苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题10.5分式方程专项提升训练（原卷版+解析）

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.5分式方程专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•宿豫区期中）分式方程2x=1x+1的解是（　　）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．22．(2023春•盐城期末）若x＝4是分式方程a−2x=1x−3的根，则a的值为（　　）A．3 B．4 C．5 D．63．(2023春•梁溪区校级期末）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（　　）A．0 B．4或6 C．6 D．0或44．(2023春•溧水区期中）已知关于x的方程2x−mx+2=3的解是负数，那么m的取值范围是（　　）A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣6且m≠﹣2 D．m＞﹣6且m≠﹣45．(2023春•淮阴区期末）关于x的分式方程mx−1−2x−1=3有增根，则m的值是（　　）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣26．(2023春•润州区校级期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（　　）A．34x3−x=45 B．43x3−x=45 C．34x3−x=54 D．43x3−x=547．(2023秋•崇川区校级月考）关于x的方程2x−ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（　　）A．a＞﹣1 B．a＜﹣1且a≠﹣2 C．a＜﹣1 D．a＞1且a≠28．(2023秋•崇川区校级月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{1x，−1x}=3x+4的解为（　　）A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．无解二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023•淮安）方程3x−2−1＝0的解是 　 　．10．(2023春•宜兴市校级期中）如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x的值为 　 　；若关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x有增根，则m的值为 　 　．11．(2023•兴化市开学）关于x的方程3x−mx+3=4的解是负数，则m的取值范围是 　 　．12．(2023春•靖江市期末）若分式方程kxx−1−2k−11−x=2无解，则k＝　 　．13．(2023春•泰州期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x棵，根据题意列出方程 　 　．14．(2023秋•启东市校级期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 　 　．15．(2023秋•崇川区校级月考）若关于x的方程2m+xx−3−1=2x无解，则m的值是 　 　．16．(2023春•海陵区校级月考）已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b=a−ba+b（其中a+b≠0），若m*(−32)=−53，则m＝　 　．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春•姑苏区校级月考）解方程：（1）30x=20x+1；（2）x+1x−1−4x2−1=1．18．(2023春•吴中区校级月考）解方程：（1）x2x−5+55−2x=1；（2）1x+3−23−x=12x2−9．19．(2023秋•密山市校级期末）解分式方程：（1）3xx+2+2x−2=3；（2）2x+1+3x−1=6x2−1．20．(2023春•张家港市期中）已知关于x的分式方程2x−2+x+m2−x=2．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．21．(2023秋•承德县期末）已知关于x的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a＝3时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，直接写出a的值为 　 　．22．(2023春•吴中区校级月考）为落实“文明吴中”的工作部署，市政府计划对吴中道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．求甲工程队每天能改造道路的长度是多少米？23．(2023•泉山区校级三模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，甲车间每天生产的硅胶外壳数量是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天．求乙车间每天生产硅胶外壳个数．24．(2023秋•如东县期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.5分式方程专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•宿豫区期中）分式方程2x=1x+1的解是（　　）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2（x+1）＝x，解得：x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入得：x（x+1）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣2．故选：B．2．(2023春•盐城期末）若x＝4是分式方程a−2x=1x−3的根，则a的值为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，a−24=1，解得：a＝6，故选：D．3．(2023春•梁溪区校级期末）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（　　）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0，求出m的值即可．【解答】解：2x=m2x+1，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m＝0或2x+1＝0，即4﹣m＝0或x=−12=−24−m，∴m＝4或m＝0，故选：D．4．(2023春•溧水区期中）已知关于x的方程2x−mx+2=3的解是负数，那么m的取值范围是（　　）A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣6且m≠﹣2 D．m＞﹣6且m≠﹣4【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出m的取值范围．【解答】解：去分母得2x﹣m＝3（x+2），∴x＝﹣m﹣6，∵原方程的解是负数，∴﹣m﹣6＜0，且x＝﹣m﹣6≠﹣2，∴m＞﹣6且m≠﹣4．故选D．5．(2023春•淮阴区期末）关于x的分式方程mx−1−2x−1=3有增根，则m的值是（　　）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据题意可得x＝1，然后代入整式方程中进行计算，即可解答．【解答】解：mx−1−2x−1=3，m﹣2＝3（x﹣1），解得：x=m+13，∵分式方程有增根，∴x＝1，把x＝1代入x=m+13中，1=m+13，解得：m＝2，故选：B．6．(2023春•润州区校级期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（　　）A．34x3−x=45 B．43x3−x=45 C．34x3−x=54 D．43x3−x=54【分析】由已知得：得油43x斗，剩余（3﹣x）斗漆去和油，根据油四和（huo，即调和）漆五，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵共有三斗漆，分出x斗漆去得（换）油，漆三得油四，∴得油43x斗，剩余（3﹣x）斗漆去和油．依题意得：43x3−x=45．故选：B．7．(2023秋•崇川区校级月考）关于x的方程2x−ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（　　）A．a＞﹣1 B．a＜﹣1且a≠﹣2 C．a＜﹣1 D．a＞1且a≠2【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【解答】解：方程左右两端同乘以最小公分母x﹣1，得2x﹣a＝x﹣1，解得：x＝a﹣1且x为正数，所以a﹣1＞0，解得a＞1，且a≠2．（因为当a＝2时，方程无意义）．故答案为：D．8．(2023秋•崇川区校级月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{1x，−1x}=3x+4的解为（　　）A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．无解【分析】分两种情况，即x＞0和x＜0，根据新定义列方程求解，检验即可．【解答】解：①当x＞0时，有1x＞−1x，∴min{1x，−1x}=−1x，即−1x=3x+4，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有1x＜−1x，∴min{1x，−1x}=1x，即1x=3x+4，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{1x，−1x}=3x+4无解，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023•淮安）方程3x−2−1＝0的解是 　x＝5　．【分析】方程两边都乘x﹣2得出3﹣（x﹣2）＝0，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：3x−2−1＝0，方程两边都乘x﹣2，得3﹣（x﹣2）＝0，解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣2≠0，所以x＝5是原方程的解，即原方程的解是x＝5，故答案为：x＝5．10．(2023春•宜兴市校级期中）如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x的值为 　1　；若关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x有增根，则m的值为 　﹣6　．【分析】首先根据分式|x|−1x+1的值为0，可得：|x|−1=0x+1=0，据此求出x的值；然后把关于x的分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，求出x的值代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：∵分式|x|−1x+1的值为0，∴|x|−1=0x+1=0，解得：x＝1；去分母，可得：2x﹣（x﹣3）＝﹣m，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：2×3﹣（3﹣3）＝﹣m，解得：m＝﹣6．故答案为：1；﹣6．11．(2023•兴化市开学）关于x的方程3x−mx+3=4的解是负数，则m的取值范围是 　m＞﹣12且m≠﹣9　．【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：3x﹣m＝4x+12，解得：x＝﹣m﹣12，∵分式方程的解为负数，∴﹣m﹣12＜0，且﹣m﹣12≠﹣3，解得：m＞﹣12且m≠﹣9．故答案为：m＞﹣12且m≠﹣9．12．(2023春•靖江市期末）若分式方程kxx−1−2k−11−x=2无解，则k＝　2或13　．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【解答】解：去分母得：kx+2k﹣1＝2（x﹣1），整理得：（k﹣2）x＝﹣2k﹣1，∵分式方程无解，∴k＝2时，满足题意；当k≠2时，最简公分母x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：k+2k﹣1＝0，解得：k=13，综上所示，k＝2或13．故答案为：2或13．13．(2023春•泰州期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x棵，根据题意列出方程 　960x−9601.5x=4　．【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为1.5x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．【解答】解：根据题意得：960x−9601.5x=4．故答案为：960x−9601.5x=4．14．(2023秋•启东市校级期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 　m≤5且m≠2　．【分析】先解分式方程得x＝5﹣m，再由题意可得5﹣m≥0，5﹣m≠3，从而求解即可．【解答】解：2x−3=1−m3−x，2＝x﹣3+m，x＝5﹣m，∵方程的解为非负数，∴5﹣m≥0，∴m≤5，∵x≠3，∴5﹣m≠3，∴m≠2，∴m的取值范围为m≤5且m≠2，故答案为：m≤5且m≠2．15．(2023秋•崇川区校级月考）若关于x的方程2m+xx−3−1=2x无解，则m的值是 　−12或−32　．【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．【解答】解：2m+xx−3−1=2x，方程两边同乘：x（x﹣3），得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，整理得：（2m+1）x＝﹣6，①整式方程无解：2m+1＝0，解得：m=−12；②分式方程有增根：x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3；当x＝0时：整式方程无解；当x＝3时：3（2m+1）＝﹣6，解得：m=−32；综上，当m=−12或m=−32时，分式方程无解；故答案为：−12或−32．16．(2023春•海陵区校级月考）已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b=a−ba+b（其中a+b≠0），若m*(−32)=−53，则m＝　38　．【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：m+32m−32=−53，即2m+32m−3=−53整理得：3（2m+3）＝﹣5（2m﹣3），去括号得：6m+9＝﹣10m+15，移项合并得：16m＝6，解得：m=38，经检验m=38是分式方程的解，则m=38．故答案为：38．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春•姑苏区校级月考）解方程：（1）30x=20x+1；（2）x+1x−1−4x2−1=1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：30（x+1）＝20x，解得：x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入得：x（x+1）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣3；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．18．(2023春•吴中区校级月考）解方程：（1）x2x−5+55−2x=1；（2）1x+3−23−x=12x2−9．【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，解得：x＝0，检验：把x＝0代入得：2x﹣5≠0，∴分式方程的解为x＝0；（2）去分母得：x﹣3+2x+6＝12，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，分式方程无解．19．(2023秋•密山市校级期末）解分式方程：（1）3xx+2+2x−2=3；（2）2x+1+3x−1=6x2−1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程两边乘（x+2）（x﹣2）得：3x（x﹣2）+2（x+2）＝3（x+2）（x﹣2），化简得：﹣4x＝﹣16，解得：x＝4．检验：把x＝4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，所以原方程的解是x＝4；（2）方程两边乘（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．20．(2023春•张家港市期中）已知关于x的分式方程2x−2+x+m2−x=2．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝0；（2）解得：x=6−m3，根据分式方程的解为正数，得到6−m3＞0，且6−m3≠2，解得：m＜6且m≠0．21．(2023秋•承德县期末）已知关于x的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a＝3时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，直接写出a的值为 　﹣3　．【分析】（1）把a＝3代入方程后，再按照解分式方程的步骤进行计算即可；（2）由题意可得x＝1，再把x＝1代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为：3x+1x−1−21−x=1，方程两边同时乘（x﹣1），得3x+1+2＝x﹣1，解这个整式方程，得x＝﹣2．检验：将x＝﹣2代入x﹣1，得x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x＝﹣2是原分式方程的根；（2）方程两边同时乘（x﹣1），得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，若原方程有增根，则x﹣1＝0，即增根为x＝1，将x＝1代入整式方程，得a﹣1＝﹣4，解得a＝﹣3，故答案为：﹣3．22．(2023春•吴中区校级月考）为落实“文明吴中”的工作部署，市政府计划对吴中道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．求甲工程队每天能改造道路的长度是多少米？【分析】设甲工程队每天能改造道路的长度是x米，则乙工程队每天能改造道路的长度是12x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设甲工程队每天能改造道路的长度是x米，则乙工程队每天能改造道路的长度是12x米，根据题意得：36012x−360x=3，解得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意．答：甲工程队每天能改造道路的长度是120米．23．(2023•泉山区校级三模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，甲车间每天生产的硅胶外壳数量是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天．求乙车间每天生产硅胶外壳个数．【分析】设乙车间每天生产硅胶外壳x个，则甲车间每天生产硅胶外壳2x个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设乙车间每天生产硅胶外壳x个，则甲车间每天生产硅胶外壳2x个，根据题意得：80002x−2000x=1，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是所列方程的解，且符合题意．答：乙车间每天生产硅胶外壳2000个．24．(2023秋•如东县期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【分析】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得6000x×43=8800x+20解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．