人教版七年级数学下册同步精品讲义第16讲专题9.1-2不等式与一元一次不等式(八大核心考点，111题)(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第16讲专题9.1-2不等式与一元一次不等式(八大核心考点，111题)(学生版+解析)，共90页。试卷主要包含了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的应用等内容，欢迎下载使用。

1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ；
如果，那么； 如果，那么 。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
考点精讲
考点1：不等式的定义和意义
典例：10．(2023秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
方法或规律点拨
本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·全国·七年级专题练习）x是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）用不等式表示“与3的和不小于1”为___________．
6．（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
7．（2023春·八年级课时练习）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）用不等式表示：
（1）与的差为非负数：_____________；
（2）a与b的的和不超过2：__________________．
9．（2023春·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于．
(2)x减去y不大于．
(3)a的倍与的和是非负数．
(4)a的与b的平方的和为正数．
考点2：不等式性质
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知“”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）若，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
15．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C．D．
考点3：不等式的解集
典例：（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1B．0C．D．
2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列数是不等式的一个解的是（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2023春·七年级单元测试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
6．（2023·甘肃兰州·统考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·安徽·七年级期中）一元一次不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·福建三明·八年级统考期中）不等式的解集是______．
10．（2023·上海·模拟预测）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-2，-2}＝-2，max{-1，2}＝2，max{3，2}＝3．参照上面的材料，如果max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，那么x的取值范围是 _____．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2023春·山西晋中·八年级统考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是________；
②第二步变形所依据的运算律是________；
③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·广东广州·统考一模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用不等式的性质解不等式：，并在数轴上表示解集．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式：，并写出它的正整数解．
4．（2023春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考阶段练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）解不等式：
6．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式的负整数解．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中是两个关于的二项式．
(1)直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
(2)若，求的最小整数值．
8．（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
9．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
考点5：一元一次不等式的实际应用问题
典例：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）某服装厂加工A、两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元，种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组解答．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗B．43颗C．57颗D．58颗
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某种商品的进价为300元，要保证利润率不低于10%，则售价至少是（ ）
A．330元B．320元C．310元D．300元
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
5．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
7．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
8．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．
9．（江西省新余市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷）春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张）
(1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？
(2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？
10．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
11．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）某社会团体准备购进、两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件种防护服和4件种防护服需要6000元，购进10件种防护服和3件种防护服需要8000元．
(1)求种防护服和种防护服每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买40件种防护服和件种防护服．请问如何购买选择方案二更合算
12．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
13．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
(2)由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
15．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200干克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
16．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境．已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元．若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？
17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）某班级为优秀小组购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．到文教店查看定价后发现，若购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元；若购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠．如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过680元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
18．（2023·河南安阳·统考一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
考点6：用一元一次不等式解决几何问题
典例：(2023春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，平面甶角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足．
(1)直接写出点A的坐标________．
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，设点M的坐标为，请直接用含m的式子表示点N的坐标．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·安徽·模拟预测）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
(1)求点C的坐标．
(2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
3．(2023秋·八年级课时练习）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·八年级课时练习）已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______
(2)当t为何值时，AE=CF；
(3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
8．(2023春·山东德州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是x轴、y轴上的点，若3是的立方根，也是的算术平方根，且，，将点B向左平移18个单位长度得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段BC、OA上的两个动点，点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（）．
①当时时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
9．(2023春·江苏泰州·七年级统考期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形．格点多边形的面积记为S，边上的格点数记为L，内部的格点数记为N．如图一，多边形ABCDE边上的格点数，内部的格点数．奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N三者有确定的数量关系．
【实验探索】
（1）如图二，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（2）如图三，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（3）如图四，探索时，格点多边形中S与L的关系：________________．（可尝试再画一些图）
【猜想结论】
格点多边形面积S与内部格点数N、边上格点数L三者的数量关系：______________．
【学以致用】
（1）请算出图一中格点多边形的面积是______________；
（2）一个格点多边形的面积为15，且边上的格点数是内部格点数的2倍，则内部格点数是多少？
（3）一个格点六边形，面积为8，则这个六边形内部格点数最多几个？
考点7：含有字母系数的一元一次不等式
典例：（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ______ ．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·统考一模）如果关于x的不等式的解集为，则a的值可以是（ ）
A．1B．0C．D．
2．(2023春·四川绵阳·七年级校联考期中）若不等式的解集能使关于x的一次不等式成立，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽·校联考一模）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________．
5．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）关于的不等式（其中为正整数）正整数解为，，，则的值是_________．
6．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
84．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）不等式的解为，则的取值范围是______．
考点8：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）关于的方程解为正数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于、的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023春·海南海口·七年级校考期中）已知二元一次方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
4．（2023·山东济宁·统考一模）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
5．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
6．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的最大整数值为______．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围．
8．(2023春·四川绵阳·七年级校联考期中）关于x，y的方程组．
(1)解方程组（含m的式子表示解）；
(2)方程组的解满足，求m的范围．
9．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，，当时，，，如：，，，．根据上面的材料，回答下列问题：
（1） ________；
（2）当时，x的取值范围是________．
10．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若，且，求x的取值范围．
11．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下，例如，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求m的取值范围．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3B．3是不等式的解
C．不等式的解集是D．是不等式的解集
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
8．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，该数轴表示的不等式的解集为___________．
10．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是__________．
11．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）关于x的一元一次不等式的解集为，则m的值是_____．
12．(2023·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为．
（1）的变换点坐标是_____________．
（2）若的变换点坐标是，则m的最大值是_____________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）解不等式：并把它的解集在数轴上表示出来．
14．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）某服装店销售一批进价分别为200元，170元的，两款T恤衫，下表是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
(1)求，两款T恤衫的销售单价；
(2)若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，则款T恤衫最多能购进多少件？
(3)在（2）的条件下，销售完这30件T恤衫能否实现利润不少于1290元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；
（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．
解：去分母，得，………………………………第一步去括号，得……………………………………………第二步
移项、合并同类项，得，…………………………………………第三步
两边都除以3，得．………………………………………………第四步
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A
A成人全价购票，儿童可免费
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B成人8折购票，小孩半价购票
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
…
-1
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
…
销售时段
销售数量
销售收入
第1天
3件
5件
1800元
第2天
6件
8件
3180元
专题9.1-2不等式与一元一次不等式
目标导航
1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ；
如果，那么； 如果，那么 。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
考点精讲
考点1：不等式的定义和意义
典例：10．(2023秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（3）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（4）根据不等量关系，直接列出不等式即可．
【详解】（1）解 ：；
（2）解 ：；
（3）解 ：；
（4）解：．
方法或规律点拨
本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
【答案】C
【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答．
【详解】解：a不是负数，可表示成，故A错误；
x不大于3，可表示成，故B错误；
与4的差是负数，可表示成，故C正确；
x与2的和是非负数，可表示成，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“”，“”的运用是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）x是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的意义解答即可．
【详解】解：∵x是不大于2021的正数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的定义．能够理解正数、不大于的意义是解此题的关键．
4．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【答案】A
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号．
5．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）用不等式表示“与3的和不小于1”为___________．
【答案】
【分析】先用代数式表示“与3的和”，再用不等号连接起来即可．
【详解】解：根据题意可列不等式：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）” 、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
6．（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
【答案】
【分析】a的一半为，与3的和为，小于即，据此列不等式．
【详解】解：由题意得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出不等式．
7．（2023春·八年级课时练习）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
【答案】
【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解．
【详解】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用字母表示数或数量关系，理解题意，掌握用字母表示数或数量关系的书写规则是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）用不等式表示：
（1）与的差为非负数：_____________；
（2）a与b的的和不超过2：__________________．
【答案】
【分析】根据列代数式的规则，即可求解．
【详解】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：；
（2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2：
故答案为：，
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式．
9．（2023春·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于．
(2)x减去y不大于．
(3)a的倍与的和是非负数．
(4)a的与b的平方的和为正数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意列出不等式即可；
（2）根据题意列出不等式即可；
（3）根据题意列出不等式即可；
（4）根据题意列出不等式即可．
【详解】（1）解：0大于表示为：；
（2）x减去y不大于表示为：；
（3）a的倍与的和是非负数表示为：；
（4）a的与b的平方的和为正数：．
【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键．
考点2：不等式性质
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）不等式的两边都加上1即可；
（2）不等式两边都减去即可；
（3）不等式两边都乘以2即可；
（4）不等式两边都除以即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
；
（3），
，
；
（4），
，
．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A．在不等式的两边同时乘，得，原变形正确，故选项不符合题意；
B．当时，得；当时，得，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
C．在不等式的两边同时除以，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．在不等式的两边同时减去，得，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质进行解答即可．
【详解】解：A．根据题意可得：，所以，所以，故本题选项A不合题意；
B．因为，所以，所以，故本题选项B不合题意；
C．因为，所以，故本题选项C不合题意；
D．因为，所以，故本题选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项分析可得．
【详解】解：A、由，得，故A不符合题意；
B、由，得，故B不符合题意；
C、由，得，故C不符合题意；
D、由，得，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；2、等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3、等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：①，②，③，
由③得：④，
把④代入②得：，，
，
，
由③得：，
，
，
，
，即．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质对各选项逐一分析即可得到答案．
【详解】A．，
根据不等式的基本性质1，两边同时加上4，不等号的方向不变，可得，故选项A不成立；
B．，
根据不等式的基本性质1，两边同时减去b，不等号的方向不变，可得，故选项B不成立；
C．，
根据不等式的基本性质3，两边同时乘以，不等号的方向改变，可得，
再根据不等式的基本性质1，两边同时加上2，不等号的方向不变，可得，故选项C不成立；
D．，
根据不等式的基本性质3，两边同时乘以，不等号的方向改变，可得，故选项D成立．
故选：D．
【点睛】本题注意考查了不等式的基本性质，能熟记不等式的性质内容并正确运用是解题的关键．
6．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】设■，●，▲的质量分别为，根据题意得到，，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲的质量分别为，
根据题意可得：，，
，
，
，
，
，
●与■的质量比可能为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质及应用，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，得出．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质和实数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、若，则，故A不符合题意；
B、若，则，故B不符合题意；
C、若，则，故C不符合题意；
D、若，则，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，实数的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、由得，但无法得出与的大小关系，则此项不一定成立，不符合题意；
B、由得，则此项不成立，不符合题意；
C、由得，则，此项成立，符合题意；
D、由得，则此项不成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知“”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项成立，不符合题意；
B. ，故该选项成立，不符合题意；
C. ，故该选项不成立，符合题意；
D. ，故该选项成立，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）若，则下列各式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，故该选项正确，
B、∵，∴，故该选项正确，
C、∵，∴，故该选项错误，
D、∵，∴，故该选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记知识点是解题关键．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质解题：不等式两边同时乘或除以同一个正数仍成立，不等式两边同时乘或除同一个不等于零的负数要改变不等号的方向．
【详解】解：A、∵，∴，本选项不符合题意；
B、∵，∴，本选项不符合题意；
C、∵，∴，本选项符合题意；
D、∵，∴，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于简单题，熟悉不等式的性质是解题关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】不等式，两边同时除以，可得，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．
13．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由实数，在数轴上的对应点的位置得到，，再根据有理数的加减运算和不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，故原关系式错误，符合题意；
D、，正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查数轴、有理数的加法、不等式的性质，能根据实数，在数轴上的对应点的位置判断出a、b的大小关系是解答的关键．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
B、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质：性质1、不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不发生改变；性质2、不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不发生改变；性质3、不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向要发生改变．
15．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，，
，原结论一定正确，不符合题意，选项错误；
B、，
，
，原结论一定不正确，不符合题意，选项错误；
C、，
，
，原结论一定正确，不符合题意，选项错误；
D、，但正负无法确定，
，与的大小不能确定，原结论不一定正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质：性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
考点3：不等式的解集
典例：（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解：∵，
解得：
∴不等式的解集在数轴上表示为：
故选：D．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴可知不等式的解集为，可得，据此即可求解．
【详解】解：由数轴知：不等式的解集为，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由数轴判定不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再根据解集在数轴上的表示方法即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式及在数轴上表示解集的方法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列数是不等式的一个解的是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．
【详解】解：，
移项得：，
两边同除以5得：，
，
是不等式的一个解．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，正确解不等式，求出解集是解题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再由不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
【详解】解：，
解得，
∴该不等式的解集在数轴上如下：
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题关键是抓住不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】求出一元一次不等式的解集，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 由，得，故该选项错误；
B. 由 ，得，故该选项错误；
C. 由 ，得，故该选项错误；
D. 由，得，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，注意不等式两边同乘以一个负数不等号方向发生改变，是解题的关键．
6．（2023·甘肃兰州·统考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解不等式，然后根据不等式的解集判断即可求解．
【详解】解：∵
解得：
在数轴上表示，如图所示，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
7．（2023·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解：
移项，得，，
合并，得，，
系数化为1，得，，
将不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8．（2023春·安徽·七年级期中）一元一次不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：
不等式两边同时乘以得，，
移项得，，含有“”符号，用实心点表示，表示在数轴上，如图所示，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
9．（2023春·福建三明·八年级统考期中）不等式的解集是______．
【答案】
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成这些步骤即可求解．
【详解】解：系数化为，得：，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．掌握不等式的基本性质及解不等式的基本步骤是解题的关键．
10．（2023·上海·模拟预测）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-2，-2}＝-2，max{-1，2}＝2，max{3，2}＝3．参照上面的材料，如果max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，那么x的取值范围是 _____．
【答案】x≥﹣1
【分析】结合题意，利用新定义列出不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围．
【详解】解：∵max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，
∴根据题中的新定义得：，
移项合并得：，
解得：x≥-1．
故答案为：x≥-1．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2023春·山西晋中·八年级统考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是________；
②第二步变形所依据的运算律是________；
③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
【答案】任务一：①不等式的性质②乘法分配律③二，括号前是负号，去括号时，第二项没有变号，任务二：
【分析】任务一：①根据不等式的基本性质，进行作答；②根据去括号法则，进行作答；③去括号时，没有变号，从第二步开始出错；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】解：任务一：①去分母的依据是：不等式的基本性质；
故答案为：不等式的基本性质；
②第二步变形所依据的运算律是乘法分配律；
故答案为：乘法分配律；
③第二步去括号开始出错，原因是括号前是负号，去括号时，括号内的每一项都要变号，题目中第二项，没有变号；
故答案为：二，括号前是负号，去括号时，第二项没有变号；
任务二：解：去分母，得：，
去括号，得：
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·广东广州·统考一模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，把解集在数轴上表示出来见解析
【分析】去移项，合并同类项，系数化成1即可，然后在数轴上表示出解集．
【详解】解：
移项合并得：，
系数化为1得：，
不等式的解集在数轴上表示如图，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
2．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用不等式的性质解不等式：，并在数轴上表示解集．
【答案】，数轴见解析
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：，
移项得：，
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式：，并写出它的正整数解．
【答案】不等式的解集为，正整数解有：1、2
【分析】先根据不等式的性质解不等式，然后确定不等式的解集中的正整数值即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∴原不等式的正整数解为：1、2．
综上：不等式的解集为，正整数解有：1、2．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式及根据其解集求解整数解等知识，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
4．（2023春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考阶段练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见详解
(2)，数轴见详解
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
（2）先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此题时要熟知解一元一次不等式的步骤，即：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）解不等式：
【答案】
【分析】先去分母，去括号，移项，然后合并同类项即可求解．
【详解】解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
∴不等式的解为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，注意不等式两边同乘以或除以一个负数时，不等号方向要改变．
6．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式的负整数解．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，可得结论．
【详解】去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴负整数解为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中是两个关于的二项式．
(1)直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
(2)若，求的最小整数值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由整式的加减逆运算即可得出二项式和，再进行计算即可获得答案；
（2）根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴原式；
（2）若，
则有，
解不等式，得 ，
∴的最小整数值为．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算应用以及解一元一次不等式等知识，理解题意，熟练掌握相关运算法则和步骤是解题关键．
8．（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
【答案】，最小整数解是
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
∴该不等式的最小整数解是．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
9．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
【答案】(1)，
(2)的最小整数值为
【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案；
（2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：由题意得到，，
故答案为：，
（2）由题意得，，
∵，
∴，
解得，
∴的最小整数值为．
【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键．
考点5：一元一次不等式的实际应用问题
典例：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）某服装厂加工A、两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元，种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
【答案】(1)种运动服加工40件，种运动服加工60件
(2)种运动服至少卖出3件时开始打八折销售
【分析】（1）先设出成本的价格，然后列出方程组解答；
（2）设每天生产、两种的件数，根据题意列出不等式，进而求出即可．
【详解】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服加工40件，种运动服加工60件；
（2）解：设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服至少卖出3件时开始打八折销售．
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组解答．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据原价乘以0.85减去本价等于利润列不等式即可得到答案．
【详解】解：商品获利为元，
∵至少可获得12%的利润，
∴，即，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，正确理解利润=售价减去进价是解题的关键．
2．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗B．43颗C．57颗D．58颗
【答案】B
【分析】设购买乙种树苗棵，根据用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最小取43，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等量关系．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某种商品的进价为300元，要保证利润率不低于10%，则售价至少是（ ）
A．330元B．320元C．310元D．300元
【答案】A
【分析】设售价为x元，根据利润率不低于10%，列出不等式，解之即可．
【详解】解：设售价为x元，
由题意可得：，
解得：，
∴售价至少是330元，
故选A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润进价利润率，是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
【答案】C
【分析】设该商品打x折销售，利用利润=售价-进价，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可进行解答．
【详解】解：设该商品打x折销售，
，
解得：，
∴最多可打七点五折，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】设足球个，则篮球个，排球个，由用不超过元的资金购买足球、篮球和排球，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设足球个，则篮球个，排球个，
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
最大取．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
【答案】8
【分析】设打折，根据每台利润不少于2元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折，由题意，得：
，
解得：；
∴最多打折出售；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．正确的列出不等式，是解题的关键．
7．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
【答案】
【分析】利用工作总量工作效率工作时间，结合完成全部任务的时间不超过3小时，即可得出关于的一元一次不等式．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．
【答案】
【分析】根据水的体积+五颗相同玻璃球的体积小于杯子的容量，即可列出不等式．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出的一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
9．（江西省新余市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷）春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张）
(1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？
(2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？
【答案】(1)开始售票后分钟售票厅内有人
(2)至少需同时开放个售票窗口
【分析】（1）设分钟售票厅内有人，根据题意可得方程，解方程求解即可；
（2）设同时开放个窗口，由题意得，解方程求解即可．
【详解】（1）解：设开始售票后分钟售票厅内有人，
由题意得，解得，
答：开始售票后分钟售票厅内有人．
（2）解：设同时开放个窗口，
由题意得，解得，
答：至少需同时开放个售票窗口．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用方程解决实际问题的基本思路如下，首先审题找出题中的未知量和已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后再用含的式子表示相关的量，熟练找出之间的相等关系，列方程、求解、作答、即设、列、解、答．是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
【答案】(1)甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人
(2)儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少
【分析】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）由题意可知，两个家庭共有m名儿童，则有成人人，分别列出两个旅行社所需费用，然后比较大小即可获得答案．
【详解】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，
由题意得，
解得，
答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人；
（2）由（1）可知，两个家庭共20人，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有名成人，
∴A旅行社的费用为：元，
B旅行社的费用为：元，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择AB旅行社支付旅游费用较少．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
11．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）某社会团体准备购进、两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件种防护服和4件种防护服需要6000元，购进10件种防护服和3件种防护服需要8000元．
(1)求种防护服和种防护服每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买40件种防护服和件种防护服．请问如何购买选择方案二更合算
【答案】(1)A种防护服每件560元，B种防护服每件800元；
(2)当购买B种防护服68件时，两种方案一样；当购买B种防护服的件数超过20件而少于68件时，选择方案二更合算；当购买B种防护服的件数多于68件时，选择方案一更合算．
【分析】（1）设A种防护服每件a元，B种防护服每件b元，根据题意列二元一次方程组即可求解；
（2）根据题意找出两种方案的关系式，分三种情况进行比较即可．
【详解】（1）解：设A种防护服每件a元，B种防护服每件b元，
根据题意，得，
解得，
答：A种防护服每件560元，B种防护服每件800元；
（2）方案一费用元，
方案二费用元，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，
∴当购买B种防护服68件时，两种方案一样；当购买B种防护服的件数超过20件而少于68件时，选择方案二更合算；当购买B种防护服的件数多于68件时，选择方案一更合算．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用与一元一次不等式的实际应用，解题的关键是弄清楚题意，找出题目中的数量关系列得方程组或不等式．
12．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
【答案】(1)件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
(2)最多购进型号自拍杆件
【分析】（1）件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意列出不等式，解不等式，求最大整数解即可求解．
【详解】（1）解：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意得，
解得：
答：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
（2）解：设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意得，
解得：，
取最大整数解，
答：最多购进型号自拍杆件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
13．(2023春·广东江门·八年级统考阶段练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】(1)生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只
(2)15万只
(3)当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠
【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，根据甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，该公司三月份的利润为8.8万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，根据四月份投入成本不超过20万元，列出不等式，解不等式即可；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元，然后分三种情况分别求出a的取值范围或a的值即可．
【详解】（1）解：设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只．
（2）解：设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩15万只；
（3）解：设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元；
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系或不等关系，列出方程或不等式．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
(2)由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资
(2)8辆
【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车辆，乙货车辆，根据题意列出不等式，解之取最小整数解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨物资，
根据题意，得，
解得，，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）设安排甲货车辆，乙货车辆，根据题意得，
，
解得，，
∴该公司应至少安排甲种货车8辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量．
15．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200干克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
【答案】(1)大樱桃的进价是30元/千克，小樱桃的进价是10元/千克
(2)大樱桃的售价最少应为41.6元
【分析】（1）设小樱桃的进价是x元/千克，利用进货总价=进货单价×进货数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小樱桃的进价，进而求出大樱桃的进价；
（2）设大樱桃的售价为y元/千克，根据第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）设小樱桃的进价是x元/千克，则大樱桃的进价是元/千克，由题意得，
，
解得，
∴，
答：大樱桃的进价是30元/千克，小樱桃的进价是10元/千克；
（2）第一次赚了（元）．
设大樱桃的售价为y元/千克，由题意得，
，
解得，
∴y的最小值为41.6．
答：大樱桃的售价最少应为41.6元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境．已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元．若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？
【答案】棵
【分析】根据题意找出各量之间的数量关系，再利用各量之间的数量关系列出不等式即可解答．
【详解】解：∵甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元，
∴乙种风景树每棵元，丙种风景树每棵元，
设丙种风景树为棵，根据题意可得：
，
解得：，
∴的最大值为棵，
即丙种风景树最多可以购买棵，
答：丙种风景树最多可以购买棵．
【点睛】本题考查了不等式与实际问题，审清题意，找出各量之间的数量关系是解题的关键．
17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）某班级为优秀小组购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．到文教店查看定价后发现，若购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元；若购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠．如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过680元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【答案】(1)钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元
(2)21支
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是元，自动铅笔每支的定价是元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级可以购买支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔，利用总价单价数量，结合总价不超过680元，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设该品牌的钢笔每支的定价是元，自动铅笔每支的定价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元；
（2）设该班级可以购买支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为21．
答：该班级最多可购买21支该品牌的钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（2023·河南安阳·统考一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
【答案】(1)购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元
(2)当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．
【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．．
（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则：
选择方案所需总费用为：（元），
选项方案所需总费用为：（元），
当时，
解得：，
∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：，
∵，
∴．
答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．
考点6：用一元一次不等式解决几何问题
典例：(2023春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，平面甶角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足．
(1)直接写出点A的坐标________．
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，设点M的坐标为，请直接用含m的式子表示点N的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)N（-4，m+3），
【分析】（1）利用非负性建立方程组，求出a，b，即可得出结论；
（2）先求出AC，AB，再分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求解，即可得出结论；
（3）根据点到点的平移方式，同样的方法可得到平移至，则根据点的坐标即可求解．
（1）
解：∵，
∴
（2）
由（1）知，A（4，3），
∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，
∴AC=4，AB=3，
根据题意知，OD=t，OE=2t，
当点E在OB上时，即0＜t＜2，则OE=4-2t，
∵S△AOD＜S△AOE，
∴2t＜3（2-t），
当点E在BO的延长线上时，即t＞2，
则OE=2t-4，
∵S△AOD＜S△AOE，
∴2t＜3（t-2），
∴t＞6，
综上所述，或
（3）
点到点的平移方式为先向左平移4个单位，再向上平移3个单位，
由平移的性质得，点向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到点，
M（0，m）
N（-4，m+3），
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·安徽·模拟预测）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
2．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
(1)求点C的坐标．
(2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)C（﹣16，6）；
(2)和的面积比不会改变，始终等于；
(3)．
【分析】（1）利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值即可解决问题．
（2）分别求出和的面积即可解决问题．
（3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可．
【详解】（1），
且，
，解得，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
．
（2），
∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）由图可知， ，，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
3．(2023秋·八年级课时练习）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，；
根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算；
若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标．
【详解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）点坐标为，点坐标为，
四边形的面积

；
（3）存在．理由如下：
，
，
，
为负整数，
或或，
点的坐标为或或
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
4．（2023春·八年级课时练习）已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
【答案】(1)(-3，0)；(3，3)
(2)三角形ABC的面积为
(3)点P的横坐标必须满足大于2或小于-8，且纵坐标为0
【分析】（1）根据非负数的性质列出a、b的方程组求得a、b的值便可；
（2）根据△ABC的面积等于进行计算便可；
（3）设点P的坐标为（x，0），运用三角形的面积公式列出不等式进行解答便可．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∴点A的坐标为(-3，0)，点B的坐标为(3，3)；
故答案为：(-3，0)；(3，3)
（2）解：∵点A (-3，0)，B (3，3)，C(2，0)，
∴，
∴三角形ABC的面积为；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴可设点P的坐标为（x，0），
当点P在x轴正半轴时，
，
∵三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，
∴，
解得：x＞2；
当点P在x轴负半轴时，
，
∵三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，
∴
解得x＜-8
∴点P的横坐标必须满足大于2或小于-8，且纵坐标为0．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，三角形的面积，非负数的性质，关键是根据非负数的性质及三角形的面积公式解题．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
【答案】(1)80°
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据当t＝5时，求出，即可求出；
（2）先求出，当旋转到时的时间，并且此时，再求出当开始返回时的时间，即可得出射线返回时的时间返回；
（3）先求出第一次重合时的时间，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的几种情况进行求解．
【详解】（1）解：当t＝5时，，
，
故答案为：；
（2）解：，
当旋转到时，（秒），
此时，
开始返回：(秒)，
射线返回时，，
即；
（3）解：，
第一次重合时，(秒)，
① 返回前，，重合前，，（秒），
即
②，重合后，，（秒），
即时，
③返回后到秒停止，时，
（秒），
即当时，
综上所述：或或，．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、不等式的应用、角的和差倍分关系，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______
(2)当t为何值时，AE=CF；
(3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC．
【答案】(1)0＜t＜3；
(2)或时，AE＝CF；
(3)当秒时，S△ABF +S△ACE =S△ABC．
【分析】（1）由∠BAF＜∠BAC可得出BF＜BC，然后根据点F的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出AE和CF的长度，由AE＝CF即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由S△ABF＋S△ACF＝S△ABC结合S△ABF＋S△ACE＝S△ABC可得出S△ACE＝S△ACF（点F在线段BC上），根据平行线的性质可得出△ACF和△ACE的高相等，进而可得出AE＝CF，即2t＝6－，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠BAF＜∠BAC，
∴BF＜BC，
∴
解得：t＜3，
∴当0＜t＜3时，∠BAF＜∠BAC，
故答案为：0＜t＜3；
（2）由题意得：AE＝2t，BF＝，
∴CF＝6－或CF＝，
∵AE＝CF，
∴2t＝6－或，
解得：或，
即或时，AE＝CF；
（3）∵S△ABF＋S△ACF＝S△ABC，S△ABF＋S△ACE＝S△ABC，
∴S△ACE＝S△ACF（点F在线段BC上），
∵AGBC，
∴△ACF和△ACE的高相等，
∴AE＝CF，
即2t＝6－，
解得：，
即当秒时，S△ABF +S△ACE =S△ABC．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，列出方程或不等式．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)a=50-2b，15．
(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b
当时，．解得．
（2）解：∵，，
∴
解这个不等式组得：．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
8．(2023春·山东德州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是x轴、y轴上的点，若3是的立方根，也是的算术平方根，且，，将点B向左平移18个单位长度得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段BC、OA上的两个动点，点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（）．
①当时时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A（－24，0），点B（0，8），点C（－18，8）
(2)①；②存在满足条件的t值，
【分析】（1）先利用立方根，算术平方根求出a，b，即可得出点A，B的坐标，再由平移即可得出C点的坐标．
（2）①先由运动得出，则，由建立方程求出t即可；
②将变化为求解即可．
（1）∵3是的立方根，也是的算术平方根，∴，，解得：，，∵点A、B是x轴、y轴上的点，且，，∴点，点，∵点B向左平移18个单位长度得到点C，∴点．
（2）①根据题意得：，，∵，∴，∴；②假设存在满足时间的t，根据题意，∵，∴，由①得：，，∴，∴，∴，解得：，∵，∴．故存在满足条件的t值，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了立方根，算术平方根，平移的性质，梯形的面积公式，解（1）的根据是求出a，b的值，解（2）的关键是建立方程或不等式．
9．(2023春·江苏泰州·七年级统考期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形．格点多边形的面积记为S，边上的格点数记为L，内部的格点数记为N．如图一，多边形ABCDE边上的格点数，内部的格点数．奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N三者有确定的数量关系．
【实验探索】
（1）如图二，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（2）如图三，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（3）如图四，探索时，格点多边形中S与L的关系：________________．（可尝试再画一些图）
【猜想结论】
格点多边形面积S与内部格点数N、边上格点数L三者的数量关系：______________．
【学以致用】
（1）请算出图一中格点多边形的面积是______________；
（2）一个格点多边形的面积为15，且边上的格点数是内部格点数的2倍，则内部格点数是多少？
（3）一个格点六边形，面积为8，则这个六边形内部格点数最多几个？
【答案】[实验探索]（1）；（2）；（3）;
[猜想结论];
[学以致用]（1），（2）8；（3）6
【分析】[实验探索]（1）根据格点计算图形的面积，求得中S与L的关系即可求解；
（2）根据格点计算图形的面积，求得中S与L的关系即可求解；
（3）根据格点计算图形的面积，求得中S与L的关系即可求解；
[猜想结论]根据实验探索找到规律，猜想结论；
[学以致用]（1）根据结论代入结论即可求解；
（2）根据结论代入结论，解方程即可求解；
（3）根据题意得出关于的不等式，解不等式即可求解．
【详解】[实验探索]（1）如图二，时，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
故答案为：；
（2）如图三，时，
当时，，
当时，，
当时，，
，
故答案为：；
（3）如图四，时，
当时，，
当时，
当时，
；
[猜想结论] 根据实验探索可知：，
故答案为：；
[学以致用]（1）图一，多边形ABCDE边上的格点数，内部的格点数．
，
故答案为：17.5；
（2）根据题意，
，
解得，
内部格点数是8；
（3）根据题意，
,
,
一个格点六边形，,
,
这个六边形内部格点数最多6个．
【点睛】本题考查了新定义，根据图形列出代数式，二元一次方程组，不等式的性质，找到规律是解题的关键．
考点7：含有字母系数的一元一次不等式
典例：（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ______ ．
【答案】
【分析】根据不等式的解集是，可判断出，，从而可求出不等式的解集．
【详解】解：关于的不等式的解集是，
，，
，
∴不等式的解集为：，即．
故答案为：．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·统考一模）如果关于x的不等式的解集为，则a的值可以是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质可知小于0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，即，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质和解一元一次不等式，正确根据题意得到时解题的关键．
2．(2023春·四川绵阳·七年级校联考期中）若不等式的解集能使关于x的一次不等式成立，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得，根据“不等式的解集能使关于的一次不等式成立”得出，解之即可．
【详解】解：由得，
由题意知，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和依据．
3．（2023·安徽·校联考一模）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a，b之间得关系以及b的符号，从而解不等式．
【详解】解：∵的解集是，
∴，，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，正确确定b的符号是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________．
【答案】
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：由得：
，
关于x不等式只有3个正整数解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
5．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）关于的不等式（其中为正整数）正整数解为，，，则的值是_________．
【答案】
【分析】先求关于的不等式的解集为，再根据不等式的正整数解为，，，确定的取值范围，最后得出正整数的值即可．
【详解】解：不等式的解集为，
不等式正整数解为，，，
，
正整数的值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不等式的正整数解，根据题意得出是解答本题的关键．
6．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
84．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）不等式的解为，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据不等式的性质和不等式的解，两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变判断a的取值范围．
【详解】解：不等式，即两边同除以得，
可见，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了不等式的性质和不等式的解，熟练掌握并灵活运用不等式的性质是解答此类试题的关键．
考点8：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出原方程组的解，再代入，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为，
因为方程组的解满足不等式，
所以，
解得：．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）关于的方程解为正数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意解为正数，则，直接解出的取值范围即可．
【详解】，解得，
∵关于的方程解为正数，
∴，解得．
故选：A
【点睛】此题考查含参的一元一次方程和不等式，解题关键是先解方程，然后令解为正数列不等式求参数的取值范围．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于、的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据表格选取两对值代入二元一次方程组成方程组，解方程组得不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，
则不等式为：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查表格信息，会利用表格信息确定方程组，会解方程组，会解一元一次不等式是解题关键．
3．(2023春·海南海口·七年级校考期中）已知二元一次方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意用含有的代数式表示代入，再求解即可．
【详解】解：由题意得：
∵，
移项得：
解得：
故选B
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
4．（2023·山东济宁·统考一模）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
【答案】
【分析】把两个方程相减，可得，x与y的和不小于5，即可求出答案．
【详解】把两个方程相减，可得
x与y的和不小于5
解得：
k的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．
5．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】由题意解不等式组，用含a的式子表示的值，再根据取值范围求解即可．
【详解】解：，
①+②得：，
∴．
∵，
∴，
解之得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组用的加减法，观察方程组及方程组的解所满足的条件，只要将方程组的两个方程相加即可得到的值，这是关键．
6．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的最大整数值为______．
【答案】
【分析】，得，根据得出关于的不等式，求得最大整数解即可求解．
【详解】解：，
，得，
∵，
∴，
∴．
m的最大整数值为-2
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围．
【答案】
【分析】先求出方程的解，然后令其小于0，计算求解即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得：，
∵，
解得，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了解一元一次方程与解一元一次不等式．解题的关键在于正确的计算．
8．(2023春·四川绵阳·七年级校联考期中）关于x，y的方程组．
(1)解方程组（含m的式子表示解）；
(2)方程组的解满足，求m的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）将（1）的解代入，解关于m的不等式即可．
【详解】（1）解：，
得，解得:，
把代入①得，解得:，
所以方程组的解为．
（2）解：∵，而，
∴，解得，即m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式等知识点，灵活运用相关计算方法是解答本题的关键．
9．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，，当时，，，如：，，，．根据上面的材料，回答下列问题：
（1） ________；
（2）当时，x的取值范围是________．
【答案】 /
【分析】（1）由新定义直接可得答案；
（2）由新定义，列出不等式，即可解得的范围．
【详解】解：（1），
，；
故答案为：；
（2），
，
解得，
的取值范围是．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握解一元一次不等式的一般步骤．
10．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若，且，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）移项，系数化成1即可；
（2）先根据已知得出不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴x的取值范围为：．
【点睛】本题考查等式的变形和解不等式，熟练掌握等式移项与系数化成1的方法是解题的关键．
11．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下，例如，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题中定义的运算将转化为，解不等式即可；
（2）先解一元一次方程，求出x值，再代入，得到，然后利用题中定义的运算将转化为，解不等式即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查新定义问题，解一元一次不等式，解题的关键是根据题干定义的新运算将问题转化为解一元一次不等式．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“或“”或“”或“”或“”表示不相等关系的式子，叫做不等式．
【详解】解：①，属于不等式；
②，属于不等式；
③，属于不等式；
④属于代数式，不是不等式；
⑤属于方程，不是不等式；
⑥，属于不等式．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号：．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3B．3是不等式的解
C．不等式的解集是D．是不等式的解集
【答案】A
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；
B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；
D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】A、∵，∴，故A选项不符合题意；
B、∵，当时，则；当 时，则不成立；故B选项符合题意；
C、∵，∴，故C选项不符合题意；
D、∵，，∴，故D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题目中的不等关系是：购进糖果每斤平均价＞卖出糖果每斤平均价．据此列不等式求解即可
【详解】解：根据题意得，商店购进每斤平均价是，以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则：
解之得，
所以赔钱的原因是.
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方程组，得到，再根据的值不大于5，列出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：方程组，
得：，
关于，的方程组的解满足的值不大于5，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题关键．
6．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】根据不等式的基本性质即可解答．
【详解】解： ∵
∴，
∴命题“若，则”是真命题．
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
8．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
【答案】
【分析】设该商品打x折销售，利用利润销售价格进价，结合该商品的利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式．
【详解】解：设该商品打x折，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，该数轴表示的不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示．
【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴得表示方法．
10．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先得出方程的解，然后再列出不等式即可求解．
【详解】解：由方程可得：，
∵该方程的解为负数，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式及一元一次方程的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键．
11．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）关于x的一元一次不等式的解集为，则m的值是_____．
【答案】
【分析】先用含有m的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m的方程，解之可得m的值．
【详解】解：
，
，
，
∵不等式的解集为，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
12．(2023·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为．
（1）的变换点坐标是_____________．
（2）若的变换点坐标是，则m的最大值是_____________．
【答案】
【分析】（1）－2＜3，满足时，点的坐标为，据此写出即可；
（2）分和，两种情况讨论解答．
【详解】（1）∵－2＜3，满足，
∴的变换点坐标是，
故填：：
（2）当≥时，≥，此时该点的变换点坐标是，
≤；
当＜时，＜，此时该点的变换点坐标是，
＜，
故m的最大值是，
故填：．
【点睛】本题考查不等式的应用、点的坐标特征，读懂“变换点”的坐标定义是关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）解不等式：并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
化系数为：．
在数轴上表示为：
．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键
14．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）某服装店销售一批进价分别为200元，170元的，两款T恤衫，下表是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
(1)求，两款T恤衫的销售单价；
(2)若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，则款T恤衫最多能购进多少件？
(3)在（2）的条件下，销售完这30件T恤衫能否实现利润不少于1290元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
【答案】(1)A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．
(2)A款T恤衫最多能采购10件．
(3)能，A款T恤衫采购了9件，B款T恤衫采购了21件．
【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，根据总价=单价×数量，结合近两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了件，根据总价=单价×数量结合总价不多于5400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润=每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）(1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，
依题意得：
解得：
答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了件，
依题意，得：
解得：．
答：A款T恤衫最多能采购10件．
（3）依题意，得：，
解得：，
∴A款T恤衫采购了9件，B款T恤衫采购了21件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；
（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）或．
【分析】（Ⅰ）先求出的长，再根据的长即可得；
（Ⅱ）先分别求出点运动到点所需时间、点运动到点所需时间，从而可得，再分和两种情况，分别利用三角形的面积公式、梯形的面积公式即可得；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，分和两种情况，分别建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（Ⅰ）轴，，
，
轴，，
；
（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，
∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，
点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为，
因此，分以下两种情况：
①如图，当时，，
则三角形的面积为；
②当时，
如图，过点作，交延长线于点，
，
，
则三角形的面积为，
，
，
综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；
（Ⅲ）①当时，
则，
解得，
则此时的取值范围为；
②当时，
则，
解得，
则此时的取值范围为，
综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．
【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（Ⅱ），正确分两种情况讨论是解题关键．
解：去分母，得，………………………………第一步去括号，得……………………………………………第二步
移项、合并同类项，得，…………………………………………第三步
两边都除以3，得．………………………………………………第四步
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甲
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成本
1.2元/只
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售价
1.8元/只
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甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
…
-1
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
…
销售时段
销售数量
销售收入
第1天
3件
5件
1800元
第2天
6件
8件
3180元