人教版七年级数学下册同步精品讲义第09讲第六章实数单元测试(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第09讲第六章实数单元测试(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）在实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(2023秋·福建莆田·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．0的平方根和算术平方根都是0
3．(2023秋·浙江·七年级专题练习）实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．﹣5
4．(2023秋·辽宁锦州·八年级统考期中）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
的关键．
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ）
A．B．C．D．
6．(2023春·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）已知正方体的体积是棱长为的正方体的体积的，则正方体的棱长是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·七年级专题练习）如图所示的是一个大正方形，现从大正方形中剪去两个面积为和的小正方形，则余下的面积为（ ）．
A．12B．10C．8D．6
8．(2023秋·山东菏泽·八年级统考阶段练习）已知，则x的值为（ ）．
A．0B．C．D．0，或
9．(2023秋·八年级课时练习）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
10．(2023·全国·七年级专题练习）如果，，那么约等于（ ）．
A．B．C．D．
11．(2023秋·七年级统考期中）数轴上到所对应的点的距离等于4的数是（ ）
A．或B．C．D．或
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
13．(2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序如图，当输入的值为64时，输出的值是（ ）
A．B．C．D．2
14．(2023秋·江苏南京·七年级校联考阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（ ）
A．（1）和（2）B．（3）和（4）C．（2）和（3）D．（1）和（4）
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，有五个小正方形，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是____________．
16．(2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知正实数b的平方根是与，则______．
17．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）如果一个数的立方根是其本身，则这个数是_______．（写一个即可）
18．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）的相反数是______________ ．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）解答下列各题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
20．(2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，试求：
(1)M和N的值；
(2)的平方根．
21．(2023秋·八年级单元测试）化简求值：
(1)已知a是的整数部分，，求的平方根．
(2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
22．(2023秋·浙江·七年级专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
23．(2023秋·浙江温州·七年级统考期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
24．(2023秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
25．(2023秋·八年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
26．(2023秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
(1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1．
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为 ；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是 ．
(2)对于这个代数式．
①它的最小值为 ；
②若，则的最大值为 ．
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
第六章 实数
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）在实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据实数的分类：有理数和无理数，结合无理数的概念逐项进行辨别即可得到答案．
【详解】解：∵是有理数；是无理数；
∴在所有数字中无理数有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的分类、对无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关知识．
2．(2023秋·福建莆田·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．0的平方根和算术平方根都是0
【答案】D
【分析】根据一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数及算术平方根的定义即可判断各选项．
【详解】解：A、的平方根为，故本选项不符合题意；
B、没有算术平方根，故本选项不符合题意；
C、，25的平方根是，故本选项不符合题意；
D、0的平方根和算术平方根都是0，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为算术平方根，负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0．
3．(2023秋·浙江·七年级专题练习）实数﹣2，，0，﹣5中绝对值最大的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．﹣5
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质以及正实数和0的大小比较即可求解．
【详解】∵且，
∴所给的几个数中，绝对值最大的数是．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握．
4．(2023秋·辽宁锦州·八年级统考期中）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值以及立方根的定义进行化简，之后运算即可得到答案．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题主要考查绝对值以及立方根的定义，掌握绝对值以及立方根的定义是解题的关键．
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案．
【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得：
（x＋8）2＝64＋80
（x＋8）2＝144
∴x＋8＝＝12（负值舍去），
∴x＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x＋8）2＝（64＋80）是解题的关键．
6．(2023春·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）已知正方体的体积是棱长为的正方体的体积的，则正方体的棱长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可设正方体的棱长为，根据题目中的数量关系有，解之即可.
【详解】解：设正方体的棱长为，
据题意得，
解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了用立方根解方程中的立体图形问题，寻找数量关系列出方程是解答关键.
7．(2023·全国·七年级专题练习）如图所示的是一个大正方形，现从大正方形中剪去两个面积为和的小正方形，则余下的面积为（ ）．
A．12B．10C．8D．6
【答案】A
【分析】先求出剪去的正方形的边长，再根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵剪去的正方形的面积为和，
∴剪去的正方形的边长为和，
∴余下的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，求出剪去的正方形的边长是解题的关键．
8．(2023秋·山东菏泽·八年级统考阶段练习）已知，则x的值为（ ）．
A．0B．C．D．0，或
【答案】D
【分析】根据立方根的定义求解，因为立方根等于自身的数有，据此求解即可
【详解】
或
0，或
故选D
【点睛】本题考查了立方根的定义，掌握立方根等于自身的数有是解题的关键．
9．(2023秋·八年级课时练习）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
10．(2023·全国·七年级专题练习）如果，，那么约等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】解：∵,
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
11．(2023秋·七年级统考期中）数轴上到所对应的点的距离等于4的数是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】分类讨论求解，向左就减，向右就加．
【详解】解：当在的右边时为，
当在的左边时为，
故选A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，分类讨论数解题的关键．
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解．
【详解】解：∵
∴都小于1且大于0
（负值舍去）
故选D
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键．
13．(2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序如图，当输入的值为64时，输出的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】直接根据流程图计算即可．
【详解】64的算数平方根是8，是有理数，
故将8取立方根为2，是有理数，
将2取算数平方根得，是无理数，
故选A．
【点睛】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是正确按照流程图顺序计算．
14．(2023秋·江苏南京·七年级校联考阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（ ）
A．（1）和（2）B．（3）和（4）C．（2）和（3）D．（1）和（4）
【答案】C
【分析】由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可
【详解】解：若原点在第③部分，则a＜0，b＜0，c＞0，a＜b＜0＜c，
（1）∵a＜0，b＜0，
∴
故（1）错误；
（2）∵a＜0，b＜0，
∴
故（2）正确；
（3）∵a＜0，c＞0，
∴
故（3）正确；
（4）∵a＜b＜0，
∴
故（4）错误；
故选：C
【点睛】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，有五个小正方形，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是____________．
【答案】
【分析】由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长即可．
【详解】解：∵拼成的正方形的面积为，
∴这个正方形的边长是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的乘方和乘法计算，算术平方根的实际应用，正确理解面积不变规律是解题的关键．
16．(2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知正实数b的平方根是与，则______．
【答案】1
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列方程求解即可．
【详解】解：∵正实数b的平方根是与，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查平方根、解一元一次方程，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．
17．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）如果一个数的立方根是其本身，则这个数是_______．（写一个即可）
【答案】、1、0（写出一个即可给分）
【分析】根据、1、0的立方和立方根都是其本身即可解答；
【详解】解：如果一个数的立方根是其本身，则这个数可以是、1、0，
故答案为：、1、0（写出一个即可给分）
【点睛】本题考查了立方根，熟记、1、0的立方和立方根都是其本身是解题关键．
18．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）的相反数是______________ ．
【答案】##
【分析】先求出绝对值的值，根据相反数的定义，即可得出答案．
【详解】解：，
∴其相反数是，
故答案为：
【点睛】本题考查化简绝对值，求一个数的相反数，掌握相反数的定义是本题的关键．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）解答下列各题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
解得：或．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，平方根的定义，求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，掌握以上知识是解题的关键．
20．(2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，试求：
(1)M和N的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)3，1
(2)2和-2
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的意义列出方程求解即可；
（2）求出的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：因为是的算术平方根，是的立方根，
所以可得：， ，
解得：，，
把，代入，，
所以可得，．
（2）解：由（1）得，4的平方根为2和-2．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键．
21．(2023秋·八年级单元测试）化简求值：
(1)已知a是的整数部分，，求的平方根．
(2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）由数轴可得：，
则，
则
．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
22．(2023秋·浙江·七年级专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
【答案】错在由得这一步
【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．
【详解】解：错在由得这一步，
显然，，
所以．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．
23．(2023秋·浙江温州·七年级统考期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：用含正整数的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：



．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
24．(2023秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
（2）解：当（n为整数）时，．
故答案为．
（3）解：若，则①；②．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
25．(2023秋·八年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；
②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】（1）①， ，
∴，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
26．(2023秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
(1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1．
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为 ；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是 ．
(2)对于这个代数式．
①它的最小值为 ；
②若，则的最大值为 ．
【答案】(1)①3；②
(2)①7；②4
【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空．
【详解】（1）解：①，两点之间的距离为；
故答案为：3；
②设点对应的数是，
则有，
解得或1（舍去），
故答案为：；
（2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小，
当时，的最小值为7．
故答案为：7；
②，
，，
，
的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义．a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…