人教版九年级数学上册同步压轴题专题07二次函数中的几何存在性问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题07二次函数中的几何存在性问题（原卷版+解析），共27页。试卷主要包含了特殊三角形问题，特殊四边形问题等内容，欢迎下载使用。
例1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标；
(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、特殊四边形问题
例1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，(点在点的左侧)，与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【变式训练3】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
专题07 二次函数中的几何存在性问题
类型一、特殊三角形问题
例1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，或，或
【解析】(1)解：∵抛物线经过点，，，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为．
(2)存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
当时，，∴，
设直线AC的解析式为，∴ ，解得 ，∴ ；
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，EF取得最大值，最大值为：，此时，
又∵，∴．
当时，∵，点在轴上，∴点P的坐标为或；
当时，关于直线对称，∴点P的坐标为；
综上所述，，或，或．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)；(2)
(3)或或或
【解析】(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A(-1，0)，B(3，0)，
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，即C(0，-3)，∴AO=1,CO=3,∴;
(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P(1，t)，
∴，，∴
∴t=-1，∴P(1，-1)；
(3)设点M(m,m2-2m-3)，，
，
,
①当时，，
解得，(舍)，，∴M(1，-4)；
②当时，，
解得，，(舍)，∴M(-2，5)；
③当时，，
解得，，∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或时，是等腰直角三角形
【解析】(1)解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴抛物线的解析式为：；
(2)解：当x＝0时，y＝3，∵∠ACO+∠DBA=90°，∠ACO+∠CAB=90°，
∴∠ABD＝∠CAB，∴．
设点D的坐标为，
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则，，
∴，解得x＝3．∴．
(3)解：设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得，，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
∵MN＝AD＝5，∴．
①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°，
，∴，即．
②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，
，∴，∴．即．
③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，过点P作PQ⊥AN于点Q，则，
，∴，∴．即．
综上所述，或或时，是等腰直角三角形．
【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标；
(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P1(，)，P2(2，3)；
(3)存在点M其坐标为或
【解析】(1)解：由题意，将A(1，0)，B(3，0)代入得：，解得，
抛物线表达式为：；
(2)如图1，连接OP，设，∵C在y轴上，∴，
∴，
，
==，
，
当时，即．解得，． ∴当时，；
当时，，∴P1(，)，P2(2，3)
(3)存在．设，如图2，当∠MCD=90°时，过点M做MN⊥轴于点N，
则∠MNC=∠COD=90°，
∵∠MCN=∠CDO，∴△MNC∽△COD，
∴，即，解得(舍)，
∴．如图3，当∠MDC=90°时，过点M做MN⊥轴于点N，则∠MND=∠COD=90°，
∵∠MDN=∠DCO，∴△MND∽△DOC，
∴，即，
解得， ．
综上所述，存在点M其坐标为：点或．

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)．
【解析】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．解得：．
∴抛物线的表达式为；
(2)解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：
． 解得：． 故直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．
设点C(，)，则H(，+1)．
∵四边形ACBP是平行四边形，
． ∵-3