苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题10.4分式的乘除专项提升训练（原卷版+解析）

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.4分式的乘除专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•启东市校级月考）化简x÷xy•1x结果是（　　）A．1 B．xy C．yx D．xy2．(2023春•响水县校级期末）已知1a□3a=13，能使左边等式恒成立的运算符号是（　　）A．+ B．﹣ C．× D．÷3．(2023•玄武区二模）计算a•（1a）﹣2的结果是（　　）A．1 B．1a C．a2 D．a34．(2023•如皋市二模）若a+b＝2，则代数式(b2a−a)÷a−ba的值为（　　）A．12 B．−12 C．2 D．﹣25．(2023春•东海县期末）若“计算x+2x−13x−1”的运算结果是1，则被墨迹覆盖的这个运算符号是（　　）A．+ B．﹣ C．× D．÷6．(2023春•滨湖区期中）一次数学活动课上，聪明的王同学利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论推导出“式子x+4x（x＞0）”的最小值．则这个最小值是（　　）A．2 B．3 C．3.5 D．47．(2023秋•和平区校级期末）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（1b+1c）+b（1a+1c）+c（1a+1b）的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣38．(2023秋•崇川区校级期中）已知a1＝x﹣1（x≠1，x≠2），a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a2020＝（　　）A．2−x1−x B．12−x C．x﹣1 D．1﹣x二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春•吴中区校级期中）计算：(a+b)÷(2a+2b)=　 　．10．(2023秋•苏州期末）化简：(1x−1+1)÷xx−1=　 　．11．(2023春•沛县月考）﹣3x2y÷3x24y=　 　．12．(2023春•宿城区期末）已知ab＝﹣4，a+b＝3，则1a+1b=　 　．13．(2023秋•高邮市期末）若mn＝n﹣m≠0，则分式3n−3m的值为 　 　．14．(2023春•洪泽区期末）如图，数轴上有四条线段分别标有①、②、③、④，若x为正整数，则表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在线段 　 　上（填序号）．15．(2023•工业园区校级自主招生）若正数a，b，c满足abc＝1，a+1b=3，b+1c=17，则c+1a=　 　．16．(2023春•鼓楼区期中）若x+y+z＝0，则x（1y+1z）+y（1x+1z）+z（1x+1y）的值是　 　．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋•苏州期末）化简：（1）a2a−1−1a−1；（2）(m−3−7m+3)÷m2−4m2m+6．18．(2023春•江都区月考）计算：（1）5abc•（−3c4ab）÷5c2b；（2）x2x+1−x+1．19．(2023•泉山区校级三模）（1）计算(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3；（2）化简：(1a+1−1a2−1)÷a−3a+1．20．(2023春•吴中区校级月考）先化简，再求值：4−a2a−4÷（a+2−12a−2），其中a=−12．21．(2023秋•高新区校级月考）先化简，再求值：（3x+1−x+1）÷x2−4x+4x+1，请从﹣1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值．22．(2023春•秦淮区期末）先化简（3a+1−a+1）÷a2−4a+4a+1，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．23．(2023秋•如东县期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，则2a2+1　 　2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；（2）小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴(1x2+y2+1)N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小明的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：　 　；②用发现的规律解决问题：若4n−2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值．24．(2023秋•启东市校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　（填序号）；①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2（2）将“和谐分式”a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2−2a+3a−1=　 　+　 　；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.4分式的乘除专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋•启东市校级月考）化简x÷xy•1x结果是（　　）A．1 B．xy C．yx D．xy【分析】直接运用分式的混合运算法则，变形、化简、计算即可解决问题．【解答】解：原式＝x•yx•1x=yx．故选：C．2．(2023春•响水县校级期末）已知1a□3a=13，能使左边等式恒成立的运算符号是（　　）A．+ B．﹣ C．× D．÷【分析】分别求出中间方框中的符号为“+”、“﹣”、“×”、“÷”时的结果，即可得出答案．【解答】解：A．∵1a+3a=4a，4a不一定等于13，∴当中间方框中的符号为“+”时，等式不一定成立，故A不符合题意；B．∵1a−3a=−2a，−2a不一定等于13，∴当中间方框中的符号为“﹣”时，等式不一定成立，故B不符合题意；C．∵1a×3a=3a2，3a2不一定等于13，∴当中间方框中的符号为“×”时，等式不一定成立，故C不符合题意；D．∵1a÷3a=1a×a3=13，等式恒成立，∴当中间方框中的符号为“÷”时，等式一定成立，故D符合题意．故选：D．3．(2023•玄武区二模）计算a•（1a）﹣2的结果是（　　）A．1 B．1a C．a2 D．a3【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝a•a2＝a3，故选：D．4．(2023•如皋市二模）若a+b＝2，则代数式(b2a−a)÷a−ba的值为（　　）A．12 B．−12 C．2 D．﹣2【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：(b2a−a)÷a−ba=b2−a2a÷a−ba =−(a+b)(a−b)a•aa−b ＝﹣（a+b），当a+b＝2时，原式＝﹣2，故选：D．5．(2023春•东海县期末）若“计算x+2x−13x−1”的运算结果是1，则被墨迹覆盖的这个运算符号是（　　）A．+ B．﹣ C．× D．÷【分析】根据分式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、x+2x−1+3x−1=x+2+3x−1 =x+5x−1，故A不符合题意；B、x+2x−1−3x−1=x+2−3x−1 =x−1x−1 ＝1，故B符合题意；C、x+2x−1•3x−1=3(x+2)(x−1)2 =3x+6x2−2x+1，故C不符题意；D、x+2x−1÷3x−1=x+2x−1•x−13 =x+23，故D不符合题意；故选：B．6．(2023春•滨湖区期中）一次数学活动课上，聪明的王同学利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论推导出“式子x+4x（x＞0）”的最小值．则这个最小值是（　　）A．2 B．3 C．3.5 D．4【分析】根据题意可得当矩形成为正方形时，就有x=4x（x＞0），依此求出所求式子的最小值即可．【解答】解：∵x＞0，∴在面积是4的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是4x，矩形的周长是2（x+4x）；当矩形成为正方形时，就有x=4x（x＞0），解得x＝2，这时矩形的周长2（x+4x）＝8最小，因此x+4x（x＞0）的最小值是4．故选：D．7．(2023秋•和平区校级期末）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（1b+1c）+b（1a+1c）+c（1a+1b）的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】先利用乘法的分配律得到原式=ab+ac+ba+bc+ca+cb，再把同分母相加，然后根据abc≠0且a+b+c＝0得到a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，把它们代入即可得到原式的值．【解答】解：原式=ab+ac+ba+bc+ca+cb=a+cb+b+ca+a+bc ∵abc≠0且a+b+c＝0，∴a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，∴原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故选：D．8．(2023秋•崇川区校级期中）已知a1＝x﹣1（x≠1，x≠2），a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a2020＝（　　）A．2−x1−x B．12−x C．x﹣1 D．1﹣x【分析】利用分式混合运算的法则分别计算出a2，a3，a4，从而发现结果的变化规律，然后按照周期进行分析计算．【解答】解：a1＝x﹣1，a2=11−a1=11−(x−1)=12−x，a3=11−a2=11−12−x=2−x1−x，a4=11−a3=11−2−x1−x=x−1，∴每三个数为一个周期，2020÷3＝673...1，∴a2020＝x﹣1，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春•吴中区校级期中）计算：(a+b)÷(2a+2b)=　12ab　．【分析】括号内先通分后计算，再将除法转化为乘法计算．【解答】解：原式=(a+b)÷(2bab+2aab)=(a+b)×ab2(a+b) =12ab．故答案为：12ab．10．(2023秋•苏州期末）化简：(1x−1+1)÷xx−1=　1　．【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=1+x−1x−1•x−1x=xx−1•x−1x ＝1，故答案为：1．11．(2023春•沛县月考）﹣3x2y÷3x24y=　﹣4y2　．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣3x2y•4y3x2=−4y2．故答案为：﹣4y212．(2023春•宿城区期末）已知ab＝﹣4，a+b＝3，则1a+1b=　−34　．【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式=bab+aab=a+bab，∵ab＝﹣4，a+b＝3，∴原式=3−4=−34，故答案为：−34．13．(2023秋•高邮市期末）若mn＝n﹣m≠0，则分式3n−3m的值为 　﹣3　．【分析】先根据分式的减法运算进行化简整理，然后将mn＝n﹣m代入原式即可求出答案．【解答】解：原式=3mmn−3nmn=3(m−n)mn，∵mn＝n﹣m，∴原式=−3mnmn＝﹣3，故答案为：﹣3．14．(2023春•洪泽区期末）如图，数轴上有四条线段分别标有①、②、③、④，若x为正整数，则表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在线段 　②　上（填序号）．【分析】原式第一项变形后约分，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，判断其值的范围即可作出判断．【解答】解：∵原式=(x+2)2(x+2)2−1x+1＝1−1x+1=x+1−1x+1 =xx+1，∴0.5≤xx+1＜1，则表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在线段②上．故答案为：②．15．(2023•工业园区校级自主招生）若正数a，b，c满足abc＝1，a+1b=3，b+1c=17，则c+1a=　1125　．【分析】根据abc＝1，得ab=1c，由a+1b=3，ab+1＝3b①，由b+1c=17，b+ab＝17②，由①②解得ab=252，b=92，得c=225，a=259，即可求出答案．【解答】解：∵abc＝1，a，b，c都为正数，∴ab=1c，∵a+1b=3，∴ab+1＝3b①，∵b+1c=17，∴b+ab＝17②，由①②解得ab=252，b=92，∴c=225，a=259，∴c+1a=225+925=1125．16．(2023春•鼓楼区期中）若x+y+z＝0，则x（1y+1z）+y（1x+1z）+z（1x+1y）的值是　﹣3　．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x+y+z＝0代入进行计算即可．【解答】解：原式=xy+xz+yx+yz+zx+zy=x+yz+x+zy+z+yx ∵x+y+z＝0，∴x＝﹣（y+z），y＝﹣（x+z），z＝﹣（x+y），∴原式=x+y−(x+y)+x+z−(x+z)+x+y−(x+y)＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋•苏州期末）化简：（1）a2a−1−1a−1；（2）(m−3−7m+3)÷m2−4m2m+6．【分析】（1）根据分式的减法法则进行计算，再化成最简分式即可；（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式=a2−1a−1=(a+1)(a−1)a−1 ＝a+1；（2）原式＝[(m−3)(m+3)m+3−7m+3]•2(m+3)m(m−4)=m2−9−7m+3•2(m+3)m(m−4) =(m+4)(m−4)m+3•2(m+3)m(m−4) =2(m+4)m =2m+8m．18．(2023春•江都区月考）计算：（1）5abc•（−3c4ab）÷5c2b；（2）x2x+1−x+1．【分析】（1）根据分式的乘除运算法则即可求出答案．（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝5abc•（−3c4ab）•b5c2=−154c2•b5c2=−3b4c．（2）原式=x2x+1−(x+1)(x−1)x+1=x2−x2+1x+1 =1x+1．19．(2023•泉山区校级三模）（1）计算(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3；（2）化简：(1a+1−1a2−1)÷a−3a+1．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方计算即可；（2）先算括号内的式子，再计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3＝1+9﹣（﹣8）＝1+9+8＝18；（2）(1a+1−1a2−1)÷a−3a+1=a−1−1(a+1)(a−1)•a+1a−3 =a−2(a−1)(a−3) =a−2a2−4a+3．20．(2023春•吴中区校级月考）先化简，再求值：4−a2a−4÷（a+2−12a−2），其中a=−12．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4−a2a−4÷（a+2−12a−2）=4−a2(a−2)÷a2−4−12a−2 =4−a2(a−2)•a−2(a+4)(a−4) =−12(a+4) =−12a+8，当a=−12时，原式=−12×(−12)+8=−1−1+8 =−17．21．(2023秋•高新区校级月考）先化简，再求值：（3x+1−x+1）÷x2−4x+4x+1，请从﹣1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值．【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从﹣1，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（3x+1−x+1）÷x2−4x+4x+1=3−(x−1)(x+1)x+1•x+1(x−2)2 =3−x2+1(x−2)2 =(2+x)(2−x)(2−x)2 =2+x2−x，∵x＝﹣1或2时，原分式无意义，∴x＝0，当x＝0时，原式=2+02−0=1．22．(2023春•秦淮区期末）先化简（3a+1−a+1）÷a2−4a+4a+1，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝[3a+1−(a−1)(a+1)a+1]•a+1(a−2)2=3−a2+1a+1•a+1(a−2)2 =4−a2(a−2)2 =(2−a)(2+a)(2−a)2 =a+22−a，由分式有意义的条件可知：a≠﹣1，a≠2，∴故a可取，a＝0，∴原式=22=1．23．(2023秋•如东县期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，则2a2+1　是　2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；（2）小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴(1x2+y2+1)N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小明的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：　yx+y　；②用发现的规律解决问题：若4n−2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值．【分析】（1）根据关联分式的定义判断．（2）仿照小明的方法求解．（3）找规律后求解．【解答】解：（1）∵2a2−1−2a2+1=2(a2+1)−2(a2−1)(a2−1)(a2+1)=4(a2−1)(a2+1)，2a2−1×2a2+1=4(a2−1)(a2+1)，∴2a2+1是2a2−1的关联分式．故答案是：是．（2）设a−b2a+3b的关联分式是N，则：a−b2a+3b−N=a−b2a+3b•N．∴（a−b2a+3b+1）•N=a−b2a+3b．∴3a+2b2a+3b•N=a−b2a+3b．∴N=a−b3a+2b．（3）①由（2）知：yx的关联分式为：yx÷（yx+1）=yx+y．故答案为：yx+y．②由题意得：4m+2=4n−2mx+m=mx+n+4m+2．∴n−m=1n+3m=−2．∴m=−34，n=14．24．(2023秋•启东市校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　①③④　（填序号）；①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2（2）将“和谐分式”a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2−2a+3a−1=　a﹣1　+　2a−1　；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；（2）由原式=a2−2a+1+2a−1=(a−1)2+2a−1=a﹣1+2a−1可得；（3）将原式变形为2x+4x+1=2+2x+1，据此得出x+1＝±1或x+1＝±2，即x＝0或﹣2或1或﹣3，又x≠0、1、﹣1、﹣2，据此可得答案．【解答】解：（1）①x+1x=1+1x，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；故答案为：①③④；（2）a2−2a+3a−1=a2−2a+1+2a−1=(a−1)2+2a−1=a﹣1+2a−1，故答案为：a﹣1、2a−1；（3）原式=3x+6x+1−x−1x•x(x+2)(x+1)(x−1)=3x+6x+1−x+2x+1 =2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1 ＝2+2x+1，∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数，此时x＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，∴x＝﹣3．