苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题10.9分式方程的无解及特殊解问题大题专练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.9分式方程的无解及特殊解问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．(2023春•张家港市期中）已知关于x的分式方程2x−2+x+m2−x=2．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．2．(2023秋•巨野县期中）若关于x的方程x+1x2−x−13x=x+k3x−3有增根，求增根和k的值．3．(2023春•东台市月考）关于x的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a＝3时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a的值．4．(2023春•灌云县校级月考）已知关于x的方程2x−2+x+m2−x=2有增根，求m的值．5．(2023春•江都区校级月考）关于x的方程xx−2−x+mx2−4=2xx+2有增根，求m的值．6．(2023春•京口区校级月考）若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，求m的值．7．(2023春•阜宁县期中）关于x的分式方程x+mx−3+2m3−x=4的解为非负数，求实数m的取值范围8．(2023秋•高邮市期末）（1）化简分式：1−xx−2+2−12−x；（2）判断方程1−xx−2+2−12−x=0是否有解？　 　（填“是”或“否”）9．(2023秋•启东市校级月考）若关于x的分式方程mx2−9+2x+3=1x−3无解，求m的值．10．(2023•崇川区校级一模）已知关于x的方程：2xx+3=mxx+3−2．（1）当m为何值时，方程无解．（2）当m为何值时，方程的解为负数．11．(2023秋•崇川区校级月考）若关于x的方程3−2xx−3−mx−23−x=−1无解，求m的值．12．(2023秋•余干县期末）已知关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，求m的取值范围．13．(2023秋•张店区校级期末）已知关于x的分式方程2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和．14．(2023秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程k2x−4−1=xx−2的解为非负数，求k的取值范围．15．(2023秋•冷水滩区校级月考）若关于x的分式方程mxx−2=4x−2+1无解，求m的值．16．(2023秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的方程2x−ax−1=1的解为正数，求a的取值范围．17．(2023秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=1x−1的解相同，求m2﹣2m的值．18．(2023春•吉安期中）若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和．19．(2023春•浚县校级月考）若关于x的方程4xx−2−5=mx2−x无解，求m的值．20．(2023春•河南月考）已知关于x的方程：x+1x−2=mxx−2−3．（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．21．(2023春•乐至县月考）已知关于x的分式方程1x−2+3=k−22−x．（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．22．(2023春•乐山期中）（1）已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，求m的取值范围；（2）若关于x的方程2x+mx−2=3无解，求m的值．23．(2023秋•石家庄期末）若关于x的分式方程xx−2=2−m2−x的解为正数，求满足条件的正整数m的值．24．(2023•南京模拟）已知分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围．25．(2023秋•海淀区校级期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；（2）若这个方程无解，则m＝　 　.（直接写出答案）26．(2023•广东模拟）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．27．(2023秋•潍坊期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．（1）【理解应用】解方程x2+2x=5+25；（2）【知识迁移】若关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．28．(2023春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．29．(2023•微山县二模）【建构模型】对于两个不等的非零实数m，n，若分式(x−m)(x−n)x的值为零，则x＝m或x＝n．又因为(x−m)(x−n)x=x2−(m+n)x+mnx=x+mnx−(m+n)，所以关于x的方程x+mnx=m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．【应用模型】利用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+ax=b的两个解分别为x1＝﹣3，x2＝4，则a＝　 　，b＝　 　；（2）关于x的方程2x+(n+3)(n−4)2x+1=2n−2的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求x1+42x2+1的值．30．(2023秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝　 　，x2＝　 　；（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.9分式方程的无解及特殊解问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．(2023春•张家港市期中）已知关于x的分式方程2x−2+x+m2−x=2．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝0；（2）解得：x=6−m3，根据分式方程的解为正数，得到6−m3＞0，且6−m3≠2，解得：m＜6且m≠0．2．(2023秋•巨野县期中）若关于x的方程x+1x2−x−13x=x+k3x−3有增根，求增根和k的值．【分析】根据解分式方程的步骤，可得相应的整式方程的解，根据分式方程无解，可得答案．【解答】解；方程两边都乘以3x（x﹣1），得3（x+1）﹣（x﹣1）＝x（x+k）化简，得x2+（k﹣2）x﹣4＝0．∵分式方程有增根，∴x＝1或x＝0，x＝1，k＝5，此时方程的解为﹣4，1是增根，x＝0时，不合题意舍弃，答：增根是1，k是5．3．(2023春•东台市月考）关于x的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a＝3时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a的值．【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为3x+1x−1−21−x=1，方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，解这个整式方程得：x＝﹣2，检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．4．(2023春•灌云县校级月考）已知关于x的方程2x−2+x+m2−x=2有增根，求m的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝0．5．(2023春•江都区校级月考）关于x的方程xx−2−x+mx2−4=2xx+2有增根，求m的值．【分析】两边乘（x+2）（x﹣2）得到，x（x+2）﹣x﹣m＝2x（x﹣2）①，由题意方程有增根，可得x＝2或﹣2，把x＝2或﹣2代入①即可求出m．【解答】解：两边乘（x+2）（x﹣2）得到，x（x+2）﹣x﹣m＝2x（x﹣2）①∵方程有增根，∴x＝2或﹣2，x＝2时，8﹣2﹣m＝0，m＝6，x＝﹣2时，2﹣m＝16，m＝﹣14，经检验，m＝6或﹣14均符合题意，∴m的值为6或﹣14．6．(2023春•京口区校级月考）若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，求m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．【解答】解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x+6＝0，当2m+1＝0，即m＝﹣0.5时，方程无解；当2m+1≠0，即m≠﹣0.5时，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，把x＝0代入整式方程得：m无解；把x＝3代入整式方程得：6m+9＝0，解得：m＝﹣1.5，综上，m的值为﹣1.5或﹣0.5．7．(2023春•阜宁县期中）关于x的分式方程x+mx−3+2m3−x=4的解为非负数，求实数m的取值范围【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：x+m﹣2m＝4x﹣12，解得：x=12−m3，由分式方程的解为非负数，得到12−m3≥0，且12−m3≠3，解得：m≤12且m≠3．8．(2023秋•高邮市期末）（1）化简分式：1−xx−2+2−12−x；（2）判断方程1−xx−2+2−12−x=0是否有解？　否　（填“是”或“否”）【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式飞，求出整式方程的解得到x的值，检验即可．【解答】解：（1）原式=1−xx−2+2(x−2)x−2+1x−2=1−x+2x−4+1x−2 =x−2x−2 ＝1；（2）去分母得：1﹣x+2x﹣4+1＝0，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．故答案为：否．9．(2023秋•启东市校级月考）若关于x的分式方程mx2−9+2x+3=1x−3无解，求m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x＝3，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：分式方程两边同乘（x+3）（x﹣3），去分母得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程无解得到x﹣3＝0，或x+3＝0，即x＝3或﹣3，代入整式方程得：m＝6或12．10．(2023•崇川区校级一模）已知关于x的方程：2xx+3=mxx+3−2．（1）当m为何值时，方程无解．（2）当m为何值时，方程的解为负数．【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．（2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值．【解答】解：（1）由原方程，得2x＝mx﹣2x﹣6，①整理，得（4﹣m）x＝﹣6，当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，故2×（﹣3）＝3m﹣2×（﹣3）﹣6，解得 m＝﹣2，综上所述，m＝﹣2或4；（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，当m≠4时．x=−64−m＜0，解得m＜4综上所述，m＜4且m≠﹣2．11．(2023秋•崇川区校级月考）若关于x的方程3−2xx−3−mx−23−x=−1无解，求m的值．【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1＝0或将x＝3代入整式方程，即可求出m的值．【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，整理得：（m﹣1）x＝2，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，即x＝3时，方程无解，此时2m−1=3，即m=53，所以m＝1或m=53．12．(2023秋•余干县期末）已知关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，求m的取值范围．【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解的定义求得m的取值范围．【解答】解：2x−2+x+m2−x=2，去分母，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）．去括号，得2﹣x﹣m＝2x﹣4．移项，得﹣x﹣2x＝﹣4+m﹣2．合并同类项，得﹣3x＝﹣6+m．x的系数化为1，得x=2−m3．∵关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，∴2−m3＞0且2−m3≠2．∴m＜6且m≠0．13．(2023秋•张店区校级期末）已知关于x的分式方程2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和．【分析】先解出分式方程，得到x=6−k3，代入﹣4＜x＜﹣1求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．【解答】解：2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2，解得：x=k−217，∵﹣4＜x＜﹣1，∴−4＜k−217＜−1，解得：﹣7＜k＜14，∵k为整数，∴k为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠﹣3，∴k≠35且k≠0，∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴符合条件的k值的和为：﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝70．14．(2023秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程k2x−4−1=xx−2的解为非负数，求k的取值范围．【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．【解答】解：k2x−4−1=xx−2，去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=k+44，∵x﹣2≠0，∴k+44≥0且k+44−2≠0，解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．15．(2023秋•冷水滩区校级月考）若关于x的分式方程mxx−2=4x−2+1无解，求m的值．【分析】先解分式方程可得（m﹣1）x＝2，根据分式方程无解可知原方程有增根x＝2或m﹣1＝0，进一步即可求出m的值．【解答】解：去分母，得mx＝4+x﹣2，整理，得（m﹣1）x＝2，∵关于x的分式方程mxx−2=4x−2+1无解，当x＝2时原分式方程有增根，原方程无解，∴2（m﹣1）＝2，解得m＝2，当m﹣1＝0时，原方程无解，解得m＝1，∴m＝2或1．16．(2023秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的方程2x−ax−1=1的解为正数，求a的取值范围．【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：关于x的方程2x−ax−1=1的解为：x＝a﹣1，∵分式方程有可能产生增根x＝1，∴a﹣1≠1，∵关于x的方程2x−ax−1=1的解为正数，∴a−1＞0a−1≠1，解得：a＞1且a≠2．∴a的取值范围为：a＞1且a≠2．17．(2023秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=1x−1的解相同，求m2﹣2m的值．【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2x+4=mx，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．【解答】解：32x=1x−1，3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2x+4=mx，得23+4=m3，解得m=67；把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．18．(2023春•吉安期中）若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和．【分析】解不等式组，根据不等式组有解确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出y，根据分式方程有非负整数解求出m，即可得出答案．【解答】解：整理不等式组，得x≥m−2x≤−2m+1，∵不等式组有解，∴不等式组的解集为m﹣2≤x≤﹣2m+1，即m﹣2≤﹣2m+1，解得m≤1．化简分式方程，得1+m﹣y＝2（y﹣2），解得y=5+m3，∵由题意知，分式方程有意义，∴m≠1，∴m＜1，即5+m＜6，∵分式方程有非负整数解，∴5+m是3的非负整数倍，∴5+m＝0或3∴m＝﹣5或﹣2，∴所有的整数m的和为（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．19．(2023春•浚县校级月考）若关于x的方程4xx−2−5=mx2−x无解，求m的值．【分析】分式方程的解法，先化成一元一次方程，然后讨论，分母等于0的数，就是增根，是一元一次方程的根，而不是分式方程的根．当化成的一元一次方程系数含字母时，让系数为0，此时也无解．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得：4x﹣5（（x﹣2）＝﹣mx，整理得：（1﹣m）x＝10，∴当x＝2时，分母为0，方程无解，即2（1﹣m）＝10，∴m＝﹣4时方程无解；当1﹣m＝0时，方程无解，此时m＝1．综上所述，当m＝﹣4或1时方程无解．20．(2023春•河南月考）已知关于x的方程：x+1x−2=mxx−2−3．（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．【分析】（1）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；（2）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），解得：x=54−m，∵方程的解为正整数，且x≠2，∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2解得：m＝﹣1或3，且m≠2，∴整数m的值为﹣1或3；（2）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），解得：x=54−m，∵方程的解为正数且x≠2，∴54−m＞0且54−m≠2，解得：m＜4，且m≠32，∴m的取值范围为m＜4且m≠32．21．(2023春•乐至县月考）已知关于x的分式方程1x−2+3=k−22−x．（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．【分析】（1）将x＝4代入方程，即可求出k的值；（2）先解分式方程，得x=−k+73，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）将x＝4代入分式方程1x−2+3=k−22−x，得12+3=k−2−2，解方程，得k＝﹣5，∴k＝﹣5．（2）解分式方程1x−2+3=k−22−x，去分母，得1+3（x﹣2）＝﹣（k﹣2），解得x=−k+73，∵分式方程有正数解，∴−k+73＞0且−k+73≠2，解得k＜7且k≠1，∴k的取值范围是k＜7且k≠1．22．(2023春•乐山期中）（1）已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，求m的取值范围；（2）若关于x的方程2x+mx−2=3无解，求m的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．【解答】解：（1）去分母得：2x+m＝3x﹣6，解得x＝m+6，由分式方程的解为正数，得到m+6＞0，且m+6≠2，解得m＞﹣6且m≠﹣4；（2）分式方程去分母得：2x+m＝3x﹣6，解得x＝m+6，由分式方程无解，即m+6＝2，解得m＝﹣4．23．(2023秋•石家庄期末）若关于x的分式方程xx−2=2−m2−x的解为正数，求满足条件的正整数m的值．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程xx−2=2−m2−x的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵xx−2=2−m2−x，∴xx−2=2+mx−2，x−mx−2=2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．24．(2023•南京模拟）已知分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围．【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解为：x＝m﹣2，∵分式方程有可能产生增根1或﹣2，∴m﹣2≠1且m﹣2≠﹣2，∴m≠3且m≠0，∵分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解x满足﹣2≤x≤5，∴﹣2≤m﹣2≤5，解得：0＜m≤7，综上，m的取值范围为：0＜m≤7且m≠3．25．(2023秋•海淀区校级期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；（2）若这个方程无解，则m＝　3或10或﹣4　.（直接写出答案）【分析】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），解得：x=213−m由题意得：213−m＜0，213−m≠±3，解得：m＞3且≠10；（2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），由题意得：m﹣3＝0或213−m=±3，解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4，故答案为：3或10或﹣4．26．(2023•广东模拟）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【解答】解：（1）把a＝1，b＝0代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1中，得12x+3−−xx−5=1方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15x=−1011检验：把x=−1011代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=−1011．答：分式方程的解是x=−1011．（2）把a＝1代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1得12x+3−b−xx−5=1方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15（11﹣2b）x＝3b﹣10①当11﹣2b＝0时，即b=112，方程无解；②当11﹣2b≠0时，x=3b−1011−2bx=−32时，分式方程无解，即3b−1011−2b=−32，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即3b−1011−2b=5，b＝5．综上所述，b=112或b＝5时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解．（3）把a＝3b代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1，得：3b2x+3+x−bx−5=1 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）整理得：（10+b）x＝18b﹣15∴x=18b−1510+b∵18b−1510+b=18(b+10)−19510+b=18−19510+b，且b为正整数，x为整数∴10+b必为195的因数，10+b≥11∵195＝3×5×13∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．27．(2023秋•潍坊期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．（1）【理解应用】解方程x2+2x=5+25；（2）【知识迁移】若关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；（2）根据给定的方法可得a+b＝7，ab＝3，再根据完全平方公式进一步计算a2+b2即可．【解答】解：（1）∵x2+2x=5+25，即x+2x=5+25，∴x1＝5，x2=25；（2）∵关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，∴a+b＝7，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43．28．(2023春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；（2）根据题意用m表示出x的值，再根据“相伴方程”的定义及m为正整数即可求出m的值．【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”，理由如下：解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x，解得：x=12，解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得：x=12，检验：当x=12时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，∴原分式方程无解，∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”；（2）由题意，两个方程由相同的整数解，∴mx+6＝x+4m，∴（m﹣1）x＝4m﹣6，①当m﹣1＝0时，方程无解，②当m﹣1≠0，即m≠1时，x=4m−6m−1，即x＝4−2m−1，∵x，y均为整数，∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，又∵m取正整数，∴m＝2或3．29．(2023•微山县二模）【建构模型】对于两个不等的非零实数m，n，若分式(x−m)(x−n)x的值为零，则x＝m或x＝n．又因为(x−m)(x−n)x=x2−(m+n)x+mnx=x+mnx−(m+n)，所以关于x的方程x+mnx=m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．【应用模型】利用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+ax=b的两个解分别为x1＝﹣3，x2＝4，则a＝　﹣12　，b＝　1　；（2）关于x的方程2x+(n+3)(n−4)2x+1=2n−2的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求x1+42x2+1的值．【分析】（1）根据题目给出的结论，a＝x1x2，b＝x1+x2，代入数值即可．（2）把原式构造成x+ax=b的形式即可．【解答】解：（1）由题意可知，a＝x1x2，b＝x1+x2，∴a＝﹣12，b＝1．故答案为：﹣12，1．（2）由2x+(n+3)(n−4)2x+1=2n−2，得2x+1+(n+3)(n−4)2x+1=(n+3)+(n−4)，令2x+1＝t，∴t1＝n+3，t1＝n﹣4，又∵x1＜x2，∴x1=12（n﹣5），x2=12（n+2），∴x1+42x2+1=12(n+3)n+3=12．30．(2023秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝　3　，x2＝　23　；（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．【分析】（1）根据题意可得x＝3或x=23；（2）由题意可得a+b＝5，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19；（3）方程变形为x﹣1+4x−1=k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝4，再将所求代数式化为k2﹣4k+2t3＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝12．【解答】解：（1）∵x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b，∴x2+2x=x+2x=3+23的解为x＝3或x=23，故答案为：3，23；（2）∵x+3x=5，∴a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；（3）4x−1=k﹣x可化为x﹣1+4x−1=k﹣1，∵方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，则有x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，∴t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，∴k＝t+t2+2，t3+t＝4，k2﹣4k+2t3＝k（k﹣4）+2t3＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+2t3＝t4+4t3+t2﹣4＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4t+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝4×4﹣4＝12．