初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数同步训练题

这是一份初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数同步训练题，共65页。试卷主要包含了4)，等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点M是反比例函数y=5x(x>0)图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y=−5xx<0图像于点N．
(1)若点M（53，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点B在函数y＝2x（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝1x（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
3．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知点A(2,4)、B(4,a)都在反比例函数y=kx的图像上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习） 已知，反比例函数y=2x的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是-1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值；
（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2-x1=2，y1+y2=3，求△MON的面积．
5．(2023春·江苏淮安·八年级洪泽外国语中学校考阶段练习）如图，RtΔAOB的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过斜边OA的中点D,与直角边AB相交于点C.
①若点A(4,6)，求点C的坐标：
②若SΔOCD=9，求k的值.
6．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间ymin与速度xm/min之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
7．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图所示，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
(3)直接写出y1＞y2时，x的取值范围
8．(2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，反比例函数y＝kx（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝2，OC＝4, 点E为BC的中点．
（1）k＝ ；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ODE的面积．
9．(2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，四边形AOBC是矩形，反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限内的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点M、N（点M、点N不与点C重合）．
（1）S△AOMS△BON＝ ；
（2）若BN═14BC，且四边形MONC的面积为9，求反比例函数的表达式；
（3）判断AMAC与BNBC的关系，并说明理由．
10．(2023春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC=52，BC=4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过点A，交BC于点D．
（1）若OB=3，求k的值；
（2）连接CO，若AB=BD，求四边形ABOC的周长．
11．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y＝mx在第一象限的图像交于点C(1，6)、点D(3，n)．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）试证明：△AEC≌△DFB；
12．(2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为(8，6)，双曲线y=kx的图像经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，
①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
②点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标．
13．(2023春·江苏扬州·八年级统考期中）已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
14．(2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，把一块等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且A、B两点的坐标分别为−4,0,0,2．
(1)求点C的坐标；
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y＝kx的图象上，求m、k的值和直线EF的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线EF交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形？若存在，求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．(2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=kx(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．
(1)求k的值；
(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．
16．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
17．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵a−b2≥0， ∴a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
【数学认识】在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a=b时，a+b有最小值2k
(1)【解决问题】若x>0时，x+1x有最小值为___________，此时x＝___________
(2)如图，已知点A在反比例函数y=9x k>0的图像上，点B在反比例函数y=−3xx>0的图像上，AB∥y轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．
18．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知点A在正比例函数y=−2x图像上，过点A作AB⊥x轴于点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数y=kx图像上．
(1)若点A的横坐标为－2，求k的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
19．(2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，A2,3，B−6,−1是反比例函数y=6xk≠0图象上的两点，连接AB，线段AB分别与坐标轴交于点C、点D．
(1)求证：AC=BD；
(2)请仅用无刻度的直尺在图2中画出一条与AB相等的线段EF（保留作图痕迹）．
20．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图1，反比例函数y=mxx>0的图象过点M4,3．
(1)求反比例函数y=mx的表达式，判断点2,8在不在该函数图象上，并说明理由；
(2)反比例函数y=mx1≤x≤6的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；
(3)如图2，直线l:y=−x+8与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数y=mx图象上一个动点，过点P分别作PC∥x轴交直线l于点C，作PD∥y轴交直线l于点D，请判断AC⋅BD的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．
21．(2023春·江苏连云港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数y1=kx(k>0,x>0)的图象上，点C在一次函数y2=12x−3的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
(1)m＝ ；k＝ ；
(2)结合图象直接写出不等式12x−3(3)求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数y1=kx的图象上；
(4)若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
22．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，函数y1=kx（k＞0，x＜0）和y2=−kx（k＞0，x＜0），当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，点A（a，b）在函数y1的图像上．
(1)求y1的函数表达式；
(2)当a＝－4时，作AE⊥x轴，垂足为E，将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q，求点Q的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在函数y2的图像上的点C（m，n）处，求b和n的数量关系．
23．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y=kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得PA+PB最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)连接AB，在线段CD上是否有一点E，使得△ABE的面积为5，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．(2023春·江苏常州·八年级校联考阶段练习）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0，只有当m=______时，m+9m有最小值______．
(2)探索应用：如图，已知A−3,0，B0,−4，P为双曲线y=12x(x>0)图像上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值．
(3)判断此时四边形ABCD的形状，说明理由．
25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期末）综合与探究
如图，已知，A0,4，B−3,0，C2,0，D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=kx的图象经过D点．
(1)证明四边形ABCD为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)已知在y=kx的图象（x>0）上有一点N，y轴正半轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
26．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）背景：点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系，请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值；
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x<0时“Z函数”的图象；
③若z=−x与Z函数相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是________．
27．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=k′xx<0的图像相交于点A、点B，与x 轴交于点C，其中点A的坐标为−2,4，点B的横坐标为−4．
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标．
(3)点M是x轴上的一个动点，
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为3，求点M的坐标．
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点N的坐标．
28．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）解题方法回顾：
在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”．
解题方法应用：
(1)已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值．
小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2）
解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13，
∴S△AOD=14S矩形ABCD=15，OA=OD=12AC=132，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12OAPE+PF
=12×132×PE+PF=15，
∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案）
(2)如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′．
①设AP＝x，BB′+CC′+DD′=y，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围；
②直接写出y的最大值为______，最小值为______．
29．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为8,4．过点D0,6和E12,0的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y=mxx>0的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y=mxx>0的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
30．(2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝kx的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝56S△ODE．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】
专题11.6反比例函数与几何综合问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点M是反比例函数y=5x(x>0)图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y=−5xx<0图像于点N．
(1)若点M（53，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
【答案】(1)N−53,3
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入y=−5x(x<0)，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．
（1）
∵MN∥y轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入y=−5x(x<0)，
得x=−53，
∴N−53,3；
（2）
不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，
∵MN∥x轴，点M和点N分别在函数y=5x和函数y=−5x图象上，
∴S△MOH=52,S△NOH=|−5|2=52,S△MON=S△PMN，
∴S△MON=S△MOH+S△NOH=52+52=5，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．
2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点B在函数y＝2x（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝1x（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
【答案】(1)A(12,2)，C(1,1)
(2)14
(3)1
【分析】（1）由BC∥y轴，AB∥x轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入y=1x即可得出点A、C的坐标；
（2）设B(m,2m)，由（1）同理得C(m,1m),A(m2,2m)，即可得出△ABC的面积；
（3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．
（1）解：（1）∵BC∥y轴，B（1，2），
∴当x＝1时，y＝1，
即C（1，1），
∵AB∥x轴，
∴当y＝2时，x＝12，
即A(12,2)；
（2）
解：当点B是y=2x（x＞0）的图象上任意一点时，
设B(m,2m)，
由（1）同理得C(m,1m),A(m2,2m)，
∴S△ABC＝12AB×BC＝12(m−m2)(2m−1m)=14；
（3）
解：延长BC交x轴于D点，
∵AB∥x轴，BC∥y轴，则∠ABC＝90°，
∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴CD⊥x轴，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，
∴∠CB'O＝∠ABC＝∠AB′C=90°，
∴CB'⊥OA，
∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，
∴CD＝CB'，
在Rt△OCD和Rt△OCB'中，
{OC=OCCD=CB′，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），
∴S△OCD=S△OB′C，
由（2）知，S△OCD＝12，S△ABC＝14，
∴四边形OABC的面积为14×2+12=1．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．
3．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知点A(2,4)、B(4,a)都在反比例函数y=kx的图像上．
（1）求k和a的值；
（2）以AB为一边在第一象限内作▱ABCD，若点C的横坐标为8，且▱ABCD的面积为10，求点D的坐标．
【答案】（1）k=8，a=2；（2）D(6,5)
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数y=kx求得k的值，将点B坐标代入反比例函数的解析式求出a的值即可；
（2）由题意得点D的横坐标为6，设D（6，m），连接BD，过A作EF∥y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，则E（2，m），F（2，2），由S梯形DEFB-S△DEA-S△AFB=S△ABD得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）把x=2，y=4代入y=kx，解得：k=8．
把x=4代入y=8x，解得：y=2，∴a=2．
（2）∵点C横坐标为8，∴设D(6,m)．
连BD，过点A作EF//y轴，作DE⊥EF，BF⊥EF，则E(2,m)，F(2,2)，
∵S梯形DEFB−SΔEDA−SΔAFB=SΔABD，或S梯形DEFB+SΔEDA−SΔAFB=SΔABD，
∴(4+2)(m−2)2−4(m−4)2−2×22=5，或(4+2)(m−2)2+4(4−m)2−2×22=5，
解得：m=5，∴D(6,5)．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和比例函数y=kx中k的几何意义、平行四边形的性质、坐标与图形性质、梯形和三角形面积等知识；正确理解k的几何意义是解题的关键．
4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习） 已知，反比例函数y=2x的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是-1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值；
（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2-x1=2，y1+y2=3，求△MON的面积．
【答案】（1）y=-x-3；（2）m2+n2=13；（3）S△MON=3
【分析】（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）由点P与点Q关于x轴对称可得点Q的坐标，然后根据图象上点的坐标特征可求得mn=2，n=m+3，然后代入所求式子整理化简即得结果；
（3）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，根据反比例函数系数k的几何意义，利用S△MON=S梯形MNHG+S△MOG－S△NOH=S梯形MNHG即可求得结果．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=2x的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是－1，点B的纵坐标是－1，
∴A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），
设一次函数的表达式为y=kx+b，把A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1）代入，得：
−k+b=−2−2k+b=−1，解得k=−1b=−3，
∴这个一次函数的表达式为y=﹣x﹣3；
（2）∵点P（m，n）与点Q关于x轴对称，∴Q（m，－n），
∵点P（m，n）在反比例函数图象上，∴mn=2，
∵点Q恰好落在一次函数的图象上，∴﹣n=﹣m﹣3，即n=m+3，
∴m(m+3)=2，∴m2+3m=2，
∴m2+n2=m2+(m+3)2=2m2+6m+9=2(m2+3m)+9=2×2+9=13；
（3）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，
∵M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=2x在第一象限图象上的两点，
∴S△MOG=S△NOH=12k=1，
∵x2－x1=2，y1+y2=3，
∴S△MON=S梯形MNHG+S△MOG－S△NOH=S梯形MNHG=12y1+y2x2−x1=12×3×2=3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、反比例函数系数k的几何意义以及坐标系中三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
5．(2023春·江苏淮安·八年级洪泽外国语中学校考阶段练习）如图，RtΔAOB的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过斜边OA的中点D,与直角边AB相交于点C.
①若点A(4,6)，求点C的坐标：
②若SΔOCD=9，求k的值.
【答案】①（4，32）；②k=12
【分析】①根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，再将D的坐标代入解析式求出解析式，从而得到C的坐标；
②连接OC, 设A(a,b),先用代数式表示出三角形OAB,OBC,OCD的面积，再根据条件列出方程求k的值即可．
【详解】解：①∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，6），
∴D（42，62），即（2，3）
∴k=2×3=6
∴解析式为y=6x
∵A的坐标为（4，6），AB⊥x轴
∴把x=4代入y=6x得y=32
∴C的坐标为（4，32）
②连接OC,
设A(a,b),则D(a2,b2)
可得k=ab4，ab=4k
∴解析式为y=ab4x
∴B(a,0),C(a,b4)
∴S△OAB=12OB·AB=12ab=2k
S△OBC=12OB•BC=12k
∴S△OCD=12S△OAC=12(S△OAB−S△OBC)
∴12(2k−12k)=9
解得：k=12
【点睛】本题考查了一次函数的性质，要正确理解参数k的几何意义，能用代数式表达三角形OCD的面积是解题的关键．
6．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图点A是反比例函数图像上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2)若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间ymin与速度xm/min之间的关系，则：
①老李家距离单位_____m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
【答案】(1)y=3000x
(2)①3000；②75
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；
（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx，
∵点A是反比例函数图像上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
∴12|k|=1500，解得：k=±3000，
∵图象位于第三象限，
∴k＞0，
∴k=3000，
∴y与x之间的函数表达式为y=3000x；
故答案为：y=3000x
（2）解：①根据题意得：y=3000x，
∴xy=3000，
∴老李家距离单位3000m；
故答案为：3000
②∵y=3000x，
∴当y=60-15-5=40时，3000x=40，
解得：x=75，
∴老李步行速度至少为多少75m/min才能不迟到．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
7．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图所示，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
(3)直接写出y1＞y2时，x的取值范围
【答案】(1)反比例函数解析式为y=8x，一次函数解析式为y=x+2
(2)6
(3)x>2或−4【分析】（1）将点A坐标代入y=mx可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，可得AD=6,BC=2，据此可得．
（3）观察图象直接写出解集即可
【详解】（1）解：将点A（2，4）代入y=mx，得：m=8，
则反比例函数解析式为y=8x，
当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：2k+b=4−4k+b=−2，解得：k=1b=2，
则一次函数解析式为y=x+2；
∴反比例函数解析式为y=8x，一次函数解析式为y=x+2；
（2）解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
∵点A（2，4），点B（﹣4，﹣2），
∴AD=6,BC=2，
则△ACB的面积=12×2×6=6．
（3）解：∵点A（2，4），点B（﹣4，﹣2），
∴当y1>y2时，x>2或−4【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．
8．(2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，反比例函数y＝kx（k＞0）与矩形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝2，OC＝4, 点E为BC的中点．
（1）k＝ ；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ODE的面积．
【答案】（1）4；（2）点D的坐标为（2，2）；（3）ΔODE的面积为3．
【分析】（1）由矩形的性质得BC=OA=2，AB=OC=4，∠OCB=∠ABC=∠OAB=90°，求出CE=1，则E（4，1），再把点E（4，1）代入y=kx求出k=4即可；
（2）设点D（m，2），代入y=4x求出m=2即可；
（3）△ODE的面积=矩形OABC的面积-△OCE的面积-△BDE的面积-△AOD的面积，代入计算即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，AB=OC=4，∠OCB=∠ABC=∠OAB=90°，
∵点E为BC的中点，
∴CE=1，∴E（4，1），
把点E（4，1）代入y=kx得：1=k4，
∴k=4，
故答案为：4；
（2）设点D（m，2），
代入y=4x得：2=4m，
解得：m=2，
∴点D的坐标为（2，2）；
（3）△ODE的面积=矩形OABC的面积-△OCE的面积-△BDE的面积-△AOD的面积=4×2-12×4×1-12×2×1-12×2×2=3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质、矩形的性质等知识；求出k的值是解题的关键．
9．(2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图，四边形AOBC是矩形，反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限内的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点M、N（点M、点N不与点C重合）．
（1）S△AOMS△BON＝ ；
（2）若BN═14BC，且四边形MONC的面积为9，求反比例函数的表达式；
（3）判断AMAC与BNBC的关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）y＝3x；（3）AMAC＝BNBC，理由见解析；
【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得S△AOM＝S△BON＝12|k|，从而求出结论；
（2）连接AC，根据矩形的性质可得S△AOC＝S△BOC，从而得出S△ONC＝12S四边形MONC，然后结合已知条件即可求出k的值，从而求出结论；
（3）设AC＝a，BC＝b，从而求出点M、N的坐标，即可求出结论．
【详解】解：（1）∵点M、N在反比例函数的图象上，且四边形OABC是矩形，
∴S△AOM＝S△BON＝12|k|，
∴S△AOMS△BON＝1，
故答案为：1；
（2）连接AC，
∵四边形OABC是矩形，
∴S△AOC＝S△BOC，
又∵S△AOC＝S△BOC＝12|k|，
∴S△ONC＝S△OMC＝12S四边形MONC＝92，
∵BN═14BC，
∴S△BON＝13 S△ONC，
即：12|k|＝13×92，
解得，k＝3或k＝﹣3（舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝3x；
（3）AMAC＝BNBC；
设AC＝a，BC＝b，
则M（kb，b），N（a，ka），
∴AMAC＝kab，BNBC＝kab，
∴AMAC＝BNBC；
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形综合题型，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决此题的关键．
10．(2023春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC=52，BC=4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过点A，交BC于点D．
（1）若OB=3，求k的值；
（2）连接CO，若AB=BD，求四边形ABOC的周长．
【答案】（1）k=9；（2）11+213.
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，求出AH和BH的长，即可确定A点坐标，从而求出k的值；
（2）设B点坐标为（0，a），写出A，D两点的坐标，根据A，D都在反比例函数上，求出a，k的值，从而求出周长.
【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=52，BC=4，
∴BH=12BC=2，
在Rt△ABH中，
AH=AB2−BH2=32，
∵OB=3，
∴A点坐标为2,92，
把A2,92代入反比例函数y=kx中，得92=k2，
解得：k=9；
（2）设B点坐标为（0，a），
∵BD=AB，
∴D点坐标为52,a，
∴A点坐标为2,32+a，
∵反比例函数经过A，D两点，
∴把A，D两点代入反比例函数y=kx中，得：a=k5232+a=k2，
解得：k=15a=6，
则D点坐标为52,6，A点坐标为2,152，
在Rt△OBC中，
OC=62+42=213，
∴四边形ABOC的周长为AB+OB+OC+AC=11+213.
【点睛】本题是对反比例函数的考查，熟练掌握反比例函数知识是解决本题的关键.
11．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y＝mx在第一象限的图像交于点C(1，6)、点D(3，n)．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）试证明：△AEC≌△DFB；
【答案】（1）m=6，n=2；（2）y=-2x+8；（3）见解析
【分析】（1）将点C（1，6）代入y＝mx求出m的值，再根据函数解析式求出n的值；
（2）根据C、D的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）再根据直线的解析式求得A，B的坐标，从而求得线段AE，CE，DF，BF的长，根据SAS即可证明两个三角形全等．
【详解】（1）将C（1，6）代入，m＝1×6＝6，则函数解析式为y＝6x，
将D（3，n）代入y＝6x得，n＝63＝2，
故m＝6，n＝2．
（2）设AB的解析式为y＝kx＋b，
将C（1，6）、D（3，2）分别代入解析式得，
k+b=63k+b=2，解得k=−2b=8，
则函数解析式为y＝−2x＋8；
（3）证明：∵y＝−2x＋8
令x=0，y=8，y=−2x＋8=0，解得x=4
∴A（0，8），B （4，0）
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴∠AEC＝∠DFB＝90°
∵AE＝DF＝8−6＝2，CE＝BF＝4−3＝1，
则△AEC≌△DFB．
【点睛】能够根据点的坐标运用待定系数法求得直线的解析式，能够根据解析式求得点的坐标．注意：平行于x轴的线段的长等于两个点的横坐标的差的绝对值，平行于y轴的线段的长度等于两个点的纵坐标的差的绝对值．
12．(2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为(8，6)，双曲线y=kx的图像经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，
①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
②点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标．
【答案】(1)10
(2)y=−48x
(3)①Q(10，－245)；②当点E坐标为(83,−18)或（8，－6）或(-85,30)时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形
【分析】（1）连接AC交y轴于点J，根据菱形的性质得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，根据点C的坐标得AJ=JC=8，OJ=BJ=6，根据勾股定理即可得；
（2）先求出点A的坐标，然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（3）①过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，先求出AT=18，然后证明△APT≌△QAR得到AT=RQ=18，即可得点Q的横坐标；②分别以AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC交y轴于点J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（8，6），
∴AJ=JC=8，OJ=BJ=6，
∴OC=OJ2+JC2=10，
即菱形OABC的边长为10，
故答案为：10．
（2）解：∵AJ=JC，OJ=BJ，
∴点A的坐标为（－8，6），
∵反比例函数y=kx经过点A（－8，6），
∴k−8=6，
k=−48，
∴反比例函数解析式为y=−48x．
（3）解：①如图所示，过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，
∵OJ=BJ=6，
∴OB=12，
∴点B的坐标为（0，12），
∴点D的坐标为（0，－12），
∴直线l为y=−12，
∵点A的坐标为（－8，6），直线l为y=−12，
∴AT=18，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
在△APT和△QAR中，
∠ATP=∠QRA∠APT=∠QARAP=QA
∴△APT≌△QAR（AAS），
∴AT=RQ=18，
∴点Q的横坐标为10，
∵点Q在反比例函数y=−48x上，
∴yQ=−4810=−245，
∴点Q的坐标为(10,−245)．
②设点E的坐标为(m,−48m)，点P的坐标为（a，－12），
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴12+62=−12−48m2，
解得，m=−85，
∴点E的坐标为(-85,30)，
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE′P′时，
∵AE′与BP′的中点坐标相同时，
∴6-48m2=12−122，
解得，m=8，
∴E′的坐标为（8，－6），
同理可求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE′′P′′时，点E′′的坐标为(83,−18)，
综上，当点E坐标为(83,−18)或（8，－6）或(-85,30)时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握这些知识点．
13．(2023春·江苏扬州·八年级统考期中）已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）y=6x，y=23x；（2）0【分析】（1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；
（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x的取值范围；
（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．
【详解】解：（1）∵将A(3,2)分别代入y=kx，y=ax中，
得2=k3，3a=2，∴k=6，a=23，
∴反比例函数的表达式为：y=6x，
正比例函数的表达式为y=23x．
（2）∵A(3,2)
观察图象，得在第一象限内，
当0（3）BM=DM
理由：∵MN//x轴，AC//y轴，∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，∴▱OCDB是矩形．
∵M和A都在双曲线y=6x上，
∴BM×OB=6，OC×AC=6，
∴S△OMB=S△OAC=12×|k|=3，又∵S四边形OADM=6，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，
即OC⋅OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4
∴m=6n=32，∴MB=32，MD=3−32=32，
∴MB=MD．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M的坐标表示出四边形OADM的面积是解题的关键．
14．(2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，把一块等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且A、B两点的坐标分别为−4,0,0,2．
(1)求点C的坐标；
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y＝kx的图象上，求m、k的值和直线EF的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线EF交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形？若存在，求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C−6,4
(2)m=12，k=24，y=−13x+6
(3)存在； M185,0， P125,10
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，证明△CHA≌△AOB，即可得解；
（2）用含m的代数式，表示出E,F的坐标，根据E、F都在反比例函数y＝kx的图象上，列式计算，得出m的值，即可得解；
（3）设M点坐标为x,0，根据平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，得到P点坐标为6−x,10，根据P点在双曲线上，列式求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交x轴于点H，
则：∠CHA=∠AOB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,∠BAC=90°，
∴∠ACH+∠CAH=∠BAO+∠CAH=90°，
∴∠ACH=∠BAO，
∴△CHA≌△AOBAAS，
∴CH=OA,AH=OB，
∵A−4,0,B0,2，
∴CH=OA=4,AH=OB=2，
∴OC=OA+AH=4+2=6，
∴C−6,4；
（2）解：将△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，B、C两点的对应点为E、F，
∵C−6,4,B0,2，
∴F−6+m,4,Em,2，
∵E、F都在反比例函数y＝kx的图象上，
∴4×−6+m=2m，解得：m=12，
∴E12,2,F6,4，
∴k=12×2=24；
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则：2=12a+b4=6a+b，解得：a=−13b=6，
∴直线EF的解析式为：y=−13x+6；
（3）存在：如图，
∵当x=0时，y=−13x+6=6 ，
∴G点坐标为0,6，
∵四边形PGMF为平行四边形，
∴Q点为FG为中点，
∴Q点坐标为3,5，
设M点坐标为x,0，
∵Q点为MP为中点，
∴P点坐标为6−x,10，
∵6−x,10在反比例函数y=24x图象上，
∴6−x×10=24，解得x=185，
∴M点坐标为185,0，P点坐标为125,10；
∴当M点坐标为185,0，P点坐标为125,10时，四边形PGMF为平行四边形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数的综合应用，以及平行四边形的性质．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
15．(2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=kx(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．
(1)求k的值；
(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．
【答案】(1)k=12
(2)y=43x
【分析】（1）过C作CE⊥OB于E，依据OC=BC，ΔBOC的面积为12，可求出点C坐标于反比例函数的关系，即可求出答案；
（2）设C(a,12a)，则点B(2a,0)，D(2a,6a)，依据ΔBAC的面积为12，可得12(6+6a)·a=12，即可得出C(3，4)，进而得到直线OA的函数表达式．
（1）
解：根据题意，如图，过C作CE⊥OB于E，
∵OC=BC，ΔBOC的面积为12，
∴OE=BE，SΔOCE=6，即12|OE·CE|=6，
又∵反比例函数y=kx(x>0)与OA交于点C，
∴k=xy，即|OE·CE|=|k|，
∴12|k|=6，且k>0，
∴k=12，
故答案是：12
（2）
解：∵OC=BC，
∴∆OBC是等腰三角形，∠COB=∠CBO，
∵RtΔABO中，∠ABO=90°=∠CBO+∠CBA=∠A+∠AOB，
∴∠A=∠CBA，
∴等腰三角形ABC，即AC=BC,
∴OC=BC=AC,
∴点C是OA的中点，ΔABC的面积=ΔBOC的面积=12，
根据（1）中结论得，根据点C在反比例函数y=12x的图像上， 设点C(a,12a)，则点B(2a,0)，AD=6，
∴点D(2a,6a)，则有12(6+6a)·a=12，
∴a=3，即C(3,4)，
设OA的表达式为y=k′x，则4=3k′，
∴k′=43，则直线OA所在直线的函数表达式是y=43x，
故答案是：y=43x．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图像上点的坐标特征．
16．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
【答案】(1)E（6，43）
(2)12
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A（2，4），得到k=2×4=8，求得点E的坐标为(6，43)；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， 2a3)，根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB=BC=4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝kx的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴xE=6，
将xE=6代入y＝8x中，得：yE＝43，
∴点E的坐标为(6，43)．
（2）解：设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， 2a3)，
根据反比例函数的几何意义得SΔOAB=SΔOCE=12k，
∴S梯形ABCE=SΔAOE=16，
∴12×(2a+2a3)×2a=16
得a2=6，
∴k=2a2=12．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵a−b2≥0， ∴a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
【数学认识】在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a=b时，a+b有最小值2k
(1)【解决问题】若x>0时，x+1x有最小值为___________，此时x＝___________
(2)如图，已知点A在反比例函数y=9x k>0的图像上，点B在反比例函数y=−3xx>0的图像上，AB∥y轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．
【答案】(1)2；1
(2)83
【分析】（1）由a+b≥2ab，可得x+1x≥2，再求出方程x+1x=2的解；
（2）设点Aa,9a，则Ba,−3a，表示周长利用a+b≥2ab求解；
（1）
解：由题意得：x+1x≥2x·1x，
即x+1x≥2，
当x=1x时，等号成立，
所以最小值为2，
解x+1x=2，
x2−2x+1=0，
x−12=0，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解
故答案为：2；1．
（2）
解：设Aa,9a，则Ba,−3a，
∴四边形ABCD周长=2a+29a+3a=2a+12a，
2a+12a≥4a·12a=83，
∴四边形ABCD周长的最小值为83．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在a+b≥2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值k，则a+b≥2ab，只有当a=b时，a+b有最小值2k是关键．
18．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知点A在正比例函数y=−2x图像上，过点A作AB⊥x轴于点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数y=kx图像上．
(1)若点A的横坐标为－2，求k的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)k=−24
(2)−32m
【分析】（1）先求出A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可求k的值；
（2）由正方形ABCD的面积为m，求出边长为m，再表示出D和A的纵坐标为m，进而求出D的坐标，代入反比例函数y=kx即可．
（1）
解：∵当x=−2时，y=4，
∴A的坐标为(−2.4)，
∴AD=AB=BC=DC=4，OB=2，
∴D的坐标为(−6.4)，
∵点D在反比例函数y=kx图象上，
∴ k−6=4，
∴k=−24；
（2）
解：∵正方形ABCD的面积为m，
∴AD=AB=BC=DC=m，
∴D和A的纵坐标为m，
∴A的坐标为(−m2，m)，
∴OC=OB+BC=3m2，
∴D的坐标为(−3m2，m)，
代入y=kx得
k=xy=−32m．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握利用正方形的边长相等来表示出各个点坐标．
19．(2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，A2,3，B−6,−1是反比例函数y=6xk≠0图象上的两点，连接AB，线段AB分别与坐标轴交于点C、点D．
(1)求证：AC=BD；
(2)请仅用无刻度的直尺在图2中画出一条与AB相等的线段EF（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得点C，D的坐标，即可得AM＝DN＝2，CM＝BN＝1，则Rt△ACM≌Rt△DBN，从而可得AC＝BD．
（2）作直线AO交双曲线于点E，作直线OB交双曲线于点F，连接EF，则线段EF即为所求．
（1）
证明：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC＝∠DNB＝90°，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入，
得2k+b=3−6k+b=−1，
解得k=12b=2，
∴直线AB的解析式为y=12x+2，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，0=12x+2，解得x＝﹣4，
∴点C坐标为（0，2），点D坐标为（﹣4，0），
∴OC＝2，OD＝4，
∵点A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴AM＝2，DN＝ON－OD＝6－4＝2，CM＝OM－OC＝3－2＝1，BN＝1，,
∴AM＝DN，CM＝BN，
∴Rt△ACM≌Rt△DBN（SAS），
∴AC＝BD．
（2）
解：如图2，EF即为所求．
理由如下：连接BE、AF，
∵反比例函数的图象双曲线关于原点成中心对称，
∴由作图过程可知，OB＝OF，OE＝OA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF＝AB．
∴EF即为所求．
【点睛】本题考查作图、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、中心对称的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
20．(2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图1，反比例函数y=mxx>0的图象过点M4,3．
(1)求反比例函数y=mx的表达式，判断点2,8在不在该函数图象上，并说明理由；
(2)反比例函数y=mx1≤x≤6的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；
(3)如图2，直线l:y=−x+8与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数y=mx图象上一个动点，过点P分别作PC∥x轴交直线l于点C，作PD∥y轴交直线l于点D，请判断AC⋅BD的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．
【答案】(1)不在，理由见解析
(2)20
(3)不变化，24
【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；
对于（2），设点E的横坐标和点F的横坐标，再分别表示出点E，F，G，H的坐标，进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；
对于（3），设点P的横坐标为t，分别表示点C，点D的坐标，再根据两点之间的距离公式得出AC和BD的长，进而得出答案．
【详解】（1）将点M4,3代入y=mx，
得3=m4，m=12，
∴y=12x；
当x=2时，y=6，
∵6≠8，
∴点2,8不在函数图象上；
（2）设点E的横坐标是1，点F的横坐标是6，点G，H分别对应点E，F，如图所示.图形扫过的面积即为平行四边形EFHG的面积．
令y=12x中，x=1，则y=12，
所以E(1，12)，G（−1,12）．
令y=12x中，x=6，则y=2，
所以F(6，2)，H(4,2)．
因为EG∥FH，且EM=FH，
所以四边形EGHF为平行四边形，
所以S=EG⋅(yE−yF)=2×(12−2)=20．
故答案为：20；
（3）不变化，理由如下：
因为直线l：y=−x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，
所以点A（8，0），B（0，8）．
设点P的横坐标是t，
所以P(t,12t)．
因为PC∥x轴交直线l于点C，PD∥y轴交直线l于点D，
所以C(−12t+8,12t)，D(t,−t+8)，
所以AC=122t，BD=2t，
即AC⋅BD=122t⋅2t=24，
所以AC⋅BD为定值，为24.．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．
21．(2023春·江苏连云港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数y1=kx(k>0,x>0)的图象上，点C在一次函数y2=12x−3的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
(1)m＝ ；k＝ ；
(2)结合图象直接写出不等式12x−3(3)求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数y1=kx的图象上；
(4)若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
【答案】(1)8；8
(2)0＜x＜8
(3)点B在反比例函数y＝8x上
(4)0≤m≤35
【分析】（1）将D（m，1）代入得函数表达式即可求得；
（2）根据（1）的结果和函数图象求出解集；
（3）根据△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，列出等量关系式求出C点坐标，再求出表达式；
（4）根据图象平移规律求出m的取值范围．
（1）
∵y1＝kx ，y2 =12x−3，
将D（m，1）代入得：k=m12m−3=1，
∴m＝8，k＝8，
故答案为：8；8．
（2）
∵y1＝kx，y2 =12x−3，
根据图象y1＞y2的部分为0＜x＜8，
∴不等式12x−3（3）
对于y2 =12x−3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴OE＝3，
∵△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，
∵C在y2上，设点C的横坐标为x，
∴9＝12×8×3−12×3x，
∴x＝2，
∴y＝﹣2，
∴C（2，﹣2），
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∴A（2，4），
由平移知，B（4，2），
当x＝4时，y＝84=2，
∴点B在反比例函数y＝8x上．
（4）
当平行四边形OABC在平移过程中，平移时的四个顶点O'，A'，B'，C'，
当C'在CD上移动时，B'C'始终与y1有交点，
当C与D重合时，B'C'与y1刚好有最后一个交点，若继续平移，则B'，C'与y1没有交点，
∴mmax=CD=(8−2)2+1−(−2)2=35，
∴0≤m≤35．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式的关系，三角形的面积，平移的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
22．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，函数y1=kx（k＞0，x＜0）和y2=−kx（k＞0，x＜0），当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，点A（a，b）在函数y1的图像上．
(1)求y1的函数表达式；
(2)当a＝－4时，作AE⊥x轴，垂足为E，将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q，求点Q的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在函数y2的图像上的点C（m，n）处，求b和n的数量关系．
【答案】(1)y=4x
(2)（2t+4，0）
(3)b=−n或bn=−4
【分析】（1）直接根据当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得点E与点Q关于点F对称，据此求解即可；
（3）由旋转的性质可知OA=OC，则a2+b2=m2+n2，再由b=4a，n=−4m，推出16b2+b2=16n2+n2，据此求解即可．
（1）
解：由题意得：p=k−1p+8=−k−1，
解得k=4p=−4，
∴y1的函数表达式为y=4x；
（2）
解：由题意得点E的坐标为（-4，0），
∵将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q，
∴点E与点Q关于点F对称，
∴点Q的坐标为（2t+4，0）；
（3）
解：由旋转的性质可知OA=OC，
∴a2+b2=m2+n2，
又∵b=4a，n=−4m，
∴16b2+b2=16n2+n2，
∴b2−n2+16n2−16b2b2n2=0，
∴b2−n21−16b2n2=0，
∴b+nb−n1−16b2n2=0，
∵n>0，b<0，
∴b+n=0或1−16b2n2=0，
∴b=−n或bn=−4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形变化—旋转，反比例函数与几何应用等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y=kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得PA+PB最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)连接AB，在线段CD上是否有一点E，使得△ABE的面积为5，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x
(2)P（5，0）
(3)E（4，0）
【分析】（1）将点A，点B坐标代入可求k＝4m＝2n，由CD＝n﹣m＝3，即可求解；
（2）作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出AF的解析式，即可求解；
（3）由面积和差关系列出等式，即可求解．
（1）
∵A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4m＝2n，
即n＝2m，
∵DC＝3，
∴n﹣m＝3，
∴m＝3，n＝6，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）
存在，理由如下：
如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
设直线AF的解析式为y＝k′x+b，
3k'+b=46k'+b=−2，
解得k'=−2b=10，
∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P（5，0）．
（3）
设点E（x，0），
∴DE＝x﹣3，CE＝6﹣x，AD＝4，BC＝2，
∵S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=12×（4+2）×3−12×4（x﹣3）−12（6﹣x）×2＝﹣x+9＝5，
∴x＝4，
∴点E（4，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
24．(2023春·江苏常州·八年级校联考阶段练习）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0，只有当m=______时，m+9m有最小值______．
(2)探索应用：如图，已知A−3,0，B0,−4，P为双曲线y=12x(x>0)图像上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值．
(3)判断此时四边形ABCD的形状，说明理由．
【答案】(1)3，6
(2)24
(3)菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意知，m+9m≥2m⋅9m，此时m=9m．通过解该方程求得m的值；
（2）利用S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC，得出四边形与x之间的关系式，进而利用x+9x≥2x⋅9x=29=6，得出四边形最值即可；
（3）利用（2）中结论，以及勾股定理得出AB=BC=CD=AD，即可得出四边形ABCD是菱形．
【详解】（1）解：根据题意知，m+9m≥2m⋅9m，此时m=9m．
当m=9m时，
解得：m=3或-3（不合题意舍去），
故当m=3时，m+9m有最小值，其最小值是6．
故答案是：3；6；
（2）解：∵P为双曲线y=12x (x＞0)图像上的任意一点，
∴不妨可设p(x，12x)，
则C（x，0），D(0，12x)．
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC．
∴S四边形ABCD=12AC×OD+12AC×OB
=12AC•(OD+OB)
=12 (3+x)•(12x+4)
=18x+2x+12
=2(x+9x)+12．
又∵x＞0，9x＞0，
∴由阅读理解中的结论可知：
x+9x≥2x⋅9x=29=6，
所以当x=9x (x＞0)时，即当x=3时，S四边形ABCD的最小值=2×6+12=24；
（3）解：此时四边形ABCD是菱形，理由如下：
由（2）可知：当x=3时，此时点P的坐标为P（3，4），
∴AB=32+42=5，BC=32+42=5，CD=32+42=＝5，DA=32+42=5，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．
【点睛】此题主要考查了函数最值问题以及菱形的判定和反比例函数的综合应用等知识，利用阅读材料得出x+9x≥6是解题关键．
25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期末）综合与探究
如图，已知，A0,4，B−3,0，C2,0，D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=kx的图象经过D点．
(1)证明四边形ABCD为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)已知在y=kx的图象（x>0）上有一点N，y轴正半轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)y=20x
(3)(0,83)
【分析】（1）由A（0,4），B（-3,0），C（2,0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；
（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．
【详解】（1）证明：∵A0,4，B−3,0，C2,0，
∴OA=4，OB=3，OC=2，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5，BC=BO+OC=2+3=5，
∴AB=BC，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=kx的图象经过D点，
∴4=k5，
∴k=20，
∴反比例函数的解析式为：y=20x；
（3）∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN是BM经过平移得到的，
∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，
∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，
∵M点在y轴正半轴，
∴M点的横坐标为0，
∴即根据平移可知N点的横坐标为3，
代入y=20x，
得y=203，即N点坐标为(3,203)，
∴根据平移的路径可知M点的纵坐标为：203−4=83，
∴M点的坐标为(0,83)．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．
26．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）背景：点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系，请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值；
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x<0时“Z函数”的图象；
③若z=−x与Z函数相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是________．
【答案】(1)4
(2)①z=x−4x；②见解析；③4
【分析】（1）根据正方形的性质求得点A的坐标，进而待定系数法求解析式；
（2）①由题意知，A（x，x-z），则x（x-z）=4，变形即可得出z关于x的函数解析式；
②根据描点法，画出图象即可；
③解方程x−4x=−x，求得x的值，进而求得A,B的坐标，即可求得AB的长．
【详解】（1）当AC=4，CD=3时，AD=1，
∵四边形ABED是正方形，
∴AD=AB=1，
∴A（4，1），
∵点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=4×1=4；
（2）①由题意知，A（x，x-z），
∴x（x-z）=4，
∴ z=x−4x；
②当x<0时，列表如下，
图象如图所示，
③依题意，x−4x=−x
解得x1=2,x2=−2
则A2,−2,B−2,2
∴AB=222+222=4
故答案为：4
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“Z函数”的表达式．
27．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=k′xx<0的图像相交于点A、点B，与x 轴交于点C，其中点A的坐标为−2,4，点B的横坐标为−4．
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标．
(3)点M是x轴上的一个动点，
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为3，求点M的坐标．
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)y=−8x
(2)−6,0
(3)①−3,0；②0,2或−6,6
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数y=k′x中，可得k′的值，写出反比例函数的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令y=0，可得点C的坐标；
（3）(3)①设Mx,0，根据面积差列式：S△COD−S△CBM−S△AOM−S△AOD=3，可得x的值，从而确定点M的坐标；
②以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，分AB为边和对角线两种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点N的坐标.
【详解】（1）解：∵点A的坐标为−2,4，且在反比例函数y=k′xx<0的图像上，
∴k′=−2×4=−8，
∴反比例函数的关系式为：y=−8x.
（2）当x=−4时，y=−8−4=2，
∴B−4,2，
∵点A、点B在直线y=kx+b上，
∴−2k+b=4−4k+b=2，
解得：k=1b=6，
∴直线AB的关系式为：y=x+6，
当y=0时，x+6=0，
解得：x=−6，
∴C−6,0.
（3）①如图1，设Mx,0，
∴CM=x+6，OM=−x，
∵直线AB的关系式为：y=x+6，
∴当x=0时，y=0+6=6，
∴D0,6，OD=6，
又∵C−6,0，
∴OC=6，
∵△AMB的面积为3，
∴S△COD−S△CBM−S△AOM−S△AOD=3，
即：12×6×6−12×x+6×2−12×4×−x−12×6×2=3，
解得：x=−3，
∴M−3,0.
②如图2，过点A作AE∥x轴，过点B作BE∥y轴，过点B作BF∥x轴，
∴∠AEB=90°，∠BFM=∠BFC=90°，
∵A−2,4，B−4,2，
∴AE=BE=2，BF=2，
∴AB=AE2+BE2=22+22=22，
分两种情况：
第一种情况：以AB为边时，
当点M在点F的右侧：
则有：BM=MN=AB=22，
∵FM=BM2−BF2=222−22=2
∴OM=FO−FM=4−2=2，
∴M−2,0，
∴点B−4,2平移到点M−2,0的规律：向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∵四边形ABMN是菱形，
∴BM∥AN且BM=AN，
∴点A−2,4平移到点N的规律和点B−4,2平移到点M−2,0的规律相同，即：向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴N0,2；
当点M在点F的左侧：
则有：BM=22，
∵B−4,2，C−6,0，
∴BC=CF2+BF2=22+22=22，
∴BC=BM=22，
∴点C与点M重合，点A，B，M共线，
此时以A、B、M、N四点为顶点的菱形不存在；
第二种情况：如图3，以AB为对角线时，连接CN、HN、MN，MN交AB于点G，
∵四边形BMAN是菱形，点M在x轴上
∴MG⊥AB，MG=NG，AG=BG=12AB，
由（2）知：直线AB的关系式为：y=x+6，C−6,0，H0,6，
∴OH=OC=6，
∵∠COH=90°，
∴△OHC是等腰直角三角形，∠HCO=45°，
CH=OC2+OH2=62+62=62，
又∵BC=22，AB=22，
∴AH=CH−BC−AB=62−22−22=22，
∴BC=AH=22，
∴CG=HG=32，
∵MG⊥AB，
∴∠CMG=90°−∠GCO=45°，
∴∠CMG=∠GCO，
∴MG=CG=32，
∴CM=MG2+CG2=322+322=6，
∴CM=CO，
即点M与点O重合，
∴OG=CG=GH=12CH=32，
∴ON=2OG=62，
∴OG=CG=HG=NG，ON=CH，
∴四边形COHN是菱形，
又∵∠COH=90°，
∴四边形COHN是正方形，
∴CN=HN=OH=OC=6，
∴N−6,6.
综上所述，点N的坐标为：0,2或−6,6.
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了三角形面积公式，待定系数法求函数的解析式，正方形的判定和性质，勾股定理，点平移的规律等知识.运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键.
28．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）解题方法回顾：
在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”．
解题方法应用：
(1)已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值．
小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2）
解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13，
∴S△AOD=14S矩形ABCD=15，OA=OD=12AC=132，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12OAPE+PF
=12×132×PE+PF=15，
∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案）
(2)如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′．
①设AP＝x，BB′+CC′+DD′=y，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围；
②直接写出y的最大值为______，最小值为______．
【答案】(1)6013
(2)①y＝8x，其中2≤x≤22；②4，22．
【分析】（1）根据解题过程即可求出答案；
（2）①连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC＝12×AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP，推出BB′+CC′+DD′＝8AP，即可得解；②根据已知得出2≤AP≤22，代入①即可得解．
（1）
解：由（1）的解题过程可知：S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12OAPE+PF
=12×132×PE+PF=15，
∴12×132×PE+PF=15，
∴PE+PF=6013，
故答案为：6013
（2）
解：如图，连接AC、DP，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD＝2×2＝4，
由勾股定理得：AC＝AB2+BC2=22+22=22，
∵AB＝2，
∴2≤AP≤22，
∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，
∴S△DPC＝S△APC＝12×AP×CC′，
∵4＝S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP＝12×AP×（BB′+CC′+DD′），
∴BB′+CC′+DD′＝8AP，
∴y＝8x，其中2≤x≤22；
②由①知，y＝8x，
∴ 当2≤x≤22时，y随着x的增大而减小，
∵当x＝2时，y＝4，
当x＝22时，y＝22，
∴22≤y≤4，
即y的最大值为4，最小值为22，
故答案为：4，22．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质、勾股定理、三角形的面积、函数关系式等知识，根据题意得出S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP是解题的关键．
29．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为8,4．过点D0,6和E12,0的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y=mxx>0的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y=mxx>0的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=−12x+6；M（4，4）
(2)y=16x；点N在函数y=16x的图象上
(3)16≤m≤32
【分析】（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=16，最外的双曲线的m=32，所以可得其取值范围．
（1）
解：设直线DE的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∵点D，E的坐标为（0，6）、（12，0），
∴b=612k+b=0，
解得b=6k=−12，
∴直线DE的解析式为y=−12x+6．
∵点M在AB边上，B（8，4），且四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为4，
又∵点M在直线y=−12x+6上，
∴4=−12x+6；
∴x＝4；
∴M（4，4）；
（2）
解：∵y=mxx>0经过点M（4，4），
∴m＝16．
∴y=16x．
又∵点N在BC边上，B（8，4），
∴点N的横坐标为8．
∵点N在直线y=−12x+6上，
∴y＝2；
∴N（8，2）；
∵当x＝8时，y=16x=2，
∴点N在函数y=16x的图象上．
（3）
解：当反比例函数y=mx（x＞0）的图象通过点M（4，4），N（8，2）时m的值最小，当反比例函数y=mx（x＞0）的图象通过点B（8，4）时m的值最大，
∴4=m4，则m的最小值为16，
4=m8，则m的最大值为32，
∴16≤m≤32．
【点睛】此题综合考查了反比例函数与一次函数的结合，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．
30．(2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝kx的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝56S△ODE．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【答案】(1)（8，3），（4，6）
(2)①P的坐标为（5，245）；②Q1（5，-33），Q2（5，33），Q3（5，6+33），Q4（11，3）
【分析】（1）先求得C（8，6），再根据中点坐标公式可得点D的坐标为（8，3），根据待定系数法可求双曲线y=kx的解析式，把y=6代入双曲线y=kx的解析式，即可求得点E的坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则S△PBO=12BO•m=3m，根据S△ODE=S梯形EOAC-S△CDE-S△ODA，求出S△ODE，再根据S△PBO=56S△ODE，得到关于m的方程，解方程求出m，进一步求出点P的坐标；
②根据两点间的距离公式和菱形的性质即可求解．
【详解】（1）∵在平面直角坐标系中，A(8，0)、B(0，6)是矩形OACB的两个顶点，
∴C(8，6)，
∵D是AC的中点，
∴点D的坐标为：(8，3)，
依题意有：3=k8，
解得：k=24．
故双曲线：y=24x，
当y=6时，6=24x，
解得x=4．
故点E的坐标为(4，6)；
（2）①设点P的横坐标为m，则S△PBO=12BO⋅m=3m，
∵S△ODE=S梯形EOAC−S△CDE−S△ODA=12×4+8×6−12×3×4−12×8×3=18，
因为S△PBO=56S△ODE，
∴S△PBO=15，所以3m=15，
∴m=5.
又∵点P在双曲线y=kx上，
∴P5,245，
②设P点坐标为(5，p)时，P点在第一象限，则p＞0，
当点P在点Q的上方时，
∵PC=AC，
∴(5-8)2+(p-6)2=62，
解得p=6±33，
6±33-6=±33，
则Q1(5，33)，Q2(5，-33)；
当点P在点Q的下方时，
∵PA=AC，
∴(5-8)2+(p-0)2=62，
解得p=±33（负值舍去）
∴Q3(5，6+33)；
当P点坐标为(5，3)时，由对称性知Q4(11，3)．
综上所述，Q1（5，-33），Q2（5，33），Q3（5，6+33），Q4（11，3）
【点睛】此题是反比例函数综合题，涉及待定系数法，三角形面积计算，两点间的距离公式，矩形的性质和菱形的性质，一元二次方程的解法等知识点，有一定的难度．x
……
-4
-3
-2
−32
-1
……
z
……
-3
−53
0
76
3