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    专题04 猪蹄模型与铅笔模型-2022-2023学年七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

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    人教版七年级下册5.2.2 平行线的判定精练

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    这是一份人教版七年级下册5.2.2 平行线的判定精练,文件包含专题04猪蹄模型与铅笔模型原卷版2022-2023学年七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题人教版docx、专题04猪蹄模型与铅笔模型解析版2022-2023学年七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题人教版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
    【模型结论】
    如图,直线MA∥NB,则:①∠APB=∠A+∠B;
    ②∠A+∠B+∠P=∠P+∠P;
    ③∠A+∠B+∠P+…+P=∠P+∠P+∠P+…+∠P

    模型二:铅笔模型
    【模型结论】
    如图1:AB∥CD,则∠1+∠2= 180°;
    如图2:AB∥CD,则∠1+∠2+∠3=360°;
    如图3:AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4=540°;
    如图4:AB∥CD,则∠1+∠2+…+∠n=(n﹣1)180°。


    1.(雅礼)已知,AB∥CD,分别探讨四个图形中∠APC,∠PAB,∠PCD的关系.
    (1)请说明图1、图2中三个角的关系,并任选一个加以证明.
    (2)猜想图3、图4中三个角的关系,不必说明理由.
    (提示:注意适当添加辅助线!)
    【解答】解:(1)图1,∠A+∠P+∠C=360°,图2,∠A+∠C=∠APC,
    证明图1:过P作PE∥AB,∴∠A+∠APE=180°,又∵AB∥CD,∴CD∥PE,
    ∴∠C+∠CPE=180°,∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C=360°;
    (2)图3:∠PCD=∠PAB+∠APC,图4:∠PAB=∠PCD+∠CPA.
    2.(2021春•天心区校级月考)如图,已知直线MN∥EF.C是这两直线之间一点.
    (1)如图1,若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D,若∠ACB=100°,求∠ADB的度数;
    (2)如图2,若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D,请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系.
    【解答】解:(1)如图1,过C作CG∥MN,DH∥MN,
    ∵MN∥EF,∴MN∥CG∥DH∥EF,∴∠1=∠ADH,∠2=∠BDH,∠MAC=∠ACG,∠EBC=∠BCG,
    ∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D,∴∠1=∠ACG,∠2=∠BCG,
    ∴∠ADB=(∠ACG+∠BCG)=∠ACB;∵∠ACB=100°,∴∠ADB=50°;
    (2)如图,过C作CG∥MN,DH∥MN,
    ∵MN∥EF,∴MN∥CG∥DH∥EF,∴∠1=∠ADH,∠2=∠BDH,∠NAC=∠ACG,∠FBC=∠BCG,
    ∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D,∴∠1=∠MAC,∠2=∠CBF,
    ∵∠ADB=360°﹣∠1﹣(180°﹣∠2)﹣∠ACB=360°﹣∠MAC﹣(180°﹣∠CBF)﹣∠ACB=360°﹣(180°﹣∠ACG)﹣(180°﹣∠BCG)=90°﹣∠ACB.∴∠ADB=90°﹣ACB.
    3.(2022·全国·七年级假期作业)【阅读材料】
    在“相交线与平行线”的学习中,有这样一道典型问题:
    如图①,AB∥CD,点P在AB与CD之间,可得结论:∠BAP+∠APC+∠PCD=360°.
    理由如下:过点P作PQ∥AB.∴∠BAP+∠APQ=180°.∵AB∥CD,∴PQ∥CD.
    ∴∠PCD+∠CPQ=180°.∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°.
    【问题解决】
    (1)如图②,AB∥CD,点P在AB与CD之间,写出∠BAP,∠APC,∠PCD间的等量关系;(只写结论)
    (2)如图③,AB∥CD,点P,E在AB与CD之间,AE平分∠BAP,CE平分∠DCP.写出∠AEC与∠APC间的等量关系,并说明理由;
    (3)如图④,AB∥CD,点P,E在AB与CD之间,∠BAE=∠BAP,∠DCE=∠DCP,写出∠AEC与∠APC间的等量关系.(只写结论)
    【解答】解:(1)解:∠APC=∠BAP+∠PCD;过P作PM∥AB,∴∠BAP=∠APM,DC∥PM,
    ∴∠PCD=∠MPC,∵∠APC=∠APM+∠MPC,∴∠APC=∠BAP+∠PCD.
    (2)(2)∠AEC=∠APC,理由如下:过点P作PM∥AB,过点E作EN∥AB.
    根据(1)可得:∠APC=∠BAP+∠DCP,∠AEC=∠BAE+∠DCE,∵AE平分∠BAP,CE平分∠DCP,
    ∴∠BAE=∠BAP,∠DCE=∠DCP.∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC.∴∠AEC=∠APC.
    (3)解:如图④中,设∠EAB=x,∠DCE=y,则∠BAP=3x,∠DCP=3y,由题意可得:∠AEC=x+y,∠APC+3x+3y=360°,∴∠APC+3∠AEC=360°,故答案为:∠APC+3∠AEC=360°.
    4.(2022春·云南玉溪·七年级统考期末)已知:如图1,直线,EF分别交AB,CD于E,F两点,的平分线相交于点M.
    (1)求的度数;
    (2)如图2,,的平分线相交于点,请写出与之间的等量关系,并说明理由;
    (3)在图2中作的平分线相交于点,作的平分线相交于点,依此类推,作的平分线相交于点,请直接写出的度数.
    【解答】解:(1)解:∵AB∥CD,∴∠AEF+∠CFE=180°,∵∠AEF,∠CFE的平分线相交于点M,
    ∴∠MEF=∠AEF,∠EFM=∠CFE,∴∠MEF+∠MFE=(∠AEF+∠CFE)=90°,∴∠M=180°-90°=90°;
    (2)结论:∠M1=∠M;理由:过点M1作M1J∥AB,如图所示:
    ∵AB∥CD,M1J∥AB,∴M1J∥CD,∵∠AEM,∠CFM的平分线相交于点M1,
    ∴∠AEM1=∠AEM,∠CFM1=∠CFM,∵∠EM1J=∠AEM1,∠JM1F=∠CFM1,
    ∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=(∠AEM+∠CFM)=×90°=45°;∴∠EM1F=∠M;
    (3)由(2)可知,∠M1=×90°,同法可知,∠M2=∠M1=∠M,∠Mn=()n×90°,
    当n=2022时,∠M2022=()2022×90°.
    5.(2021春·吉林)【阅读探究】如图1,已知,分别是上的点,点在两平行线之间,,,求的度数.
    解:过点作,∵,∴,
    ∴,

    ∴ ,
    从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将和“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.进一步研究,我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系,请直接写出它们之间的数量关系: .
    【方法运用】如图2,已知,点分别在直线上,点在两平线之间,求和之间的数量关系.
    【应用拓展】如图3,在图2的条件下,作和的平分线、,交于点(交点在两平行线之间)若,求的度数.
    【详解】解:[阅读探究]过点M作MN∥AB,如图1所示:
    ∵AB∥CD,∴MN∥CD,∴∠EMN=∠AEM=45°,∠FMN=∠CFM=25°,
    ∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=∠AEM+∠CFM,故答案为:∠EMF=∠AEM+∠CFM;
    [方法运用]过点M作MN∥AB,如图2所示:
    ∵AB∥CD,∴MN∥CD,∴∠EMN=∠BEM,∠FMN=∠DFM,∵∠BEM=180°-∠AEM,∠DFM=180°-∠CFM,
    ∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°-∠AEM+180°-∠CFM=360°-∠AEM-∠CFM,
    ∴∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系为:∠EMF=360°-∠AEM-∠CFM;
    [应用拓展]
    ∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线,∴∠AEP=∠AEM,∠CFP=∠CFM,
    过点P作PH∥AB,如图3所示:
    ∵AB∥CD,∴PH∥CD,∴∠EPH=∠AEP,∠FPH=∠CFP,
    ∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP=∠AEM+∠CFM=(∠AEM+∠CFM),
    由[方法运用]得:∠EMF=360°-∠AEM-∠CFM,∴∠AEM+∠CFM=360°-∠EMF=360°-60°=300°,
    ∴(∠AEM+∠CFM)=×300°=150°,∴∠EPF=150°.
    6.(2022春·福建莆田)对于平面内的∠M和∠N,若存在一个常数k>0,使得∠M+k∠N=360°,则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M=90°,∠N=45°,则∠N为∠M的6系补周角.
    (1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为 °;
    (2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE;
    ①如图1,∠D=60°,若∠B是∠E的3系补周角,求∠B的度数;
    ②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
    【解答】解:(1)解:设∠H的4系补周角的度数为x°,根据新定义得,120+4x=360,解得,x=60,
    ∠H的4系补周角的度数为60°,故答案为:60;
    (2)解:①过E作EF∥AB,如图1,
    ∴∠B=∠BEF,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∠D=60°,∴∠D=∠DEF=60°,
    ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF,即∠B+60°=∠BED,∵∠B是∠BED的3系补周角,
    ∴∠BED=360°-3∠B,∴∠B+60°=360°-3∠B,∴∠B=75°;
    ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时,满足∠BPD是∠F的k系补周角,此时k=2n.
    7.(2022春·湖北十堰)已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD.
    (1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC;
    (2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系;
    (3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.
    【详解】证明:(1)如图,过点作,
    ,,,,即,,;
    (2)如图,过点作,
    ,,,,即,
    ,,,,

    (3)如图,过点作,延长至点,
    ,,,,平分,平分,
    ,由(2)可知,,
    ,又,

    8.(广益)已知,点为平面内一点,于.
    (1)如图1,请直接写出和之间的数量关系;
    (2)如图2,过点作,垂足为,求证:;
    (3)如图3,在(2)的条件下,作平分,交于点,作平分,交于,连接,若,且,求的度数.
    【解答】解:(1)结论:∠ECD=90°+∠ABE.理由:如图1中,从BE交DC的延长线于H.
    ∵AB∥CH,∴∠ABE=∠H,∵BE⊥CE,∴∠CEH=90°,∴∠ECH=180°﹣∠CEH﹣∠H=180°﹣90°﹣∠H=90°﹣∠H,∴∠ECD=180°﹣∠ECH=180°﹣(90°﹣∠H)=90°+∠H,
    ∴∠ECD=90°+∠ABE.
    (2)如图2中,作EM∥CD,
    ∵EM∥CD,CD∥AB,∴AB∥CD∥EM,∴∠BEM=∠ABE,∠F+∠FEM=180°,∵EF⊥CD,
    ∴∠F=90°,∴∠FEM=90°,∴∠CEF与∠CEM互余,∵BE⊥CE,∴∠BEC=90°,
    ∴∠BEM与∠CEM互余,∴∠CEF=∠BEM,∴∠CEF=∠ABE.
    (3)如图3中,设∠GEF=α,∠EDF=β.
    ∴∠BDE=3∠GEF=3α,∵EG平分∠CEF,∴∠CEF=2∠FEG=2α,∴∠ABE=∠CEF=2α,
    ∵AB∥CD∥EM,∴∠MED=∠EDF=β,∠KBD=∠BDF=3α+β,∠ABD+∠BDF=180°,
    ∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β,∵ED平分∠BEF,∴∠BED=∠FED=2α+β,∴∠DEC=β,
    ∵∠BEC=90°,∴2α+2β=90°,∵∠DBE+∠ABD=180°,∠ABD+∠BDF=180°,
    ∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β,∵∠ABK=180°,∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°,
    即2α+(3α+β)+(3α+β)=180°,∴6α+(2α+2β)=180°,∴α=15°,
    ∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°+15°=105°.
    9.(2022春·湖南长沙)如图,PQMN,A、B分别为直线MN、PQ上两点,且∠BAN=45°,若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转,射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转,两射线分别绕点A、点B不停地旋转,若射线AM转动的速度是a°/秒,射线BQ转动的速度是b°/秒,且a、b满足.
    (1)a=________,b=________;
    (2)若射线AM、射线BQ同时旋转,问至少旋转多少秒时,射线AM、射线BQ互相垂直.
    (3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒,射线BQ才开始绕点B逆时针旋转,在射线BQ到达BA之前,问射线AM再转动多少秒时,射线AM、射线BQ互相平行?
    【解答】(1)解:,且,解得,将代入得,故答案为:;
    (2)解:设至少旋转t秒时,射线AM、射线BQ互相垂直,
    如图所示,设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O,则BO⊥AO,
    ∴∠ABO+∠BAO=90°,∵PQMN,∴∠ABQ+∠BAM=180°,∴∠OBQ+∠OAM=90°,又∵∠OBQ=t°,∠OAM=5t°,∴t°+5t°=90°,∴t=15(s);
    (3)解:设射线AM再转动t秒时,射线AM、射线BQ互相平行,如图所示,射线AM绕点A顺时针先转动18秒后,AM转动至AM'的位置,∠MAM'=18×5=90°,分两种情况:
    ①当9<t<18时,∠QBQ'=t°,∠M'AM''=5t°,
    ∵∠BAN=45°=∠ABQ,∴∠ABQ'=45°-t°,∠BAM''=∠M'AM''-∠M'AB=5t-45°,当∠ABQ'=∠BAM''时,BQ'AM'',此时,45°-t°=5t-45°,解得t=15;
    ②当18<t<27时,∠QBQ'=t°,∠NAM''=5t°-90°,
    ∠BAM''=∠M'AM''-∠M'AB=5t-45°,∵∠BAN=45°=∠ABQ,∴∠ABQ'=45°-t°,∠BAM''=45°-(5t°-90°)=135°-5t°,
    当∠ABQ'=∠BAM''时,BQ'AM“,此时,45°-t°=135°-5t,解得t=22.5;
    综上所述,射线AM再转动15秒或22.5秒时,射线AM、射线BQ互相平行.
    10.(2019春·浙江)如图,,、分别为直线、上两点,且,若射线绕点顺时针旋转至后立即回转,射线绕点逆时针旋转至后立即回转,两射线分别绕点、点不停地旋转,若射线转运的速度是,秒,射线转运的速度是/秒.(友情提醒:钟表指针走动的方向为顺时针方向)
    (1)若射线、射线同时旋转,问至少旋转多少秒时,射线、射线互相垂直.
    (2)若射线绕点顺时针先转动,射线才开始绕点逆时针旋转,在射线到达 之前,问射线再转动多少秒时,射线、射线互相平行?
    (3)如图,射线和射线同时转动,在射线到达之前.若射线与射线交于点,过作交于点,则在转动过程中,与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,说明理由.
    【详解】(1)设射线AM和射线BQ同时旋转t秒时,射线AM和射线BQ相互垂直,如图所示:
    依题意知,,,,,
    射线AM和射线BQ相互垂直,,故:
    (2) 设射线BQ同时旋转t秒时,射线AM和射线BQ相互平行,如图所示:
    依题意知,,,,,,
    ,即,故:;
    (3)与的数量关系会发生变化,设射线转动时间为t秒,则,,
    ①当时,如图:
    ,,
    ②当时,如图:
    ,,
    ,;
    ③当时,如图:
    ,,
    设BC交MN于E,,,即=,


    综上所述:①当时,,;
    ②当时,,;
    ③当时,,.
    所以在转动过程中,与的数量关系会发生变化.
    11.(师大)如图1,已知直线PQ∥MN,点A、B分别在直线MN、PQ上,射线AM绕点A以5°/秒的速度按顺时针开始旋转,旋转至与AN(或AM)重合后便立即回转,射线BQ绕点B以2°/秒的速度按顺时针开始旋转,旋转至与BP重合后便停止转动,旋转后的射线分别记为AM'和BQ'.
    (1)若射线BQ先转动30秒,射线AM才开始转动,在射线AM第一次到达AN之前,射线AM转动几秒后AM'∥BQ';
    (2)若射线AM,BQ同时转动t秒,在射线BQ停止转动之前,记射线AM'与BQ'交于点H,若∠AHB=90°,求t的值;
    (3)射线AM,BQ同时转动,在射线AM第一次到达AN之前,记射线AM'与BQ'交于点K,过K作KC⊥AK交PQ于点C,如图2,若∠BAN=30°,则在旋转过程中,∠BAK与∠BKC有何数量关系?并说明理由.
    【解答】解:(1)由题意当5t=60+2t时,BQ′∥AM′,∴t=20s时,BQ′∥AM′.
    (2)∵点Q的运动时间t==90(秒),分三种情形:①射线AM第一次到达AN之前:如图1中,
    当∠NAM′+∠QBQ′=90°时,∠AHB=90°,则有2t+180°﹣5t=90°,解得t=30(秒),
    ②射线AM返回途中:如图2中,

    当∠MAM′+∠PBQ′=90°时,∠AHB=90°,则有180°﹣2t+180°﹣(5t﹣180°)=90°,
    解得t=(秒),
    ③射线AM第二次到达AN之前,如图2中,当∠MAM′+∠PBQ′=90°时,∠AHB=90°,
    则有180°﹣2t+(5t﹣360°)=90°,解得t=90(秒),
    ④到达AN再返回途中,如图1,5t﹣180+2t=90 t= 秒;
    综上所述,满足条件的t的值为30秒或秒或90秒或秒.
    (3)如图3中,设∠KAB=x,∠BKC=y.设直线CK交MN于G.
    ∵AK⊥KC,∴∠AKG=90°,∴∠KAG+∠AGK=90°,∵PQ∥MN,∴∠AGK=∠QCK,
    ∴180°﹣5t+2t+y=90°,∴t=30°﹣y,∵x=30°﹣(180°﹣5t),∴x=5t﹣150°,
    ∴x=5(30°﹣y)﹣150°,∴x=y,∴∠KAB=∠BKC.
    12.(2021·全国·九年级专题练习)如图1,在平面直角坐标系中,,且满足,过作轴于
    (1)求三角形的面积.
    (2)发过作交轴于,且分别平分,如图2,若,求的度数.
    (3)在轴上是否存在点,使得三角形和三角形的面积相等?若存在,求出点坐标;若不存在;请说明理由.
    【详解】解:(1)由题意知:a=−b,a−b+4=0,解得:a=−2,b=2,
    ∴ A(−2,0),B(2,0),C(2,2),∴S△ABC=;
    (2)∵CB∥y轴,BD∥AC,∴∠CAB=∠ABD,∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°,
    过E作EF∥AC,

    ∵BD∥AC,∴BD∥AC∥EF,∵AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,∴∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,
    ∴∠AED=∠1+∠2=×90°=45°;
    (3)存在.理由如下:设P点坐标为(0,t),|t−1|•2+|t−1|•2=4,解得t=3或−1,
    ∴P点坐标为(0,3)或(0,−1).

    13.(2022春·重庆)直线AB//CD,点、分别在直线、上.
    (1)如图1,、、的数量关系为:________;
    (2)如图2,直线与、分别交于点、,连接,的平分线交于点.
    ①当MH//EF,PN//EF时,请判断与的数量关系,并说明理由;
    ②如图3,当保持PN//EF并向左平移,在平移的过程中猜想、与的数量关系,请直接写出结论.
    【详解】(1)如图1中,过点P作PTAB,∵ABCD,PTАВ,∴ABPTCD,
    ∴∠ AMP+ ∠MPT= 180°,∠PND =∠TPN,∴∠AMP + ∠MPN - ∠PND=∠AMP+∠MPT+∠TPN-∠PND= 180°,故答案为:∠AMP+∠MPN-∠PND=180°;
    (2)①∠EFD=∠PNM,理由如下:∵MHEF,∴∠EFD=∠MHN,∵ABCD,∴∠MHN=∠AMH,
    ∵MH平分∠AMN ,∴∠AMH=∠HMN,∴∠EFD=∠HMN,∵MHPN,∴∠HMN =∠PNM,∴∠EFD =∠PNM,故答案为∠EFD =∠PNM;
    ②如图,当点P在MN的右侧时,∵ABCD,∴∠MHD=∠AMH,∵MH平分∠AMN ,∴∠AMH=∠HMN,
    ∴∠MHD=∠HMN,∵PNEF,∴∠EFD=∠PND,∵∠MHN+∠HMN=∠PND+∠PNM,
    ∴2∠MHN =∠EFD+∠PNM,
    当点P在MN的左侧时,∵ABCD,∴∠MHD=∠AMH,∵MH平分∠AMN ,∴∠AMH=∠HMN,
    ∴∠MHD=∠HMN,∵PNEF,∴∠EFD=∠PND,∵∠MHN+∠HMN=∠PND-∠PNM,
    ∴2∠MHN +∠PNM =∠EFD.

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