人教版九年级数学上册同步精品讲义 第14课 实际问题与二次函数（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步精品讲义 第14课 实际问题与二次函数（原卷版+解析），共41页。试卷主要包含了一般解题思路，卡车过拱桥问题等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
知识点02 建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题．
【注意】(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题
一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。
求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。
知识点04 利用二次函数求最大利润问题
（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。
①每件的利润=销售单价-成本单价；
②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。
（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题
这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。
1．一般解题思路
(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。
(2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。
(3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。
2．卡车过拱桥(隧道)问题
在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：
(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）；
(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小）
能力拓展
考法01 求几何图形面积的最值
【典例1】如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m2
【即学即练】如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（ ）
A．6B．18C．36D．144
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于A、B两点，且点A在轴左侧，点P的坐标为，连接PA，PB，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中， ，，，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考法02 利用二次函数解最大利润问题
【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A．35元B．45元C．55元D．65元
【即学即练】某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（ ）
A．16元B．21元C．24元D．25元
【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．②④
考法03 利用二次函数解拱桥问题
【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m
【即学即练】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
【典例6】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．
【即学即练】某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
考法04 利用二次函数求喷水、投球等实际问题
【典例7】从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【即学即练】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A．B．C．D．
【典例8】如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝10t﹣5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m．
【即学即练】如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米B．5米C．6米D．14米
2．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
4．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
6．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
7．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．
8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．
9．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
10．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
题组B 能力提升练
1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）
A．600米B．800米C．1000米D．1200米
4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5°B．40°
C．42.5°D．45°
5．如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A．元，元B．元，元
C．元，元D．元，元
7．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是，该型号飞机着陆后滑行的最大距离是______．
8．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
9．为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为12元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该品牌月饼每盒售价14元时，每天能售出200盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过20元/盒．
(1)当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为720元；
(2)当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
10．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
题组C 培优拔尖练
1．两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P，Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
4．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
A．足球距离地面的最大高度超过20mB．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
5．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
6．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）
A．0.55米B．米C．米D．0.4米
7．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
8．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．
9．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件6元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，表格记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于17元/件，若某一周该商品的销售最不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于17元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
10．某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元；
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
(3)在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B为5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
课程标准
（1）能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。
（2）通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250
x（元/件）
7
8
9
y（件）
8500
8000
7500
第14课 实际问题与二次函数
目标导航
知识精讲
知识点01 列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
知识点02 建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题．
【注意】
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题
一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。
求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。
知识点04 利用二次函数求最大利润问题
（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。
①每件的利润=销售单价-成本单价；
②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。
（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题
这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。
1．一般解题思路
(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。
(2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。
(3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。
2．卡车过拱桥(隧道)问题
在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：
(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）；
(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小）
能力拓展
考法01 求几何图形面积的最值
【典例1】如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m2
【答案】A
【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，
∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，
故选：A．
【即学即练】如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（ ）
A．6B．18C．36D．144
【答案】B
【详解】如图，设AC、BD交于点M
设
四边形的面积即四边形的面积
当时，四边形的面积最大，最大为18．
故选：B．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于A、B两点，且点A在轴左侧，点P的坐标为，连接PA，PB，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【详解】解：设，联立，得，即，
由根与系数的关系得
，
∴当时，的面积最小，最小面积为.
故选：B.
【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中， ，，，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
∴有最小值为（取正值），
故选：C．
考法02 利用二次函数解最大利润问题
【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A．35元B．45元C．55元D．65元
【答案】D
【详解】解：设所获得的利润为W，
由题意得，
∵，
∴当时，W有最大值1225，
故选D．
【即学即练】某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（ ）
A．16元B．21元C．24元D．25元
【答案】C
【详解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，
∵a=-1＜0，
∴利润y有最大值，
当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵售价x的范围是1≤x≤3，
∴当x=3时，最大利润y是24元，
故选：C．
【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
【答案】D
【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件，
设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售（20+2x）件，每件利润为40-x，
所以每天的利润为
将整理成顶点式有，
由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确；
将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确；
令y=1050，则，解得，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误；
综上所述，答案选D.
【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．②④
【答案】B
【详解】当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
考法03 利用二次函数解拱桥问题
【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m
【答案】C
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
设函数关系式为，由题意得：，
∴，
解得：，
∴，
当y=-0.5时，则有，
解得：，
∴水面的宽度为0.8m；
故选C．
【即学即练】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
【答案】C
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
【典例6】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．
【答案】
【详解】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【即学即练】某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
【答案】##
【详解】解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，如图：
根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，
将A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，
故答案为：y＝﹣x2﹣x．
考法04 利用二次函数求喷水、投球等实际问题
【典例7】从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【答案】C
【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3，
2.25=a（0-1）2+3，
解得a=-0.75，
∴y=-（x-1）2+3，
当y=0时，-（x-1）2+3=0，
解得，x1=-1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB=3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：C．
【即学即练】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管应长m．
故选：A
【典例8】如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝10t﹣5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m．
【答案】5
【详解】解：∵，
∴小球飞行的最大高度为5m，
故答案为5．
【即学即练】如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
【答案】10
【详解】解：当y=0时，，
解得：x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米B．5米C．6米D．14米
【答案】C
【详解】高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，
当时，小球距离地面高度最大，
米，
故选：C．
2．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
【答案】B
【详解】解：把t=4代入h＝gt2得，
故选：B．
3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【答案】A
【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故选：A．
4．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为，
故选：A．
5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：，
故选B．
6．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
【答案】C
【详解】解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
抛物线的对称轴直线是：，
抛物线开口向下，
时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
7．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．
【答案】
【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为，
2021年的蔬菜产量为，
∴，
故答案为： ．
8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．
【答案】
【详解】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，
∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），
∴点D（1，1），点F（3，0），
设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2，
则1＝a（1﹣3）2，
解得，a＝，
∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：
9．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40
答：销售单价应定为30元或40元．
（2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
10．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
题组B 能力提升练
1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
【答案】A
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故选：A
3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）
A．600米B．800米C．1000米D．1200米
【答案】A
【详解】解：∵时，；时，，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴当时，S最大，且最大值为600，
即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确．
故选：A．
4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．37.5°B．40°
C．42.5°D．45°
【答案】B
【详解】解：由图象可得，
该函数的对称轴x＞且x＜50，
∴37.5＜x＜50，即对称轴位于直线x＝37.5与直线x＝50之间且靠近直线x＝37.5
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，
故选：B．
5．如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：当点在之间时，即，
，则，
，
图象是开口向下，对称为：的抛物线，
当点在上方时，即，
，则，
，
图象是开口向上的抛物线，
故选：B．
6．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A．元，元B．元，元
C．元，元D．元，元
【答案】B
【详解】解：设每月总利润为，
依题意得：
，此图象开口向下，又，
当时，有最大值，最大值为元．
故选：B．
7．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是，该型号飞机着陆后滑行的最大距离是______．
【答案】600m##600米
【详解】解：∵，
∴x=20时，y取得最大值，最大值=600，
故答案为：600m．
8．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
【答案】
【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
9．为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为12元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该品牌月饼每盒售价14元时，每天能售出200盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过20元/盒．
(1)当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为720元；
(2)当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)当销售单价为16元/盒时，该超市每天的利润为720元
(2)当销售单价20元/盒时，超市每天获得利润最大，最大利润是1120元
【详解】(1)解：设销售单价为x元/盒，依据题意得
解得（不符合题意，舍去）．
答：当销售单价为16元/盒时，该超市每天的利润为720元．
(2)设销售单价为x元/盒，每天销售该品牌月饼的利润为w元，依据题意得
∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大．
∴时，w最大为1120元
答：当销售单价20元/盒时，超市每天获得利润最大，最大利润是1120元．
10．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
题组C 培优拔尖练
1．两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，
∴另一个正方形的边长为，
∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为，
故选：D．
2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P，Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵正方形边长为4，点P的运动速度为每秒1个单位长度，
∴当点P到达B点时，t=4s，
当t=4s时，点Q运动了4×2=8个单位长度，
此时点Q到达点D，
故点Q的运动轨迹为：点B——点C——点D；
令运动时间为t，
当点Q在BC上运动时，BQ=2t，AP=t
（0当点Q在CD上运动时，AP=t，此时三角形的高=4，
(2≤t<4)
故选：D
4．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
A．足球距离地面的最大高度超过20mB．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
【答案】C
【详解】解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0）
设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意；
由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小，
∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意，
抛物线经过点（9，0），不经过（10，0），
∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意；
故选：C
5．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
【答案】D
【详解】解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
6．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）
A．0.55米B．米C．米D．0.4米
【答案】B
【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
所以解析式为：y＝x2+x+，
当x＝2.75时，y＝，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，
故选：B．
7．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
8．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．
【答案】40米
【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
∴，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：40米．
9．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件6元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，表格记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于17元/件，若某一周该商品的销售最不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于17元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元
(3)
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：
把和代入得，
解得，
∴
（2）解：根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”
得：
解得，
设利润为w元，根据题意得，
∵
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，且x为正整数
∴当时，w取最大值为：
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）解：根据题意得，-12000m，
∴对称轴为
∵
∴当时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴，解得
∵
∴
10．某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元；
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
(3)在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B为5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【答案】(1)制作一件A获利15元，制作一件B获利120元；
(2)；
(3)最大利润为3198元，此时．
【详解】(1)解：设制作一件获利元，则制作一件获利元，
由题意得：，
解得：，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元；
(2)解：设每天安排人制作，人制作A，则人制作，
于是有：，
∴，
答：与之间的函数关系式为；
(3)解：由题意得：，
又∵，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，y的值不是整数，不合题意，
∴不在顶点处取最值，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，，
∵a＝﹣2＜0，
∴当 25＜x＜65时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝26时，．
∴此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
课程标准
（1）能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。
（2）通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250
x（元/件）
7
8
9
y（件）
8500
8000
7500