数学22.1.1 二次函数复习练习题

这是一份数学22.1.1 二次函数复习练习题，共32页。试卷主要包含了 一般式， 交点式等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 二次函数的概念
一般地，形如 (a≠0，a, b, c为常数)的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①(a≠0)；②(a≠0)；③(a≠0)；④(a≠0)，其中；⑤(a≠0).
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的 .
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： (，，为常数，)；
2. 顶点式： (，，为常数，)；
3. 交点式： (，，是抛物线与轴两交点的横坐标)(或称交点式).
要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
知识点02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做 .
因为抛物线y=x2关于 对称，所以 是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的 ，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最 点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最 值，它的最小值就是最低点的 .
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点： .
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
知识点03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
(1)
(2)
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与之间的关系；(上加下减).
的图象向 (c＞0)【或向 (c＜0)】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ，与抛物线的形状 ．
函数的图象是由函数的图象向上(或向下)平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
能力拓展
考法01 二次函数的概念
【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )．
A. y=3x﹣1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
【即学即练1】如果函数是二次函数，求m的值．
考法02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
【典例2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
【即学即练2】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
【即学即练3】抛物线y=﹣x2不具有的性质是( )．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
考法03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
【典例3】求下列抛物线的解析式：
(1)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(0，-5)的抛物线；
(2)顶点为(0，1)，经过点(3，-2)并且关于y轴对称的抛物线．
【典例4】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y=x(x+1)B．x2y=1
C．y=2x2-2(x-1)2D．y=x—0.5
2．若y=(m﹣1) 是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．﹣2B．﹣2或1C．1D．不存在
3．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为D．它的图象的对称轴是直线
4．抛物线顶点在()
A．第一象限B．第二象限C．轴上D．轴上
5．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____．
6．y=x²过A(1，a)，B(2，b)，则 a_______b (填＞，＜或=)
7．抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．(填“上升”或“下降”)
8．抛物线y＝x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____．
题组B 能力提升练
1．函数y=(m+2)+2x+1是二次函数，则m的值为( )
A．﹣2B．0C．﹣2或1D．1
2．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A．B．C．D．
3．抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是轴
C．都有最低点D．y随x的增大而减小
4．已知点(-2，)，(0，)，(1，)都在函数的图象上，则( )
A．＞＞B．＞＞
C．＞＞D．＞＞
5．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
6．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是(0，1)；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有( )
A．5个B．4个C．3个
D．2个
7．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
8．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________．
9．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．
11．二次函数图像的顶点坐标是_____.
22．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.
题组C 培优拔尖练
1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?
(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．
3．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
(1)请求出一次函数的表达式；
(2)设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
4．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
5．如图，已知函数与的交点为A，B(A在B的右边)．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)连接，，求的面积．
6．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，y)，点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y)；当x≤0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y+2)．例如：(﹣2，3)的变换点是(2，﹣1)．
(1)(1，2)的变换点为 ，(﹣1，﹣2)的变换点为 ．
(2)点M(m﹣1，5)的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
(3)如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
课程标准
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；(上加下减).
函数
图象
开口
方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0



x>0时，
y随x增大而 ；
x0时，y随x的增大而增大；当x0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.
故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.
题组C 培优拔尖练
1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】(1)k=﹣3；(2)当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】
试题分析：(1)根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
(2)利用(1)中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2(a≠0)的二次函数顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：(1)∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
(2)当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?
(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．
【答案】(1) (2)m=2,(0,0) (3)见解析
【解析】
试题分析：
(1) 对照题目中所给出的二次函数解析式与二次函数的一般形式容易得到m的取值需要满足的条件. 综合考虑能够同时满足这些条件的m的取值即可.
(2) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向上时有最低点，且抛物线的开口方向由(m+2)的符号确定. 利用这一规律可以得到满足题意的m的取值范围，再结合第(1)小题的结论即可确定m的取值. 利用m的取值可以得到二次函数的具体解析式，不难得到抛物线最低点的坐标. 根据二次函数的图象与性质易知，抛物线开口向上时，在对称轴右侧y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向下时有最大值. 仿照第(2)小题的思路即可得解.
试题解析：
(1) 对照该函数解析式与二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a≠0)可知，m的取值应该同时满足下列两个条件：
，
解上述不等式，得 m≠-2，
解上述一元二次方程，得 m1=2，m2=-3，
因此，满足条件的m值为2或-3.
(2) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2>0时，抛物线开口向上，有最低点.
故m的取值应该满足：m+2>0，即m>-2，
结合第(1)小题的结论得，当m=2时，抛物线有最低点.
当m=2时，二次函数的解析式为：y=4x2，故该抛物线最低点的坐标为(0, 0).
由于二次函数y=4x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向上，故当x>0时y随x的增大而增大.
综上所述，当m=2时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0, 0)；当x>0时，y随x的增大而增大.
(3) 由二次函数的图象与性质可知：当m+20，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x0
∴(1,2)的变换点为(−1,−2)
∵−10
向上
(0，0)
y轴
x>0时，
y随x增大而增大；
x