河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期2月调研考试数学试卷（Word版附解析）

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数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.0
2.已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A.2 B. C. D.
3.已知直线，䒴，，则（ ）
A.或 B. C.或 D.
4.设是函数的导函数，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B.. C. D.
8.已知过原点的直线交椭圆于两点，椭圆的右焦点为，且，若椭圆的离心率，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知等比数列的前项积为，公比，则（ ）
A. B.
C.当时，最小 D.当时，最大
11.在正棱柱中，，点满足，其中，则（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当时，不存在点，使得
C.当时，点的轨迹为长度为2的线段
D.当时，点的轨迹所构成图形的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的图象在点处的切线方程是__________.
13.已知等差数列满足，则数列的通项公式为__________；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为__________.
14.已知直线与双曲线交于两点，为双曲线上在第一象限内一点，且（为坐标原点），则到的距离最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知圆的圆心在直线上，且半径为1，点到直线的距离为.
（1）求圆的方程；
（2）若点在第二象限，试判断圆与圆的位置关系.
16.（本小题满分15分）
如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点，连接.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）已知，求数列的前项和.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
19.（本小题满分17分）
如图，已知椭圆的右焦点为，离心率为是椭圆上任意一点，且的最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一交点分别为.试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
新高中创新联盟TOP二十名校高二年级2月调研考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C 由题意知直线的斜率为，所以，解得.故选C.
2.B 函数从1到的平均变化率为.故选B.
3.B 由，得，且，解得，由，得，故.故选B.
4.C 由，得，或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，由图知，只有C选项的图象符合.故选C.
5.D 不妨设，故，所以，即，在直三棱柱中，平面平面，所以.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选D.
6.A 如图，作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知，所以的周长为，要使周长最小，则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处），易求点，所以在边上的高为1，故其面积为.故选A.
7.D 因为，故，，所以，所以.故选D.
8.A 设椭圆的左焦点为，连接，由，得，故四边形为矩形，所以.设，所以，由椭圆的定义，得，所以，所以，即，因为，所以，所以，又，所以，又，且，所以，所以，即的取值范围是.故选A.
9.BCD 对于，故A错误；对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；对于，故C正确；对于，故D正确.故选BCD.
10.BC 由题意知，由，得，所以，且，所以，且当时，最小，故A，D错误，B，C正确.故选BC.
11.AD 当时，点在上，因为平面，所以点到平面的距离为定值，又，故三棱锥的体积为定值，故正确；当时，点在连接棱中点和中点的线段上，易知当为该线段的中点时，，故B错误；当时，三点共线，故点的轨迹为线段，其长度为，故错误；取中点，连接平面，当时，连接，如图，则，点的轨迹是正方形内以为圆心，为半径的半圆，故当时，，故点的轨迹是上述半圆弧与直径所围成的半圆面，其面积为，故D正确.故选AD.
12. ，所以，故所求切线方程为，即.
13.（2分）（3分） 因为，所以两式相减，得公差，所以，所以，故；所以，则
，又恒成立，则，解得或，即实数的取值范围为.
14. 设，由，得，故①，又在双曲线上，所以②，由①②可得，所以，故，联立整理得，设，则，因为，所以，得，所以0，得，即，当，即时，直线过定点，不符合题意；当，即时，直线过定点.综上，到的距离的最大值为.
15.解：（1）由题意可设，则圆，
由点到直线的距离为，得，
解得或，
所以圆的方程为，或.
（2）依题意，圆，其圆心为，半径为，
圆，其圆心为，半径为，
，
当，即时，圆与圆内含；
当，即时，圆与圆内切；
当，即时，圆与圆相交；
当，即时，圆与圆外切；
当，即时，圆与圆外离.
综上，当时，圆与圆内含；当时，圆与圆内切；当时，圆与圆相交；当时，圆与圆外切；当时，圆与圆外离.
16.解：（1）由题意知，两两垂直，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，则令
，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（2）设平面的一个法向量，又，所以
令，则，所以，
又平面的法向量，
故，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
17.（1）证明：由，得，
令，则，解得；
当时，，
所以，所以，
所以当时，，
所以当时，，
又满足上式，
所以，所以，
所以数列是等差数列.
（2）解：由（1）知，所以，
所以，
故，
两式相减，得，
所以.
18.解：（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以，
故到渐近线的距离，
所以，又，所以，
故的方程为.
（2）设点，
因为是弦的中点，则
由于，
所以两式相减，得，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立
消去并整理，得，
所以，且，
所以.
点到直线的距离为，
所以的面积为.
19.解：（1）由题意知解得
故的方程为.
（2）由（1）知，，设，
直线的方程为，
联立整理得，
设，
，
，故，
同理，
当，即时，，直线的方程为，
当，即时，.
故直线的方程为，
所以，
所以直线过，
综上，过定点.