河北省保定市部分高中2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市部分高中2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知数列,,,,,···按照这个规律,这个数列的第211项为( )
A.B.C.D.
2．已知向量,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大,则的斜率为( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的前n项和为,且,则( )
A.12B.6C.8D.4
5．在四面体ABCD中,,,则( )
A.B.
C.D.
6．已知过点的直线l与圆交于A,B两点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆M上,且,则M的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知甲植物生长了一天,长度为,乙植物生长了一天,长度为.从第二天起,甲每天的生长速度是前一天的倍,乙每天的生长速度是前一天的,则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（参考数据：取）( )
A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天
二、多项选择题
9．已知,分别是双曲线的左、右焦点,第二象限的点P在C上,则( )
A.C的虚轴长为B.C的焦距为
C. C的渐近线方程为D.
10．如图,在每个空格中填入一个数字,使每一行方格中的数成等比数列,每一列方格中的数成等差数列,则( )
A.B.C.D.
11．若曲线与曲线有6个公共点,则k的值可能是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知F是抛物线的焦点,M是C上的一个动点,设M到x轴的距离为,M到点的距离为,则的最小值为___________.
13．已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线和上,且AB的中点为,则,直线AB的一般式方程为___________.
14．在正方体中,E,F分别在棱,BC上,,,平面AEF与棱交于点P,则直线AP与AB所成角的余弦值为___________.
四、解答题
15．已知圆被x轴分成两段弧,弧长之比为.
（1）求r;
（2）若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点,求的取值范围.
16．在数列,中,,.
（1）若,求数列的通项公式;
（2）若,求的前n项和.
17．如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,是边长为2的正三角形,平面平面ABCD,,,E为棱PD的中点.
（1）证明：平面PAB.
（2）求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.
18．已知正项数列的前n项和为（e为自然对数的底数）,.
（1）证明：是等比数列.
（2）设,证明：.
19．已知A,B为抛物线上的两点,是边长为的等边三角形,其中O为坐标原点.
（1）求C的方程;
（2）过C的焦点F作圆的两条切线,且,与C分别交于点D,E和H,G,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得该数列的一个通项公式为,则.
2．答案：C
解析：在方向上的投影向量为.
3．答案：A
解析：由得的倾斜角为,
所以的倾斜角为,即的斜率为.
4．答案：D
解析：由题意得,则,即.
5．答案：C
解析：由题意得
.
6．答案：D
解析：因为,所以点P在圆M内.易得,
当时,取得最小值,且最小值为.
7．答案：B
解析：由题意得
则,由,得,
即,得.
故M的离心率的取值范围为.
8．答案：C
解析：由题意得甲、乙每天的生长速度均为等比数列,两个等比数列分别设为,
其前n项和分别设为,,
则,.
由,得,得或.（舍去）,则,即.因为,所以n的最小值为8.
9．答案：BC
解析：由题意得C的虚轴长为,焦距为,
渐近线方程为,.
10．答案：ACD
解析：由题意得,则.
由,得,由,得,由,,得,.
因为,所以,.
11．答案：ACD
解析：当时,,当时,,
所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的.过定点.
如图,由得,由,得.
由得,由,得.
因为与有6个公共点,所以,由图可知,k的取值范围为.
12．答案：
解析：由题意得C的准线方程为,得,
则.
13．答案：1;
解析：由题意得,得.设,,
由得即,,
则直线AB的方程为,即.
14．答案：
解析：以D为原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,AD为1个单位长度,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
得,,.
设,则.因为A,E,P,F四点共面,所以可设,
则得
所以直线AP与AB所成角的余弦值为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
设圆M与x轴从左到右依次交于A,B,由题意得,
则,
所以.
（2）由题意得P的轨迹为圆,
易得,因为,所以圆M与圆O内含.
故,即的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,
所以是首项为,公差为3的等差数列.
故.
（2）由（1）得.
①,
则②,
①-②得,
则（或）.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：,
,即.
平面平面ABCD,平面平面,
平面PAB.
（2）如图,分别取AB,BC的中点O,F,连接OP,OF.
,平面PAB.
以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,.
设是平面PAC的法向量,则,
令,得,则.
故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：证明：（1）当时,,得.
当时,,
得,得,即,则.
因为,所以是首项为5,公比为2的等比数列.
（2）由（1）可得,则,所以.
因为
所以.
19．答案：（1）
（2）-100
解析：（1）易知A,B关于x轴对称,连接AB,交x轴于点M（图略）.
不妨设,则,
由题意得得
则,得.
故C的方程为.
（2）由（1）得,易得,的斜率均不为0,设,.
由,得,同理可得,
则m,n可以看作方程的两根,易得,
所以
设,,,
由得,易得,则
所以,
同理可得.
由,得,则得,
所以
,
当,即时,取得最小值,且最小值为-100.