苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题10.3分式的加减专项提升训练（原卷版+解析）

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.3分式的加减专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023•锡山区校级二模）计算2a−5a−3−1a−3的结果是（　　）A．2a−4a−3 B．a﹣3 C．2 D．﹣22．(2023春•常州期末）下列等式成立的是（　　）A．1a+2b=3a+b B．abab−b2=aa−b C．22a+b=1a+b D．a−a+b=−aa+b3．(2023•章丘区模拟）计算3x+2−1x−2+2xx2−4，结果正确的是（　　）A．2x−2 B．4x−2 C．2x+2 D．4x+24．(2023•东台市校级开学）已知3m−5+A5−m=3，那么A等于（　　）A．m﹣8 B．2﹣m C．18﹣3m D．3m﹣125．（2009•南京校级一模）化简1xy−y2+x+yx2−y2的结果是（　　）A．1y(x−y) B．y+1y(x−y) C．y−1y(x−y) D．1y(x+y)6．(2023•镇江一模）小明根据右表，作了三个推测：（1）2−x−1x（x＞0）的值随着x的增大越来越小；（2）2−x−1x（x＞0）的值有可能等于1；（3）2−x−1x（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于1；则推测正确的是（　　）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）7．(2023秋•宿城区校级月考）已知a，b为实数，且ab＝1，a≠1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，则M，N的大小关系是（　　）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定8．(2023春•邗江区月考）已知：m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y＝（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春•宿豫区期中）计算1x+1−x+2x+1的结果为 　 　．10．(2023春•宿豫区期中）计算1x−1−1x(x−1)的结果为 　 　．11．(2023春•南京期末）化简b23a−b+9a2b−3a的结果是 　 　．12．(2023春•梁溪区校级期末）已知1a−1b=4，则aba−b的值是 　 　．13．(2023春•无锡期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=　 　．14．(2023秋•崇川区校级月考）若2x+3(x+1)(x+2)=Ax+1−Bx+2恒成立，则A﹣B＝　 　．15．(2023春•海陵区校级月考）已知a+1a=3，则a2−1a2=　 　．16．(2023秋•江都区校级月考）若记f（x）=x21+x2，例如f（1）=121+12=12，f（12）=(12)21+(12)2=15，则f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f(2023）+f（12022）＝　 　．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春•兴化市期中）计算：（1）3aa−b−3ba−b；（2）4a2−4+1a+2．18．(2023春•鼓楼区期中）计算：①aa−b−bb−a；②x+1x−1−4xx2−1．19．(2023秋•铜仁市校级月考）计算：（1）2x+3x+1−x+2x+1；（2）1a−2−2a2−2a．20．(2023•淳安县一模）化简：3x−1−x−3x2−1．方方的解答如下：原式=3(x+1)(x+1)(x−1)−x−3(x+1)(x−1)=3x+1−x−3(x+1)(x−1)=2(x−1)(x+1)(x−1)=2x+1．方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．21．(2023•下城区校级二模）以下是圆圆同学化简2aa2−4−1a−2的解答过程：解：原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2=2a﹣a+2＝a+2圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．22．(2023•嘉兴一模）计算x2x+2−x+2时，两位同学的解法如下：（1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．23．(2023春•润州区校级期末）对于任意的一个正整数n，总有1n=1n+a+1n+b （a、b都是正整数）．（1）上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程；（2）直接写出满足15=15+a+15+b的所有正整数a、b组成的点（a，b）的坐标．24．(2023春•滨湖区校级期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x−1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题．（1）假分式x+6x+4也可化为带分式 　 　形式；（2）利用分离常数法，求分式2x2+5x2+1的取值范围；（3）若分式5x2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m−11+1n−6，则m2+n2+mn的最小值为 　 　．x2−x−1x12101.110001.001100001.0001解法一：x2x+2−x+2=x2x+2−x+21=x2x+2−(x+2)2x+2 解法二：x2x+2−x+2=1x+2[x2−(x−2)(x+2)] 【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.3分式的加减专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023•锡山区校级二模）计算2a−5a−3−1a−3的结果是（　　）A．2a−4a−3 B．a﹣3 C．2 D．﹣2【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=2a−5−1a−3=2a−6a−3 =2(a−3)a−3 ＝2，故选：C．2．(2023春•常州期末）下列等式成立的是（　　）A．1a+2b=3a+b B．abab−b2=aa−b C．22a+b=1a+b D．a−a+b=−aa+b【分析】根据分式的运算即可求出答案．【解答】解：（A）原式=b+2aab，故A错误；（C）22a+b是最简分式，故C错误；（D）原式=−aa−b，故D错误；故选：B．3．(2023•章丘区模拟）计算3x+2−1x−2+2xx2−4，结果正确的是（　　）A．2x−2 B．4x−2 C．2x+2 D．4x+2【分析】分式的加减混合运算先要确定最简公分母，然后进行通分，最后合并化简即可得到答案．【解答】解：原式=3(x−2)(x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2)+2x(x+2)(x−2)=3(x−2)−(x+2)+2x(x+2)(x−2) =4(x−2)(x+2)(x−2) =4x+2，故选：D．4．(2023•东台市校级开学）已知3m−5+A5−m=3，那么A等于（　　）A．m﹣8 B．2﹣m C．18﹣3m D．3m﹣12【分析】已知等式左边变形后，利用同分母分式的减法法则计算，即可求出A．【解答】解：3m−5+A5−m=3−Am−5=3，即3﹣A＝3m﹣15，解得：A＝18﹣3m，故选：C．5．（2009•南京校级一模）化简1xy−y2+x+yx2−y2的结果是（　　）A．1y(x−y) B．y+1y(x−y) C．y−1y(x−y) D．1y(x+y)【分析】异分母的分式相加减，先将分母分解因式，再通分、化简即可．【解答】解：1xy−y2+x+yx2−y2=1y(x−y)+x+y(x+y)(x−y) =1+yy(x−y)．故选：B．6．(2023•镇江一模）小明根据右表，作了三个推测：（1）2−x−1x（x＞0）的值随着x的增大越来越小；（2）2−x−1x（x＞0）的值有可能等于1；（3）2−x−1x（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于1；则推测正确的是（　　）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【分析】将三个式子分别变形后分析即可得到正确的答案．【解答】解：2−x−1x=2﹣（1−1x）＝1+1x，（1）当x＞0时，1x会随着x的增大而减小．所以，1+1x会随着x的增大而减小，故（1）对；（2）1x不为0，故，1+1x的值不可能等于1，故（2）不对；（3）又因为当x＞0时，1x＞0，所以1+1x＞1，且会随着x的增大而越来越接近1，故正确．故选：B．7．(2023秋•宿城区校级月考）已知a，b为实数，且ab＝1，a≠1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，则M，N的大小关系是（　　）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：M﹣N=aa+1+bb+1−1a+1−1b+1=a−1a+1+b−1b+1 =(a−1)(b+1)+(b−1)(a+1)(a+1)(b+1) =2ab−2(a+1)(b+1) ∵ab＝1∴M﹣N＝0，∴M＝N故选：B．8．(2023春•邗江区月考）已知：m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y＝（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】根据abc＞0，a+b+c＝0．可得出a、b、c中负数的个数，再分情况进行讨论解答即可．【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c中有两个负数，一个正数，因此有三种情况，即①a、b为负，c为正，②a、c为负，b为正，③b、c为负，a为正，∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b，①当a、b为负，c为正时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，②当a、c为负，b为正时，m＝﹣1﹣2+3＝0，③当b、c为负，a为正时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，又∵m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，∴x＝3，y＝﹣4，∴x+y＝3+（﹣4）＝﹣1，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春•宿豫区期中）计算1x+1−x+2x+1的结果为 　﹣1　．【分析】根据同分母分式的加减法则进行计算便可．【解答】解：原式=1−x−2x+1=−(x+1)x+1=−1，故答案为：﹣1．10．(2023春•宿豫区期中）计算1x−1−1x(x−1)的结果为 　1x　．【分析】根据分式的加减法则进行计算便可．【解答】解：原式=x−1x(x−1)=1x，故答案为：1x．11．(2023春•南京期末）化简b23a−b+9a2b−3a的结果是 　﹣3a﹣b　．【分析】熟练进行通分和约分．首先把分母化成3a﹣b，注意后面符号的变化．再因式分解和约分．【解答】解：原式=b23a−b−9a23a−b=(b+3a)(b−3a)3a−b ＝﹣3a﹣b．故答案为：﹣3a﹣b．12．(2023春•梁溪区校级期末）已知1a−1b=4，则aba−b的值是 　−14　．【分析】由已知条件可得b−aab=4，从而可a﹣b＝﹣4ab，则可求解．【解答】解：∵1a−1b=4，∴b−aab=4，整理得：a﹣b＝﹣4ab，∴aba−b=ab−4ab=−14．故答案为：−14．13．(2023春•无锡期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=　−18　．【分析】根据条件变形得到x﹣y＝﹣2xy，整体代入到代数式求值即可．【解答】解：∵1x−1y=2，∴y−xxy=2，∴x﹣y＝﹣2xy，∴原式=−2xy+xy2xy−3(−2xy)=−xy8xy =−18．故答案为：−18．14．(2023秋•崇川区校级月考）若2x+3(x+1)(x+2)=Ax+1−Bx+2恒成立，则A﹣B＝　2　．【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：Ax+1−Bx+2=A(x+2)−B(x+1)(x+1)(x+2) =(A−B)x+2A−B(x+1)(x+2)，由题意可知：A−B=22A−B=3，解得：A=1B=−1，∴A﹣B＝2，故答案为：2．15．(2023春•海陵区校级月考）已知a+1a=3，则a2−1a2=　±35　．【分析】根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：∵a+1a=3，∴a2−1a2=（a+1a）（a−1a）＝3（a−1a），（a−1a）2＝（a+1a）2﹣4＝5，∴a−1a=±5，∴a2−1a2=±35，故答案为±35．16．(2023秋•江都区校级月考）若记f（x）=x21+x2，例如f（1）=121+12=12，f（12）=(12)21+(12)2=15，则f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f(2023）+f（12022）＝　202112　．【分析】因为f（1x）=1x21+1x2=11+x2，所以f（x）+f（1x）=x21+x2+11+x2=1+x21+x2=1，可知互为倒数的两个数的对应值的和为1，即可求出答案．【解答】解：∵f（1x）=1x21+1x2=11+x2，∴f（x）+f（1x）=x21+x2+11+x2=1+x21+x2=1，∴f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f(2023）+f（12022）=12+1+1+…+1=12+2021＝202112．故答案为：202112．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春•兴化市期中）计算：（1）3aa−b−3ba−b；（2）4a2−4+1a+2．【分析】（1）利用同分母分式的减法法则进行计算，即可得出结果；（2）利用异分母分式的加法法则进行计算，即可得出结果．【解答】解：（1）3aa−b−3ba−b=3a−3ba−b =3(a−b)a−b ＝3；（2）4a2−4+1a+2=4(a+2)(a−2)+a−2(a+2)(a−2) =4+a−2(a+2)(a−2) =a+2(a+2)(a−2) =1a−2．18．(2023春•鼓楼区期中）计算：①aa−b−bb−a；②x+1x−1−4xx2−1．【分析】（1）根据分式的性质进行变形，然后根据同分母分式加法运算法则进行计算；（2）原式进行通分，然后根据同分母分式减法运算法则进行计算．【解答】解：（1）原式=aa−b+ba−b=a+ba−b；（2）原式=(x+1)2(x+1)(x−1)−4x(x+1)(x−1)=x2+2x+1−4x(x+1)(x−1) =(x−1)2(x+1)(x−1) =x−1x+1．19．(2023秋•铜仁市校级月考）计算：（1）2x+3x+1−x+2x+1；（2）1a−2−2a2−2a．【分析】（1）先相减，再约分即可；（2）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=2x+3−x−2x+1=x+1x+1 ＝1；（2）原式=aa(a−2)−2a(a−2)=a−2a(a−2) =1a．20．(2023•淳安县一模）化简：3x−1−x−3x2−1．方方的解答如下：原式=3(x+1)(x+1)(x−1)−x−3(x+1)(x−1)=3x+1−x−3(x+1)(x−1)=2(x−1)(x+1)(x−1)=2x+1．方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．【分析】根据分式的基本性质和去括号法则进行分析判断．【解答】解：方方的解答错误，正确解答如下：原式=3(x+1)(x+1)(x−1)−x−3(x+1)(x−1)=3x+3−x+3(x+1)(x−1) =2x+6x2−1．21．(2023•下城区校级二模）以下是圆圆同学化简2aa2−4−1a−2的解答过程：解：原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2=2a﹣a+2＝a+2圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算，再根据计算结果判断解答是否有错误．【解答】解：解答有错误．正解：原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2) =2a−a−2(a+2)(a−2) =a−2(a+2)(a−2) =1a+2．22．(2023•嘉兴一模）计算x2x+2−x+2时，两位同学的解法如下：（1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【分析】（1）根据添括号法则判断解法一，根据提取公因式的方法判断解法二；（2）原式进行通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算或者将原式通过提取公因式进行变形，然后结合乘法公式进行化简计算．【解答】解：（1）解法一有错误，解法一的做法相当于添括号，括号前面是负号，括号内的各项要改变符号，∴原式=x2x+2−x−21，解法二的做法相当于提取公因式，∴原式=x2x+2−(x−2)=1x+2[x2−(x+2)(x−2)]，∴解法二正确，（2）选择解法一：原式=x2x+2−x−21=x2x+2−(x+2)(x−2)x+2 =x2−x2+4x+2 =4x+2；选择解法二：原式=x2x+2−(x−2)=1x+2[x2−(x+2)(x−2)]，=1x+2⋅[x2−(x2−4)] =x2−x2+4x+2 =4x+2．23．(2023春•润州区校级期末）对于任意的一个正整数n，总有1n=1n+a+1n+b （a、b都是正整数）．（1）上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程；（2）直接写出满足15=15+a+15+b的所有正整数a、b组成的点（a，b）的坐标．【分析】（1）对给出的等式右边先通分，然后根据分式加减法的法则计算，最后解出n即可；（2）根据（1）的结论，写出符合条件的正整数a和b，然后写出点的坐标即可．【解答】解：（1）∵1n=1n+a+1n+b，∴1n=n+b(n+a)(n+b)+n+a(n+a)(n+b)，∴1n=2n+a+bn2+n(a+b)+ab，∴2n2+n（a+b）＝n2+n（a+b）+ab，∵a、b、n都是正整数，∴n=ab；（2）∵n=ab，∴ab=5，∴a＝1，b＝25或a＝5，b＝5或a＝25，b＝1，∴（a，b）的坐标为（1，25）或（5，5）或（25，1）．24．(2023春•滨湖区校级期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x−1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题．（1）假分式x+6x+4也可化为带分式 　1+2x+4　形式；（2）利用分离常数法，求分式2x2+5x2+1的取值范围；（3）若分式5x2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m−11+1n−6，则m2+n2+mn的最小值为 　27　．【分析】（1）按照阅读材料方法，把x+6x+4变形即可；（2）用分离常数法，把原式化为2+3x2+1，由0＜3x2+1≤3即可得答案；（3）用分离常数法，把原式化为5x﹣1−1x+2，根据已知用x的代数式表示m、n和m2+n2+mn，配方即可得答案．【解答】解：（1）x+6x+4=(x+4)+2x+4=1+2x+4，故答案为：1+2x+4；（2）2x2+5x2+1=2(x2+1)+3x2+1=2+3x2+1，∵x2+1≥1，∴0＜3x2+1≤3，∴2＜2x2+5x2+1≤5；（3）∵5x2+9x−3x+2=5x(x+2)−(x+2)−1x+2=5x−1−1x+2，而分式5x2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+1n−6，∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），∴m＝x+2，n＝﹣x+4，∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+27≥27，∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．故答案为：27．x2−x−1x12101.110001.001100001.0001解法一：x2x+2−x+2=x2x+2−x+21=x2x+2−(x+2)2x+2 解法二：x2x+2−x+2=1x+2[x2−(x−2)(x+2)]