广东省深圳市南山区南山二外（集团）学府中学2023-2024学年下学期九年级开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区南山二外（集团）学府中学2023-2024学年下学期九年级开学考数学试卷，共26页。试卷主要包含了点A，下列说法中，错误的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝5
3．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A．B．C．1D．
5．点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
8．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高9．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）
A．点O为▱ABCD的对称中心 B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED D．四边形BEDF为菱形
10．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ）
A．6B．9C．6D．12
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如果，那么＝ ．
12．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 ．
13．如图，某幅画的总面积为4m2，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ．
14．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为 ．
（第14题） （第15题）
15．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，AD＝2，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．则MN的长度为 ．
三．解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题7分、第18题8分、第19题8分，第20题8分、第21题9分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（1）计算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．
17．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
18．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）在坐标系中画出函数y＝x的图象，并结合图象，求当x时，x的取值范围．
19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
20．下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF．求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）请你选择一位同学的思路，并进行证明；
（2）若，BE＝4，求BC的长．
21．根据以下素材，探索完成任务．
22．【问题呈现】
如图1，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，点P，Q分别是射线CB，射线CD上的两动点，且满足∠PAQ＝135°，连接PQ．问：△APQ有何特点？
【探究与延伸】
（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是 （填序号）；
①运动过程中，△APQ的周长不变；
②运动过程中，△APQ面积不变；
③运动过程中，△APQ的形状不变；
④运动过程中，∠APQ的大小不变．
（2）某同学提问：运动过程中，的值是否发生变化？请你帮忙解惑（若变化，请说明理由；若不变，请你依图1中的位置情形，求出其值）．
（3）如图2，点O是BD的中点，点M是PQ的中点，当PQ最小时，M，O两点间的距离是多少？（可直接写出结果）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1，变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝5
【分析】把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即AB、BA，
∴卡片上诗的作者都是李白的概率是＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴＝，
∵AB＝3，
∴BC＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
5．点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0
【分析】根据反比例函数的性质，当k＞0时，图象在第一三象限，在图象的每一支上y随x的增大而减小，可以判断出y2＜y1＜0，
【解答】解：∵反比例函数中，k＝1＞0，
∴在图象的每一支上y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴y2＜y1＜0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是看k，并能正确把握反比例函数的性质．
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，掌握判定定理是解题关键．
7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
【解答】解：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形的中位线定理，根据已知利用三角形中位线定理得出EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD是解决问题的关键．
8．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380D．x2＝380
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝380．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）
A．点O为▱ABCD的对称中心
B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED
D．四边形BEDF为菱形
【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，得到BD＝DO，于是得到点O为▱ABCD的对称中心，故A正确；根据线段垂直平分线的性质得到BE＝ED，BF＝FD，根据全等三角形的性质得到∠BFE＝∠DFE，根据平行线的性质得到∠BFE＝∠DEF，推出四边形BFDE是菱形，故D正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正确；由于无法证明∠ABE＝∠DBE，得到BE不一定平分∠ABD，故B错误．
【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∴点O为▱ABCD的对称中心，故A正确；
∴BE＝ED，BF＝FD，
∵FE＝EF，
∴△BFE≌△DFE（SSS），
∴∠BFE＝∠DFE，
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四边形BFDE是菱形，故D正确；
∴S△BDE＝S△BFD，
∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正确；
∵无法证明∠ABE＝∠DBE，
∴BE不一定平分∠ABD，故B错误，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
10．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ）
A．6B．9C．6D．12
【分析】由点P和点Q的运动可知，AB＝1×6＝6，BC＝12，当点Q在BC上时，即0≤t＜3时，BQ＝4t，当点Q在CD上时，即3≤t≤6时，分别表达出△BPQ的面积，分析可知当点Q到达点C时，S＝a，此时t＝3，再结合△BPQ的面积公式求解即可．
【解答】解：由题图2得，t＝6时点P停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6秒，
∴AB＝1×6＝6，
∴BC＝2AB＝12，
由点P和点Q的运动可知，AP＝t，BP＝6﹣t，
当点Q在BC上时，即0≤t＜3时，BQ＝4t，过点P作PM⊥BC于点M，
∵∠B＝60°，
∴PM＝BP•sinB＝（6﹣t），
此时△BPQ的面积＝BQ•PM＝•4t•（6﹣t）＝﹣t2+6t，
当点Q在CD上时，即3≤t≤6时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴S△BPQ＝S△BPC＝BC•PM＝×12×（6﹣t）＝﹣3t+18，
由上可知，当点Q到达点C时，S＝a，
即当t＝3时，a＝﹣3×3+18＝9，
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出AB及BC的长．
二．填空题（共5小题）
11．如果，那么＝ ．
【分析】先根据比例的性质得a＝b，再代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
12．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣csB＝0，即sinA＝，csB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
13．如图，某幅画的总面积为4m2，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 2.4m2 ．
【分析】用长方形的总面积乘以骰子落在被污染部分上的频率的稳定值即可．
【解答】解：∵长方形的总面积为4m2，骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，
∴宣传画上图案的面积约为：4×0.6＝2.4（m2）．
故答案为：2.4m2．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为 ．
【分析】根据矩形的性质得到BE＝OA＝5，AB＝2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y＝，得到k＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形AOEB是矩形，
∴BE＝OA＝5，AB＝2，
∴B（2，5），
设双曲线BC的解析式为y＝，
∴k＝10，
∴y＝，
∵CD为1
∴当y＝1时，x＝10，
∴DE的长＝10﹣2＝8m，
【点评】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
15．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，AD＝2，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．则MN的长度为 ．
【分析】连接AN，过点M作MH⊥AE于点H，求出，得出，证明△AHM∽△EBA，求出，再证明△DNM∽△CNE，求出结果即可．
【解答】解：连接AN，过点M作MH⊥AE于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝1，
根据折叠可知，AF＝AB＝2，EF＝BE＝1，∠AFE＝∠B＝90°，∠AEF＝∠AEB，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AEB，
∴∠AEF＝∠EAM，
∴AM＝EM，
∵MH⊥AE，
∴，
∵∠AHM＝∠B＝90°，∠EAM＝∠AEB，
∴△AHM∽△EBA，
∴，
即，
解得：，
∴，，
∵∠MDN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠CNE，
∴△DNM∽△CNE，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，求出．
三．解答题（共7小题）
16．(1)计算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣3﹣3×
＝1+﹣1﹣3﹣
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2）．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝•
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
17．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为 90 度，图中m的值为 40 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用360°乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；
（2）根据（1）求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），即参赛学生共20人；
则B等级人数20﹣（3+8+4）＝5（人）．
“B等级”的扇形的圆心角的度数为：；
“C等级”的所占的百分比为：，即m＝40．
故答案为：20，90，40．
（2）补全条形图如下：
（3）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率＝．
【点评】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
18．请用学过的方法研究一类新函数y＝（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（2）对于函数y＝，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）在坐标系中画出函数y＝x的图象，并结合图象，求当x时，x的取值范围．
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可；
（3）画出函数y＝x的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）函数y＝的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．
②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大；
（3）由图象可知，当x时，x的取值范围是x＜0或0＜x＜2．
【点评】本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．
19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝8625，
整理，得：y2﹣190y+6525＝0，
解得：y1＝145，y2＝45，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴y1＝145（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF．求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）请你选择一位同学的思路，并进行证明；
（2）若，BE＝4，求BC的长．
【分析】（1）小星的思路．先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红的思路．由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠AFD＝∠CEB＝90°，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证；
（2）由勾股定理可求BC的长．
【解答】解：（1）选择小星的思路．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AF＝CE，
∴BF＝DE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
选择小红的思路．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C．
∵AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
∴∠DFB＝90°．
∵CD∥AB，
∴∠FBE＝∠CEB＝90°，
∴∠DFB＝∠FBE＝∠BED＝90°，
∴．四边形DFBE是矩形；
（2）在 Rt△BDE 中，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2．
在Rt△BCE中，BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
解得BC＝5．
∴BC的长为5．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为2.1米，令x＝2.1，则y＝﹣（2.1﹣）2+＝﹣0.33，从而可以求出喷水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当y＝﹣（x﹣）2+向上平移个单位，再令y＝0，即0＝﹣（x﹣）2++，求出x的值，再减去2.1即可判断得解．
【解答】解：任务1：由题意得，A（0，0.72），顶点为（0.3，0.75）．
∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.3）2+0.75．
又抛物线过A（0，0.72），
∴0.72＝0.09a+0.75．
∴a＝﹣．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣）2+．
任务2：由题意，∵喷泉池的半径为2.1米，
∴令x＝2.1，则y＝﹣（2.1﹣）2+＝﹣0.33．
∴喷水口升高的最小值为|﹣0.33|＝0.33（米）．
任务3：当y＝﹣（x﹣）2+向上平移个单位，
∴y＝﹣（x﹣）2++．
令y＝0，即0＝﹣（x﹣）2++．
∴当x＝2.3或x＝﹣1.7（舍去）．
∴2.3﹣2.1＝0.2（米）．
∴建议花卉的种植宽度为0.2米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
22．【问题呈现】
如图1，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，点P，Q分别是射线CB，射线CD上的两动点，且满足∠PAQ＝135°，连接PQ．问：△APQ有何特点？
【探究与延伸】
（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是 ③④ （填序号）；
①运动过程中，△APQ的周长不变；
②运动过程中，△APQ面积不变；
③运动过程中，△APQ的形状不变；
④运动过程中，∠APQ的大小不变．
（2）某同学提问：运动过程中，的值是否发生变化？请你帮忙解惑（若变化，请说明理由；若不变，请你依图1中的位置情形，求出其值）．
（3）如图2，点O是BD的中点，点M是PQ的中点，当PQ最小时，M，O两点间的距离是多少？（可直接写出结果）
【分析】（1）作AE⊥AB交CB的延长线于点E，连接DE，可证明△ADQ∽△AEP，得＝，所以＝，再证明△APQ∽△AED，因为△AED的形状不变，所以△APQ的形状不变，∠APQ的大小不变，而点P是射线CB上的动点，所以△APQ的周长和面积改变，于是得到问题的答案；
（2）作EG⊥DA交DA的延长线于点G，可证明AG＝EG，则AE＝EG＝，求得AG＝EG＝1，则DG＝3，所以ED＝＝，由相似三角形的性质得＝，所以＝＝，可知的值不发生变化，的值为；
（3）由＝，得PQ＝AP，则当AP⊥CB时，AP最小，此时PQ最小，作AE⊥AB交CB的延长线于点E，可证明E、A、Q三点在同一条直线上，求得BE＝＝2＝AD，可证明四边形AEBD是平行四边形，则AE＝BD＝，AQ∥BD，进而证明四边形ABDQ是平行四边形，则AQ＝BD，所以AQ＝AE，设PQ交AD于点F，则△AFQ∽△EPQ，得＝＝＝，由点F、点M都是PQ的中点，证明点M与点F重合，求得AF＝EP＝，作OH⊥AD于点H，则OD＝BD＝，求得DH＝OH＝，则FH＝1，所以MO＝FO＝＝，则M，O两点间的距离是．
【解答】解：（1）如图1，作AE⊥AB交CB的延长线于点E，连接DE，则∠BAE＝90°，
∵∠PAQ＝135°，∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝135°，
∴∠PAQ＝∠EAD＝135°，
∴∠DAQ＝∠EAP＝135°﹣∠PAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，∠ADQ＝∠BAD＝45°，
∴∠AEP＝∠ABE＝45°，
∴∠ADQ＝∠AEP，AE＝AB＝，
∴△ADQ∽△AEP，
∴＝，
∴＝，
∴△APQ∽△AED，
∵AE＝AB＝，AD＝BC＝2，∠EAD＝135°，点P是射线CB上的动点，
∴△AED的形状不变，
∴△APQ的形状不变，∠APQ的大小不变，△APQ的周长和面积改变，
故答案为：③④．
（2）的值不发生变化，
如图1，作EG⊥DA交DA的延长线于点G，则∠G＝90°，
∵∠GAE＝∠AEP＝45°，
∴∠GEA＝∠GAE＝45°，
∴AG＝EG，
∴AE＝＝EG＝，
∴AG＝EG＝1，
∴DG＝AD+AG＝2+1＝3，
∴ED＝＝＝，
∵△APQ∽△AED，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴的值不发生变化，的值为．
（3）M，O两点间的距离是，
理由：∵＝，
∴PQ＝AP，
∴当AP⊥CB时，AP最小，此时PQ最小，
如图2，AE⊥AB交CB的延长线于点E，AP⊥CB，则∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴∠EAQ＝45°+135°＝180°，
∴E、A、Q三点在同一条直线上，
∵∠DAQ＝∠AEP＝45°，∠ADQ＝∠BAD＝45°，
∴∠AQD＝90°＝∠EAB，
∴AB∥DQ，
∵BE＝＝＝2＝AD，BE∥AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE＝BD＝，AE∥BD，即AQ∥BD，
∴四边形ABDQ是平行四边形，
∴AQ＝BD，
∴AQ＝AE，
设PQ交AD于点F，则AF∥EP，
∴△AFQ∽△EPQ，
∴＝＝＝，
∵点F、点M都是PQ的中点，
∴点M与点F重合，
∵∠BAE＝90°，AE＝AB，AP⊥BE，
∴EP＝BP＝AP＝BE＝1，
∴AF＝EP＝，
作OH⊥AD于点H，则∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵点O是BD的中点，∠HDO＝∠AEP＝45°，
∴OD＝OB＝BD＝，∠HOD＝∠HDO＝45°，
∴DH＝OH，
∴OD＝＝OH＝，
∴DH＝OH＝，
∴FH＝AD﹣AF﹣DH＝2﹣﹣＝1，
∴MO＝FO＝＝＝，
∴M，O两点间的距离是．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．

素材2
从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米．

问题解决
任务1
建立模型
以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3
分析计算
喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．
女
男1
男2
女
女男1
女男2
男1
男1女
男1男2
男2
男2女
男2男1
素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．

素材2
从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米．

问题解决
任务1
建立模型
以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3
分析计算
喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．