山东省淄博市张店区实验中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份山东省淄博市张店区实验中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
2. 若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k＜
C. k＝D. k≤
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象所在象限可得2k-1＜0，解出不等式的解集，再确定k的值．
【详解】解：由题意得：2k-1＜0，
解得：k＜
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
3. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案．
【详解】解：，
，
在中，，故A正确，不符合题意；
，
在中，，故B正确，不符合题意；
，，
，
在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
4. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A. 25°B. 30°
C. 40°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OC，由圆周角定理可求得∠COD，由切线的性质可知∠OCD=90°，则可求得∠D．
【详解】解：
连接OC，
则∠COD=2∠A=50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选C．
【点睛】本题主要考切线性质和圆周角定理，利用圆周角定理求得∠COD是解题的关键，注意有关切线问题中辅助线的运用．
5. 已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有有点A，B，C，则 y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y1 > y2> y3B. y2> y1> y3C. y2> y3> y1D. y3> y2> y1
【答案】C
【解析】
【分析】先求出二次函数y=2x2+8x+7的图象的对称轴，然后判断出A（﹣2，y1），B（﹣5，y2），C（﹣1，y3）在抛物线上的位置，再求解．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2>0，
∴开口向上，对称轴为x==−2，
∵A（﹣2，y1）中x=−2, y1最小, B（﹣5，y2）,点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×(−2)−( ﹣5)=1,则有B′(1, y2),因为在对称轴得右侧,y随x得增大而增大,故y2> y3.
∴y2＞y3＞y1.
故选C.
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.
6. 如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A 14cmB. 15cmC. 13cmD. 10.5cm
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
7. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，，作交于点

∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
9. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a、b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
【答案】-6
【解析】
【详解】解：因为四边形OABC是菱形,
所以对角线互相垂直平分,
所以点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上,
设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),
因此AC=－2x，OB=，
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
解得
故答案为：-6．
12. 二次函数，当时，y的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式求出对称轴和开口方向，可知抛物线在对称轴处有最小值，再求出端点处的函数值即可得出最后结果．
【详解】解：二次函数的对称轴为，开口方向向上，
当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
，
故答案为：．
13. 如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．
【答案】40cm
【解析】
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
14. 如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）

【答案】2.7．
【解析】
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
15. 如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是____．
【答案】2
【解析】
【分析】取AC的中点O，根据圆周角定理得到点D在以AC为直径的圆上，根据勾股定理可计算出OB＝5，当D点在OB上时，BD的值最小，最小值为5﹣3＝2．
【详解】解：取AC的中点O，连接OB交于
∵在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，
∴点D在以AC为直径的圆上，
∴当D点在OB上时，BD的值最小，如图的
在Rt△BOC中，OC＝AC＝3，BC＝4，
∴OB＝＝5，
∴BD的值最小为：5﹣3＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及圆周角定理和勾股定理，掌握勾股定理和点与圆的位置关系是解题的关键.
三、解答题（共80分，16题6分，17-21题各12分，22题14分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】原式
．
17. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）5．
【解析】
【分析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式
（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围
（3）由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积
【详解】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴n==﹣2，
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2时，kx+b＞．
（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5．
∴S△ABC=×2×5=5．
18. 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽，水面到拱顶距离为，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于．当洪水泛滥时，水面宽时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】不需采取紧急措施，理由见解析
【解析】
【分析】本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用，把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，先利用求出半径，再利用勾股定理求出的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断．
【详解】解：如图，连接，
设，
在中，，，
得，
解得，
设，在中，，
，
解得：， (不合题设，舍去)，
，
，
此时不需采取紧急措施．
19. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．
（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
【答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【解析】
【分析】（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵B为中点，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点B作于点E．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．
20. 某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值．
【答案】（1）
（2）W的最大值为520元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，函数图像读取相关信息，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式和自变量的取值范围求函数．
（1）根据图象中的数据可以求得y与x的函数解析式；
（2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，再根据x的取值范围即可求得W的最大值．
【小问1详解】
解：设y与x的函数解析式为，
由图可知，函数过，，
，解得：，
y与x的函数解析式为；
【小问2详解】
由题意可知，
，
时，随x的增大而增大，
，
当时，W取的值最大，此时，
故W的最大值为520元．
21. 如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若,且,求⊙的半径与线段的长.
【答案】（1）证明参见解析；（2）半径长为 ，=.
【解析】
【分析】（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.
【详解】解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴. 设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.
【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.
22. 如图1、二次函数的图象经过和，交y轴于点C，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4
（3）M的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将点A，B的坐标代入解析式，组成二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，先证明，得到，可表达的面
积，设点D的横坐标为t，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）的结论可知，是等腰三角形，过点C作于点G，证明，根据全等的性质可得，求出直线的解析式，联立即可得出结论．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过和，
，解得：，
此二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
如图：
轴，
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
设直线解析式为，
，
，即，
直线的解析式为，
设点D的横坐标为t，
，，
，
当时，最大，最大值为2，
，
当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4；
【小问3详解】
由（2）可知，
，
，即，
如图，过点C作于点G，
平分，，，
，
设N为x轴上一点，且，
，，
，
，
或，
当点时，直线的解析式为，
令，
解得：（舍去）或，
，
当点时，点M与点A重合，综上所述符合题意的点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数性质，二次函数与坐标轴交点，三角形面积，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等，解题关键是运用数形结合思想，分类讨论思想，熟练运用二次函数的性质求最值，通过设点的坐标，建立图形和数据的联系．