人教版九年级数学上册同步压轴题专题08二次函数中的定值与定点问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题08二次函数中的定值与定点问题（原卷版+解析），共25页。试卷主要包含了定值问题，定点问题等内容，欢迎下载使用。

例1．已知抛物线与x轴交于和B两点．
(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；
(2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线与抛物线交于P，Q两点(P，Q都不与A，B重合)，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．
例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为，直线()分别交抛物线于点，(点在点的左边)，直线分别交轴、轴于点，，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；
(3)求的值．
【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点为A，B(点B在点A的右侧)，且，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；
(3)设直线()与抛物线交于P，Q两点(点Ｑ在点P的右侧)，与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立．
【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
(1)直接写出点B的坐标(_____，_____)和直线BC的解析式_______；
(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；
(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值．
【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(m，n)．
(1)若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
(2)如图(1)，在(1)的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧)，MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图(2)，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．
【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点(在左边)，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线上一动点，，求点的坐标；
(3)如图2，交抛物线于两点(不与重合)，直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为(6，0)，点M为抛物线上的一个动点．
(1)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
(2)过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
类型二、定点问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点(点在点的左侧)，点关于轴的对称点为．
(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A(﹣2，0)和B两点，点C(6，4)在抛物线上．

(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
(3)如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；
(3)如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点．
专题08 二次函数中的定值与定点问题
类型一、定值问题
例1．已知抛物线与x轴交于和B两点．
(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；
(2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线与抛物线交于P，Q两点(P，Q都不与A，B重合)，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．
【答案】(1)；(2)①；②见解析
【解析】(1)解：∵抛物线与x轴交于，，，
该抛物线的对称轴为，即．
(2)，∴或．
对于该抛物线上的任意两点，当时，总有，
∴当时，y随x的增大而增大，∴．.
又，．该抛物线的解析式为．
该抛物线的解析式为．
∵直线与抛物线交于P，Q两点，
∴可设．
，
设直线AP的解析式为，
由题意得 ，解得，
直线AP的解析式为，
令，则，∴；
同理可得，直线AQ的解析式为，．
∴．
联立，得．∴ ，
．
例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为，直线()分别交抛物线于点，(点在点的左边)，直线分别交轴、轴于点，，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；
(3)求的值．
【答案】(1)；；(2)点的坐标为时，面积有最大值为；(3)2
【解析】(1)解：∵，，
∵抛物线的对称轴为，∴，∴，
∴抛物线的函数表达式为：，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴直线的函数表达式为．
(2)过点作轴交于点，如图所示：联立，解得，，
∴点的横坐标为，设点，则点，
∴当时，即点的坐标为时，面积有最大值为．
(3)分别过点A，，作，，垂直轴于点，，，
设点，，则，，
联立得，∴，，
联立得，即，
∵轴，轴，轴，∴，
∴．
【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点为A，B(点B在点A的右侧)，且，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；
(3)设直线()与抛物线交于P，Q两点(点Ｑ在点P的右侧)，与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立．
【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【解析】(1)解：对称轴
又抛物线交x轴于A，B两点(点B在点A的右侧)，且，∴，
∴，即，∴函数表达式为：；
(2)解：设直线的函数表达式为，
∵，在直线上，∴，解得，
∴直线的函数表达式为；
法1：如图1，过点M作轴于点E，交于点D，
依题意，设，则点，
设点M到的距离为d，
∵轴，∴，则，即，
则
当时，．
法2：如图1，过点M作轴于点E，交于点D，
依题意，设，设，则点，设点M到的距离为d，连结，，
，
又，则，∴，
当时，．
法3：如图2，过点M作直线，
当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线的距离最大．
设直线l解析式为：，联立方程，得，
由，得，∴此时直线l：，
则直线l与y轴交点，∴，
又，∴，
即，即，∴；
(3)如图3，设点，点，
联立方程，得，则，，
联立方程，∴，
法1：∴，
，，
∴，
又，
，∴无论k取何正数，成立；
法2：如图4，过P，Q，R分别作轴于F，轴于G，轴于H，
由，则，
可设，则，，，
则，
又，
即，∴无论k取何正数，成立．
【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
(1)直接写出点B的坐标(_____，_____)和直线BC的解析式_______；
(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；
(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值．
【答案】(1)4，0，；(2)或或；；(3)证明见解析
【解析】(1)解：对抛物线与来说，
当y＝0时，，解得，
由图像可知，点B的横坐标大于0，∴点B的坐标是(4，0)，点A的坐标是(﹣1，0)
当x＝0时，得y＝﹣2，即点C的坐标是(0，﹣2)，
设直线BC的表达式是y＝kx＋b，将B、C两点坐标代入，得 解得
∴直线BC的解析式为，故答案为：4，0；
(2)解：由题意和(1)可知，抛物线的对称轴为，设点D的坐标为(，)，
当四边形CBED是平行四边形时，CBDE且CB＝DE，
则点C(0，﹣2)向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B(4，0)，
∴点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E，∴点E坐标是(+4，+2)即(，+2)
∵点E在抛物线上，∴+2＝，∴＝
∴点E坐标是(，)，即点E的横坐标是；
当四边形CBDE是平行四边形时，CBED且CB＝ED，
则点B(4，0)向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C(0，﹣2)，
∴点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E，∴点E坐标是(－4，－2)即(﹣，－2)
∵点E在抛物线上，∴－2＝，∴＝
∴点E坐标是(﹣，)，即点E的横坐标是﹣；
当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时，DBCE且DB＝CE，
则点D(，)向左平移个单位到，向下平移(+2)个单位，到点C(0，﹣2)，
∴点B(4，0)向左平移个单位到，向下平移(+2)个单位，到点E(， )，
∴点E的横坐标是
∵点E在抛物线上，∴＝，∴点E的坐标是(，﹣)即点E的横坐标是；
综上所述，点E的横坐标是或或；
(3)解：由(1)知，直线BC的解析式为，点A的坐标是(﹣1，0)
设直线l 的表达式为，联立得方程组得
设点M的坐标是(，)，点N的坐标是(，)
由一元二次方程根与系数关系得＋＝4，＝﹣4，
∵点M、N在直线l上，∴，
设直线AM的解析式为，
把点A、点M坐标坐标代入，并联立得，解得
即直线AM的表达式y＝x+，令x＝0，得y＝，即＝
同理，设直线AN的解析式为，把点A、点N坐标坐标代入，并联立得
得，即直线即直线AN的表达式y＝x+
令x＝0，得y＝，即＝
故＋＝＋＝
∵＋＝4，＝﹣4，
∴＋＝，即＋＝-2，∴＋为定值．
【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(m，n)．
(1)若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
(2)如图(1)，在(1)的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧)，MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图(2)，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．
【答案】(1)；(2)，，2,0；(3)见解析
【详解】(1)根据题意，设，将代入，即，解得
抛物线的解析式
(2)由y＝﹣x+4，令，则，令，则
设与轴交于点,则，
是等腰直角三角形，则
①当，则,设，则，
，则，在线段上，，即
又点在上，即，解得(舍)
此时点与点重合，点与点重合，如图，
则,
②当，同理,
设，则，其中
又点在上，即，解得(舍)
则此时点与点重合，点与点重合，如图，
则
③当时，如图，
由，解得，
，是等腰直角三角形，,
轴
设，则，其中
又点在上，即，解得
的横坐标为，，综上所述的横坐标为，，2,0
(3)设直线PC： y＝mx+n，则，直线，则，直线的解析式为
由y＝ax2+bx+c，令，则，即
，
即，，，即
联立抛物线y＝ax2+bx+c，，即：
则，，
同理可得：，，+=
，，，同理可得：，即，，
【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点(在左边)，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线上一动点，，求点的坐标；
(3)如图2，交抛物线于两点(不与重合)，直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)不存在点D；(3)是，7
【详解】(1)将代入，得
(2)取作轴于，
，
在和中，，∴，，∴，
，，
∴，∴，
而，，∴，∴
∵，∴重合，∴此时不存在，∴无解；
(3)，设，，
，，∴：，同理：：
∴
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为(6，0)，点M为抛物线上的一个动点．
(1)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
(2)过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【答案】(1)①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．(2)m+n的值为定值．m+n＝6．
【详解】(1)①由题意，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M(m，m2﹣8m+12)，
∵B(6，0)，C(0，12)，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴， ∴Q(m，﹣2m+12)，
∴QM＝﹣2m+12﹣(m2﹣8m+12)＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9，
∵﹣1＜0，∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
(2)结论：m+n的值为定值．理由：如图2中，
将B(6，0)代入二次函数解析式中，得，解得：
∴二次函数解析式为
∴C(0，﹣36﹣6b)，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把(6，0)代入得到：k＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝(6+b)x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝(6+b)x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，∴m+n＝6．∴m+n为定值，m+n＝6．
类型二、定点问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点(点在点的左侧)，点关于轴的对称点为．
(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；(2)或；(3)是，
【解析】(1)根据题意，得，
整理得到，解方程，得，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点在点的左侧，∴点的坐标为(-3，-9)，点的坐标为(1，-1)．
(2)∵A，B是抛物线图像上的点，设A(m，)，B(n，)，则(-n，)，
当k＞0时，
根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D(0，-3)
∴，，
∴==，∴3==，∴，
∵n≠0，∴，，∴，
解得k=或k= -(舍去)，故k=；当k＜0时，
根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，
∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D(0，-3)
∴，，
∴==，∴3==-，∴-，
∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，
故k=-；
综上所述，k的值为或．
(3)直线A一定过定点(0，3)．理由如下：
∵A，B是抛物线图像上的点，
∴设A(m，)，B(n，)，则(-n，)，
根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，
∴，
设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，
∴直线A的解析式为y=(n-m)x-mn，
∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=(n-m)x+3，
故直线A一定过定点(0，3)．
【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A(﹣2，0)和B两点，点C(6，4)在抛物线上．

(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
(3)如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)(﹣6，10)；(3)见解析，定点坐标为(，﹣)
【详解】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式，得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)延长DC交x轴于点M，

∵∠DCA＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CMA，∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，则QM＝AQ＝8，∴点M坐标为(14，0)，
设直线DM的解析式为，将，代入得，解得
直线DM的解析式为：y＝x+7，
令y＝x+7＝x2﹣x﹣2；解得x＝﹣6或6，x＝﹣6，y＝×(﹣6)+7＝10，
∴点D坐标为(﹣6，10)；
(3)设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点代入，解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，则点M(0，﹣6k+4)，
x2﹣x﹣2＝kx﹣6k+4，整理得x2﹣(+k)x+6k﹣6＝0，
∴xC+xE＝2+4k，∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N(0，﹣6t+4)，即xF＝4t﹣4 ②，
由x2﹣x﹣2＝mx+n，整理得x2﹣(+m)x﹣2﹣n＝0，
∴xE+xF＝4m+2③，xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④，得，
又OM•ON＝3，∴(﹣6k+4)(6t﹣4)＝﹣36kt+24(k+t)﹣16＝3，
∴n＝m﹣，
∴y＝mx+n＝mx+m﹣＝m(x+)﹣，
当x＝时，y＝﹣，∴直线EF经过定点且定点坐标为(，﹣)．
【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；
(3)如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点．
【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【详解】解：(1)由题意得：，解得，∴抛物线的表达式为：；
(2)设直线交于点，如图1，
由点的坐标知，直线的表达式为：，
设()，则，则，E(t，0)，
∴，OE=∣t∣，EG=∣t∣，∴∣t∣，
∴，∴，
∴，∴当时，有最大值，最大值为；
(3)如图2，∵平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，∴，
设，联立得，，∴，∴，
同理可设，可得，联立得：，，
∴，∴，∴，
设直线，联立得，
∴，，∴，∴，
直线，当时，，
∴直线过定点．