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辽宁省盘锦市辽河油田实验中学2023—2024学年 九年级下学期开学考试数学试卷
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这是一份辽宁省盘锦市辽河油田实验中学2023—2024学年 九年级下学期开学考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了下列计算结果正确的是，已知，已知一次函数y＝kx+3等内容，欢迎下载使用。
A．﹣2kmB．﹣1kmC．1kmD．+2km
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．
故选：B．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
2．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
3．古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．（﹣ab4）2＝a2b8
C．a6÷a3＝a2D．.（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：（a3）3＝a9，则A不符合题意；
（﹣ab4）2＝a2b8，则B符合题意；
a6÷a3＝a3，则C不符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴方程有两个不等实根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据上有三十五头，下有九十四足，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝20°，∠FED＝56°，则∠GFH＝（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝56°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝56°，
∴∠FED＝∠GFB＝56°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．已知：平行四边形AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣，4）B．.（﹣2，4）C．.（﹣，3）D．.（﹣，4）
【分析】AD交y轴于B点，如图，利用基本作图得到∠AOF＝∠COF，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠AFO＝∠AOF，所以AF＝AO，设A（t，4），则AB＝﹣t，OA＝3﹣t，在Rt△OAB中利用勾股定理得到t2+42＝（3﹣t）2，然后解方程求出t，从而得到A点坐标．
【解答】解：AD交y轴于B点，如图，
由作法得OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠AOF，
∴AF＝AO，
设A（t，4），则AB＝﹣t，
∵F（3，4），
∴BF＝3，OB＝4，
∴AF＝3﹣t，
∴OA＝3﹣t，
在Rt△OAB中，t2+42＝（3﹣t）2，
解得t＝﹣，
∴A点坐标为（﹣，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．
10．已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，且函数值y随x的增大而增大，则点A的坐标可能是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（1，2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣1）
【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再利用一次函数图象上点的坐标特征验证四个选项中的点是否在函数图象上，此题得解．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0．
A、当x＝﹣2时，y＝﹣2k+3＜3，选项A正确；
B、当x＝1时，y＝k+3＞3，选项B错误；
C、当x＝﹣2时，y＝﹣2k+3＜3，选项C错误；
D、当x＝2时，y＝2k+3＞3，选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质找出k＞0是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 a≥﹣3且a≠±1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0，
解得a≥﹣3且a≠±1．
故答案为：a≥﹣3且a≠±1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标为 （9，6） ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故答案为：（9，6）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
13．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 10π m．（结果保留π）
【分析】由弧长公式：l＝（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，
∴的长＝＝10π（m）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
14．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 6 ．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC＝4，
∵AC＝2AO，
∴S△ADO＝2，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ODE＝3，
由几何意义得，＝3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE，BE，当点E落在△ABC的边上时，AE的长为 或 ．
【分析】首先得到△ABC，△BDE均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在BC边上和点E落在AC边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，
∴△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
①当点E落在BC边上时，如图所示，则点D在AB边上，
∴DE＝BD＝AB﹣AD＝3，
在Rt△ADE中，；
②当点E落在AC边上时，如解图2所示．
∵∠CBA＝∠EBD＝45°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵，
∴△CEB∽△ADB，
∴，
∴，
∴．
综上所述，AE的长为或．
解法二：△ABD∽△CBE，得CE＝2，即以点C为圆心，CE的长为半径画圆与AC，BC两个交点，就是两个点E，可得结论．
故答案为：或．
【点评】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
三．解答题（共8小题）
16．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用分式的基本性质、分式的混合运算法则化简进而代入数据求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
17．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
【分析】（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每件乙种商品的价格，再将其代入（x+8）中即可求出每件甲种商品的价格；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】（1）解：∵D组人数为 8 人，所占百分比为16%，
∴总人数为8÷16%＝50人，
∴x＝4÷50＝8%．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为20÷50＝40%，
∴等级为B的学生人数为500×40%＝200人．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有 12 种情况，其中恰有一男一女的有 8 种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
19．小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，
sin30°＝＝，
解得DE＝0.4，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，
∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），
∵EF∥AB，
∴∠GEF＝∠EDB＝90°，
在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，
tan53°＝≈，
sin53°＝≈，
∴EF＝0.48，FG＝0.8，
∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
22．如图的题目中黑色区域是被污染后留下的痕迹，上面的文字已经无法辨认，导致题目中缺少一个条件而无法解答，经查询发现，该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（1）请根据已有的信息添上这个条件是 （2，0） ；
（2）当﹣2≤x≤1时，函数 y＝﹣x2+x+2 的最大值是 ，最小值是 ﹣4 ；
（3）若点D为抛物线上任意一点，连接AC，AD．
①当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；
②若将抛物线 y＝﹣x2+x+2向下平移3个单位得到新抛物线，其中平移后的点D对应点E．当 AC⊥AE 时，求点
D的坐标．
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点为（，），对称轴是直线x＝，根据二次函数性质可得在﹣2≤x≤1时，函数最小值﹣（﹣2﹣）2+＝﹣4，最大值；
（3）①过C作CK⊥AC交AD延长线于K，过C作MN∥x轴，过A作AM⊥MN于M，过K作KN⊥MN于N，由∠CAD＝45°，CK⊥AC，知△ACK是等腰直角三角形，可证△ACM≌△CKN（AAS），即得AM＝CN＝2，CM＝NK＝1，故K（2，1），得直线AK解析式为y＝x+，从而直线AD的解析式为y＝x+；
②连接DE交x轴于T，设D（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m2+m﹣1），证明△ATE∽△COA，有＝，解得m＝1或m＝，故D的坐标为（1，2）或（，）．
【解答】解：（1）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2，
∴B的坐标可以是（2，0），
故答案为：（2，0）（答案不唯一）；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点为（，），对称轴是直线x＝，
∵﹣（﹣2）＞1﹣，且抛物线开口向下，
∴在﹣2≤x≤1时，
当x＝﹣2时，取最小值﹣（﹣2﹣）2+＝﹣4，
当x＝时，取最大值；
故答案为：，﹣4；
（3）①过C作CK⊥AC交AD延长线于K，过C作MN∥x轴，过A作AM⊥MN于M，过K作KN⊥MN于N，如图：
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
∵A（﹣1，0），
∴AM＝2，CM＝1，
∵∠CAD＝45°，CK⊥AC，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴∠MCA＝90°﹣∠NCK＝∠NKC，AC＝KC，
∵∠M＝∠N＝90°，
∴△ACM≌△CKN（AAS），
∴AM＝CN＝2，CM＝NK＝1，
∴K（2，1），
由A（﹣1，0），K（2，1）得直线AK解析式为y＝x+，
∴直线AD的解析式为y＝x+；
②连接DE交x轴于T，如图：
设D（m，﹣m2+m+2），
∵将抛物线 y＝﹣x2+x+2向下平移3个单位得到新抛物线，平移后的点D对应点E，
∴DE∥x轴，E（m，﹣m2+m﹣1），
∴∠ATE＝90°，AT＝m+1，TE＝m2﹣m+1，
∵∠EAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，∠ATE＝90°＝∠AOC，
∴△ATE∽△COA，
∴＝，即＝，
解得m＝1或m＝，
∴D的坐标为（1，2）或（，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形全等三角形，相似三角形解决问题．
23．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为直径，向外侧作半圆，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 S1+S2＝S3 ；
推广验证：
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用：
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．
（2）通过证明△ADB∽△BFC，可得，同理可得 ，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP＝，BP＝BH+PH＝3+，可求S△ABP＝，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，＝＝，S△PDE＝，可得∠BPD＝90°，PD＝1+，可求S△BPD＝2+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，即可求解．
【解答】解：类比探究
（1）S1+S2＝S3．
证明如下：
∵S3＝πc2，S1＝πa2，S2＝πb2，
∴S1+S2＝ πa2+πb2＝πc2＝S3；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，
∴△ADB∽△BFC，
∴，
同理可得：，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴＝1，
∴S1+S2＝S3；
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，
∵∠ABH＝30°，AB＝2，
∴AH＝BH＝3，∠BAH＝60°，
∵∠BAP＝105°，
∴∠HAP＝45°，
∵AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH＝，
∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，
∴S△ABP＝＝＝，
∵PE＝，ED＝2，AP＝，AB＝2，
∴＝＝，＝＝，
∴，
且∠E＝∠BAP＝105°，
∴△ABP∽△EDP，
∴∠EPD＝∠APB＝45°，＝＝，
∴∠BPD＝90°，PD＝1+，
∴S△BPD＝＝＝2+3，
∵△ABP∽△EDP，
∴＝（）2＝，
∴S△PDE＝×＝，
∵tan∠PBD＝＝，
∴∠PBD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，
又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，
∴△ABP∽△EDP∽△CBD，
由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，
∴五边形ABCDE的面积＝++2+2+2+3＝6+7．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求三角形的面积是本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/5 12:35:42；用户：金秀智；邮箱：qanjindy48@xyh.cm；学号：41500092等级
实践t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
D
t≥6
16%
已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，求抛物线的解析式．
A．﹣2kmB．﹣1kmC．1kmD．+2km
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．
故选：B．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
2．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
3．古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．（﹣ab4）2＝a2b8
C．a6÷a3＝a2D．.（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：（a3）3＝a9，则A不符合题意；
（﹣ab4）2＝a2b8，则B符合题意；
a6÷a3＝a3，则C不符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴方程有两个不等实根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据上有三十五头，下有九十四足，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝20°，∠FED＝56°，则∠GFH＝（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝56°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝56°，
∴∠FED＝∠GFB＝56°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．已知：平行四边形AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣，4）B．.（﹣2，4）C．.（﹣，3）D．.（﹣，4）
【分析】AD交y轴于B点，如图，利用基本作图得到∠AOF＝∠COF，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠AFO＝∠AOF，所以AF＝AO，设A（t，4），则AB＝﹣t，OA＝3﹣t，在Rt△OAB中利用勾股定理得到t2+42＝（3﹣t）2，然后解方程求出t，从而得到A点坐标．
【解答】解：AD交y轴于B点，如图，
由作法得OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠AOF，
∴AF＝AO，
设A（t，4），则AB＝﹣t，
∵F（3，4），
∴BF＝3，OB＝4，
∴AF＝3﹣t，
∴OA＝3﹣t，
在Rt△OAB中，t2+42＝（3﹣t）2，
解得t＝﹣，
∴A点坐标为（﹣，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．
10．已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，且函数值y随x的增大而增大，则点A的坐标可能是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（1，2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣1）
【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再利用一次函数图象上点的坐标特征验证四个选项中的点是否在函数图象上，此题得解．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0．
A、当x＝﹣2时，y＝﹣2k+3＜3，选项A正确；
B、当x＝1时，y＝k+3＞3，选项B错误；
C、当x＝﹣2时，y＝﹣2k+3＜3，选项C错误；
D、当x＝2时，y＝2k+3＞3，选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质找出k＞0是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 a≥﹣3且a≠±1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0，
解得a≥﹣3且a≠±1．
故答案为：a≥﹣3且a≠±1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标为 （9，6） ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故答案为：（9，6）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
13．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 10π m．（结果保留π）
【分析】由弧长公式：l＝（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，
∴的长＝＝10π（m）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
14．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 6 ．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC＝4，
∵AC＝2AO，
∴S△ADO＝2，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ODE＝3，
由几何意义得，＝3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE，BE，当点E落在△ABC的边上时，AE的长为 或 ．
【分析】首先得到△ABC，△BDE均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在BC边上和点E落在AC边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，
∴△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
①当点E落在BC边上时，如图所示，则点D在AB边上，
∴DE＝BD＝AB﹣AD＝3，
在Rt△ADE中，；
②当点E落在AC边上时，如解图2所示．
∵∠CBA＝∠EBD＝45°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵，
∴△CEB∽△ADB，
∴，
∴，
∴．
综上所述，AE的长为或．
解法二：△ABD∽△CBE，得CE＝2，即以点C为圆心，CE的长为半径画圆与AC，BC两个交点，就是两个点E，可得结论．
故答案为：或．
【点评】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
三．解答题（共8小题）
16．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用分式的基本性质、分式的混合运算法则化简进而代入数据求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
17．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
【分析】（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每件乙种商品的价格，再将其代入（x+8）中即可求出每件甲种商品的价格；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】（1）解：∵D组人数为 8 人，所占百分比为16%，
∴总人数为8÷16%＝50人，
∴x＝4÷50＝8%．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为20÷50＝40%，
∴等级为B的学生人数为500×40%＝200人．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有 12 种情况，其中恰有一男一女的有 8 种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
19．小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，
sin30°＝＝，
解得DE＝0.4，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，
∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），
∵EF∥AB，
∴∠GEF＝∠EDB＝90°，
在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，
tan53°＝≈，
sin53°＝≈，
∴EF＝0.48，FG＝0.8，
∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
22．如图的题目中黑色区域是被污染后留下的痕迹，上面的文字已经无法辨认，导致题目中缺少一个条件而无法解答，经查询发现，该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（1）请根据已有的信息添上这个条件是 （2，0） ；
（2）当﹣2≤x≤1时，函数 y＝﹣x2+x+2 的最大值是 ，最小值是 ﹣4 ；
（3）若点D为抛物线上任意一点，连接AC，AD．
①当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；
②若将抛物线 y＝﹣x2+x+2向下平移3个单位得到新抛物线，其中平移后的点D对应点E．当 AC⊥AE 时，求点
D的坐标．
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点为（，），对称轴是直线x＝，根据二次函数性质可得在﹣2≤x≤1时，函数最小值﹣（﹣2﹣）2+＝﹣4，最大值；
（3）①过C作CK⊥AC交AD延长线于K，过C作MN∥x轴，过A作AM⊥MN于M，过K作KN⊥MN于N，由∠CAD＝45°，CK⊥AC，知△ACK是等腰直角三角形，可证△ACM≌△CKN（AAS），即得AM＝CN＝2，CM＝NK＝1，故K（2，1），得直线AK解析式为y＝x+，从而直线AD的解析式为y＝x+；
②连接DE交x轴于T，设D（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m2+m﹣1），证明△ATE∽△COA，有＝，解得m＝1或m＝，故D的坐标为（1，2）或（，）．
【解答】解：（1）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2，
∴B的坐标可以是（2，0），
故答案为：（2，0）（答案不唯一）；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点为（，），对称轴是直线x＝，
∵﹣（﹣2）＞1﹣，且抛物线开口向下，
∴在﹣2≤x≤1时，
当x＝﹣2时，取最小值﹣（﹣2﹣）2+＝﹣4，
当x＝时，取最大值；
故答案为：，﹣4；
（3）①过C作CK⊥AC交AD延长线于K，过C作MN∥x轴，过A作AM⊥MN于M，过K作KN⊥MN于N，如图：
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
∵A（﹣1，0），
∴AM＝2，CM＝1，
∵∠CAD＝45°，CK⊥AC，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴∠MCA＝90°﹣∠NCK＝∠NKC，AC＝KC，
∵∠M＝∠N＝90°，
∴△ACM≌△CKN（AAS），
∴AM＝CN＝2，CM＝NK＝1，
∴K（2，1），
由A（﹣1，0），K（2，1）得直线AK解析式为y＝x+，
∴直线AD的解析式为y＝x+；
②连接DE交x轴于T，如图：
设D（m，﹣m2+m+2），
∵将抛物线 y＝﹣x2+x+2向下平移3个单位得到新抛物线，平移后的点D对应点E，
∴DE∥x轴，E（m，﹣m2+m﹣1），
∴∠ATE＝90°，AT＝m+1，TE＝m2﹣m+1，
∵∠EAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，∠ATE＝90°＝∠AOC，
∴△ATE∽△COA，
∴＝，即＝，
解得m＝1或m＝，
∴D的坐标为（1，2）或（，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形全等三角形，相似三角形解决问题．
23．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为直径，向外侧作半圆，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 S1+S2＝S3 ；
推广验证：
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用：
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．
（2）通过证明△ADB∽△BFC，可得，同理可得 ，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP＝，BP＝BH+PH＝3+，可求S△ABP＝，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，＝＝，S△PDE＝，可得∠BPD＝90°，PD＝1+，可求S△BPD＝2+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，即可求解．
【解答】解：类比探究
（1）S1+S2＝S3．
证明如下：
∵S3＝πc2，S1＝πa2，S2＝πb2，
∴S1+S2＝ πa2+πb2＝πc2＝S3；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，
∴△ADB∽△BFC，
∴，
同理可得：，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴＝1，
∴S1+S2＝S3；
（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，
∵∠ABH＝30°，AB＝2，
∴AH＝BH＝3，∠BAH＝60°，
∵∠BAP＝105°，
∴∠HAP＝45°，
∵AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH＝，
∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，
∴S△ABP＝＝＝，
∵PE＝，ED＝2，AP＝，AB＝2，
∴＝＝，＝＝，
∴，
且∠E＝∠BAP＝105°，
∴△ABP∽△EDP，
∴∠EPD＝∠APB＝45°，＝＝，
∴∠BPD＝90°，PD＝1+，
∴S△BPD＝＝＝2+3，
∵△ABP∽△EDP，
∴＝（）2＝，
∴S△PDE＝×＝，
∵tan∠PBD＝＝，
∴∠PBD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，
又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，
∴△ABP∽△EDP∽△CBD，
由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，
∴五边形ABCDE的面积＝++2+2+2+3＝6+7．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求三角形的面积是本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/5 12:35:42；用户：金秀智；邮箱：qanjindy48@xyh.cm；学号：41500092等级
实践t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
D
t≥6
16%
已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，求抛物线的解析式．
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