山东省德州市乐陵市朱集镇朱集中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份山东省德州市乐陵市朱集镇朱集中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是0，则m的值为（ ）
A. 0B. ±1C. 1D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】把x=0代入（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0即可求出m的值．
【详解】解：把x=0代入（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0得，
m2﹣1=0，
∴m=±1．
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．本题的易错点是有些同学容易忽视二次项的系数不为零这一隐含条件．
3. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成的，从左面看到的形状是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据简单组合体的左视图的意义和画法画出相应的图形即可．
【详解】解：从左面看，底层是二个正方形，上层右边是一个正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
4. ①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；⑤方程x2－x＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；
③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；
④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题；
⑤方程x2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题，
其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．
5. 如图，在中，已知，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行判断即可，找准对应边是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故正确的是B选项；
故选B．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的圆的性质求解即可；
【详解】连接CD，
∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的性质，准确计算是解题的关键．
7. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
【详解】解：∵D是反比例函数 (x＞0)图象上一点，
∴根据反比例函数k几何意义可知：△AOD的面积为×2=1．
∵点B在函数的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=4-1=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义．
8. 如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平移的性质，进而表示出长与宽进而得出答案．
【详解】解：设人行通道的宽度为米，根据题意可得：
，
整理得：
故选：
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出是解题关键．
9. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数图象特征．
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
10. 以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数解答即可.
【详解】在直角三角形中，∵，
∴，
∵米，，
∴米；
故选：C.
【点睛】本题考查了正切函数的应用，熟知正切的定义是关键.
11. 如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得正六边形的内角和，从而可知阴影部分的面积等于两个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式．
【详解】解：∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y==2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
当n＜0时，下列结论中一定正确的有（ ）个．
①abc＜0；②若点(﹣2，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，
且对称轴为x＝＝1.5，
∴a＜0，b＞0，
又∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴点C（﹣2，y1）到对称轴的距离大于D（π，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
③∵c＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+3，
∵当x＝﹣1时，y＝n，
∴a﹣b+3＝n，
∵﹣＝1.5，
∴b＝﹣3a，
∴a+3a+3＝n，
∴4a＜n，故③错误；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴对于任意实数t，at2+bt+c≤a+b+c，
∴4（at2+bt）≤9a+6b，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解本题的关键．
二、填空题（每题4分计24分）
13. 设是一元二次方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先整理，根据，再代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴
∴
故答案为：
14. 将抛物线顶点坐标P绕原点O顺时针旋转90度得到P的坐标______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了的图象性质以及旋转性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出顶点坐标，旋转得到，构建全等三角形，即可作答．
【详解】解：记旋转后点P的对应点为，如图：过点P作轴，过点作轴，

∵抛物线的顶点坐标P，
∴，
∵顶点坐标P绕原点O顺时针旋转90度得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，点C，D在上直径两侧的两点，，则的长为________；
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，由圆周角定理求出∠AOD，从面可求得∠BOD，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接OD，
则∠AOD=2∠ACD=2×60°=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=60°，
∵AB=8，
∴OB=4，
∴的长=．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．
16. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
17. 如图，在4×4的正方形网格中，是以格点为顶点的三角形，则＝______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．过作，利用勾股定理求出、的长，面积等于正方形面积减去三个直角三角形面积，求出的长，利用锐角三角函数定义求出的值即可．
【详解】解：过作，
根据勾股定理得：，
，
又
解得：，
则．
故答案为：．
18. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此下去，得到线段（n为正整数），则点的坐标为________．
【答案】（0，-22022）
【解析】
【分析】首先根据题意，可得OP0=2，OP1=22，OP2==23，OP3=24，OP4=25，……，OPn=2n+1，发现规律，可得OP2021=22022，再根据每旋转8次为一个循环组，即可求出点P2021的坐标．
【详解】解：由题意，可得，
OP1=2×2=22，
OP2=2×22=23，
OP3=2×23=24，
OP4=2×24=25，
……，
OPn=2n+1，
∴OP2021=22022，
∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每旋转8次为一个循环组，
，
∴点P2021是第253组的第5次变换对应的点，在y轴的负半轴上，
∴点P2021的坐标为（0，-22022）,
故答案为：（0，-22022）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，规律型−点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质找出规律．
三、计算题
19. （1）解方程：．
（2）计算：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程以及含特殊角的锐角三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再提公因式，令每个因式为0，即可求解．
（2）先化简负整数指数幂、零次幂、绝对值，和，再运算加减，即可作答．
【详解】解：（1）
则
解得；
（2）
20. 市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了______个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是______度，并补全直方图；
（2）若全市共有个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？
【答案】（1），；补全统计图见解析
（2）达到良好及以上的社区有个
（3）小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是
【解析】
【分析】（1）根据A的个数除以A的占比可得总个数，用总数减去A、B、D得到C的个数，进而求得C所在扇形的圆心角的度数，并补全统计图；
（2）用120乘以A、B的占比即可求解；
（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用、、、表示，根据题意画出树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：本次共抽查的社区有：（个），
一般的社区有：（个），
一般所在扇形的圆心角的度数是：，
补全统计图如下：
故答案：，；
【小问2详解】
解：（个），
答：达到良好及以上的社区有个．
【小问3详解】
解：将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用、、、表示，根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有种，
则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是．
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，根据树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键．
21. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东45°方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西15°方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米）
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）265米
（2）会影响，长度为100米，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足分别为，根据方位角求得，解，即可求解；
（2）根据题意，设，勾股定理求得，即可求解．
【小问1详解】
如图，过点作，垂足分别为，
根据题意可得，
，
中，米，
米，米，
米，
米，
中，米；
【小问2详解】
会影响，长度为100米，理由如下，
米，
中，米，
，
该条航道被这片浅滩区域影响，
根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，
设米，
中，米，
根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键．
22. 如图，AB是的直径，点C为上一点，PC切于点C，交PC的延长线于点E，AE交于点D，PC与AB的延长线相交于点P，连结AC、BC．
（1）求证：AC平分；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）证明过程见详解．
（2）12．
【解析】
【分析】（1）先证明AE∥OC，然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO，接下来由∠ACO=∠AOC，可证明∠EAC=∠OAC；
（2）先证明∠PCB=∠PAC，从而可证明△PCA∽△PBC，依据相似三角形的性质可求得PA的长，最后依据AB=PA-PB求解即可．
【小问1详解】
解：（1）如图所示：连接OC．
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥EP．
又∵AE⊥PC，
∴AE∥OC．
∴∠EAC=∠ACO．
又∵∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC平分∠BAD；
【小问2详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴，
∴PA==16．
∴AB=PA-PB=16-4=12．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）或
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把，两点分别代入一次函数解析式即可．
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）令求出的值，确定出坐标，得到的长，三角形面积由三角形面积与三角形面积之和求出，由已知的面积求出的长，即可求出的长．
【小问1详解】
点在上，
，
反比例函数解析式为；
又点在上，
，
点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得
解得，
一次函数的解析为．
【小问2详解】
观察图象可知：不等式的解集为或；
【小问3详解】
如图，设一次函数与y轴交于点C，
对于一次函数，令，求出，
即，，
根据题意得：，
解得：，
所以，或．
24. 已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【答案】（1）BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；
（2）成立，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；
（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．
【小问1详解】
解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
【小问2详解】
解：（1）中结论仍成立，理由如下：
由题意可得如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（2，4） （3）（5，）或（-3，）或（3，）
【解析】
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点C坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4），
∴，
∴

，
∴当时，△BEC的面积有最大值，
设点E到BC的距离为h，
∴，
∵BC是定值，
∴当△BEC面积最大时，h有最大值，
∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）；
【小问3详解】
解：设点P的横坐标为（n，），
如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴n=5，
∴点P的坐标为（5，）；
同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时，
∴，
∴n=-3，
∴点P的坐标为（-3，）；
如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时，
∴，
∴n=3，
∴点P的坐标为（3，）；
∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，）
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．x
﹣1
0
3
y
n
3
3