
D. 15
9.元旦将至，九(1)班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九(1)班共有多少名学生？设九(1)班共有x名学生，那么所列方程为( )
A. x2=1980B. x(x+1)=1980
C. 12x(x−1)=1980D. x(x−1)=1980
10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3 5，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当线段OM取最大值时，点M的坐标是( )
A. (35,65)
B. (35 5,65 5)
C. (65,125)
D. (65 5,125 5)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知点A(−2,b)与B(a,3)点关于原点对称，则a+b=______．
12.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=120°，求∠A的度数为______度.
13.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是______cm．
14.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为______．
15.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ______．
16.如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0)和y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1−k2的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算： 3tan30°+(12)−2+| 2−1|+3−64．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−32x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交于A(m,6)，B(4,−3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
19.(本小题6分)
如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km.一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，灯塔B到直线AD的距离为BE．
(1)求BE的长；
(2)求DE的长(结果精确到0.1)．
(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
20.(本小题8分)
为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有______名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为______度；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)求证：△ADC∽△CDB；
(2)若AD=2，BD=8，求CD．
22.(本小题9分)
如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点F．
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF=3，求⊙O直径的长．
23.(本小题9分)
为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计.A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为(80−4m)包，(4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．
24.(本小题10分)
如图1，A，B，C为⊙O上不重合的三点，GC为⊙O的切线，12∠G+∠A=90°．
(1)求证：GB为⊙O的切线；
(2)若△ABC为等腰三角形，∠BAC0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当ky2；
点C在y轴的左侧，函数值y为正，
故y3>y1>y2，
故选：D．
画出函数图象，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AD=AF，BD=BE，EC=FC，
∵AD=3，BE=2，CF=4，
∴AF=3，BD=2，CE=4，
∴BC=BE+EC=6，AB=AD+BD=5，AC=AF+FC=7，
∴△ABC的周长=BC+AB+AC=18．
故选：A．
由切线长定理可知AD=AF，BD=BE，EC=FC，再根据线段的和差即可求得答案．
本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，
∴全班共送：(x−1)x=1980，
故选D．
根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：(x−1)x=1980．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点C为平面内一动点，BC=32，
∴点C在以点B为圆心，32为半径的圆B上，
在x轴的负半轴上取点D(−3 52,0)，
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA=OB=3 5，
∴AD=OD+OA=9 52，
∴OAAD=23，
∵CM：MA=1：2，
∴OAAD=23=AMAC，
∵∠OAM=∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴OMCD=OAAD=23，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA=OB=3 5，OD=3 52，
∴BD= OB2+OD2=152，
∴CD=BC+BD=9，
∵OMCD=23，
∴OM=6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB=∠DFC=90°，
∵∠BDO=∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴OBCF=BDCD，即3 5CF=1529，
解得CF=18 55，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴MECF=AMAC=23，即ME18 55=23，
解得ME=12 55，
∴OE= OM2−ME2=6 55，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是(65 5,125 5)，
故选D．
由题意可得点C在以点B为圆心，32为半径的圆B上，在x轴的负半轴上取点D(−3 52,0)，连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得OMCD=OAAD=23，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵点A(−2,b)与B(a,3)点关于原点对称，
∴a=2，b=−3，
∴a+b=−1．
故答案为：−1．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
12.【答案】60
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=180°−120°=60°，
故答案为：60．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】43π
【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm．
故答案为4π3．
直接利用弧长公式计算．
本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
14.【答案】九
【解析】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB=20°，
∴∠AOB=2∠ADB=40°，
而360°÷40°=9，
∴这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB=40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
15.【答案】 22
【解析】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2=22+42=20，BC2=12+32=10，AC2=12+32=10，
则BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=ACAB= 102 5= 22，
故答案为： 22．
连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．△ABC的面积=12⋅AB⋅yA，先设A、B两点坐标(其y坐标相同)，然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【解答】
解：设：A、B、C三点的坐标分别是A(k1m,m)、B(k2m,m)，
则：△ABC的面积=12⋅AB⋅yA=12⋅(k1m−k2m)⋅m=4，
则k1−k2=8．
故答案为8．
17.【答案】解：原式= 3× 33+4+ 2−1−4
= 2．
【解析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵点B(4,−3)在反比例函数y=kx和一次函数y=−32x+b的图象上，
∴−3=k4−3=−32×4+b．
解得k=−12，b=3，
∴反比例函数的表达式为y=−12x，一次函数的表达式为y=−32x+3．
答：反比例函数的表达式为y=−12x，一次函数的表达式为y=−32x+3；
(2)∵点A(m,6)在反比例函数y=−12x的图象上，
∴6=−12m，
解得m=−2，
∴点A的坐标为(−2,6)，
把x=0代入y=−32x+3得y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OC=3，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC′；
=12OC⋅|xA|+12OC⋅|xB|
=9．
【解析】(1)根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
(2)根据三角形面积的和差，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，三角形面积，求出两个函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得，∠E=90°，
∵AB=30km，∠BAE=58°，
∴BE=AB⋅sin58°≈30×0.8 5=25.5(km)．
(2)∵BC=10km，
∴CE=BC+BE=35.5(km)，

∴DE=CE÷tan37°≈35.5÷0.75≈47.3(km)．
答：BE的长为25.5km，DE的长为47.3km．
【解析】由题意得，∠E=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．
20.【答案】解：(1)50；72；
(2)B类人数是：50−10−8−20=12(人)，
补全条形统计图如图所示：
(3)850×600=96名，
答：估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有96名；
(4)列表如下：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率=416=14．

【解析】解：(1)本次被抽查的学生共有：20÷40%=50(名)，
扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为1050×360°=72°；
故答案为：50，72；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
【分析】
本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
(1)用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中“A.书画类”的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数；
(2)用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；
(3)用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
(4)先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠A+∠ACD=90°，
∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴△ADC∽△CDB．
(2)∵△ADC∽△CDB，
ADCD=CDBD，
∴CD2=AD⋅BD，
又∵AD=2，BD=8，
∴CD=16，则CD=4．
【解析】(1)利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，则利用有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ADC∽△CDB；
(2)利用相似比得到ADCD=CDBD，然后利用比例性质求CD．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．
22.【答案】解：(1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠OCB=2∠BCP，
∴3∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠OCB=60°．
(2)连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∵点E是BD的中点，
∴DE=EB，
∴∠DCE=∠FDE=∠ECB=12∠DCB=30°，
∵∠E=90°，EF=3，∠FDE=30°，
∴DE= 3FE=3 3，
∵∠E=90°，∠DCE=30°，
∴CD=2DE=6 3，
∴⊙O的直径的长为6 3．
【解析】(1)由切线的性质得到∠OCB+∠BCP=90°，由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC，由已知∠ABC=2∠BCP，因此∠OCB=2∠BCP，得到3∠BCP=90°，求出∠BCP=30°，得到∠OCB=60°．
(2)由圆周角定理推出∠FDE=30°，由直角三角形的性质求出DE的长，即可得到CD的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠OCB=2∠BCP；由圆周角定理得到∠FDE=30°．
23.【答案】解：(1)设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，
由题意可得，20a+30b=27030a+20b=230，
解得：a=3b=7
答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元；
(2)由题意可得，[3m+7(40−m)]×(80−4m)+[3(40−m)+7m]×(4m+8)=17280，
解得m=19或m=10，
m≤12(40−m)，
∴m≤403，
∴m=10．
【解析】(1)根据题意设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，列出方程组解答即可；
(2)由题意可得，[3m+7(40−m)]×(80−4m)+[3(40−m)+7m]×(4m+8)=17280，解得m=19或m=10，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．确定m值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，理顺销售总额包含的各项收入是关键．
24.【答案】(1)证明：连接OB，OC，
∵GC为⊙O的切线，
∴∠GCO=90°，
∵12∠G+∠A=90°，
∴∠G+2∠A=∠G+∠COB=180°，
∴∠GBO=180°−90°=90°，
∵点B在⊙O上，
∴GB为⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，连接OG交BC于点D，连接OC，OB，

∵OC=OB，GC=GB，
∴BC⊥OD，且D为BC的中点，
∴∠COG=12∠COB=∠BAC，
∵tan∠BAC=34，
∴cs∠BAC=45，sin∠BAC=35，
①当BC为底边，点A在弦BC所对的优弧上时，AC=AB，
∴BC=2CD，AD⊥BC，
∵OC=OB，
∴∠AOG=12∠COB，
∵∠CAB=12∠COB，
∴∠COG=∠CAB，
∴BC=2CD=2⋅r⋅sin∠COG=2⋅r⋅sin∠BAC=6，
连接OA，∵AC=AB，
∴A，O，D，G四点共线，
∴AG=AO+OG=r+rcs∠COG=r+rcs∠BAC=9r4，
∴BCAG=815；
②当AB为底边时，AC=BC，
∴AB⊥OC于点F，

令CF=3t，则BF=AF=12AB=3ttan∠BAC=4t,OF=r−3t，
∵OF2+BF2=OB2，
即(r−3t)2+(4t)2=r2
解得t=6r25，
∴CF=3t=18r25，BF=4t=24r25，
过点G作AB的垂线，垂足为点H，
∵AB⊥OC，CG⊥OC，
∴四边形CFHG为矩形，
∴AH=HF+FA=CG+BF=rtan∠COG+BF=rtan∠BAC+BF=34r+24r25=171100r，GH=CF=18r25，
∴AG= AH2+GH2=9 17r20，
由①知BC=2CD=2⋅r⋅sin∠BAC=6，
∴BCAG=8 1751；
③当AC为底边时，由对称性，与AB为底边时的情况相同．
综上所述，AGAB=815或8 1751；
(3)解：延长AC，BG交于点D，

∵∠CGD=180°−∠BGC=2∠A，∠D=90°−∠A，
∴∠D=∠DCG，
∴CG=DG，
由(1)得CG=GB，
∴GB=DG，G是BD的中点，
∵GM⊥GB，AB⊥GB，
∴GM//AB，M是AD的中点．
连接OM，则四边形OMGB为矩形，
∴OM=GB，
∴OB2=OA2=AM2−OM2=AM2−GB2，
设GB=x，AM=y，则0