人教版八年级数学下册同步精品讲义第一次月考押题预测卷(考试范围：第十六、十七章)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精品讲义第一次月考押题预测卷(考试范围：第十六、十七章)(原卷版+解析)，共27页。

本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河北保定·统考三模）下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏扬州·校联考三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．6B．5C．D．
5．(2023·广东·统考中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
6．(2023·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A．B．C．或D．或
7．(2023·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
10．(2023·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．(2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是______．
12．(2023·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
13．(2023·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
15．(2023·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
16．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
17．(2023·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
18．（2023秋·辽宁沈阳·八年级期末）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)．
20．(2023·辽宁沈阳·统考二模）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧三点在同一直线上处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得，，，求隧道CD的长．
21．(2023·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
22．(2023·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
23．(2023·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
24．(2023·河北·九年级专题练习）已知和都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，求证：和全等：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．
25．(2023·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
26．(2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）已知是等边三角形，点D在AC边上（点D不与点A，C重合)，连接BD．
(1)如图1，若于点于点交于点，则_______．与的数量关系为_______．(2)如图2，点在边上，交于点，且．①写出线段和的数量关系，并说明理由：②若，请直接写出的面积_______．(3)如图3，点F在线段BC的延长线上，，延长BD交AF于点G，若，，则GF=_______．
第1次月考押题预测卷（1-2章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2023春·江苏无锡·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，判定即可．
【详解】解：A、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，所以分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分成两个特殊的直角三角形：△ABD和△ACD，从而解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴BD＝AD，ABBDAD，
∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，∴AC＝2AD，
∴． 故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
3．(2023·河北保定·统考三模）下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减运算法则以及有理数的定义，逐项求解判断即可．
【详解】解：A、不是有理数，故不符合题意；
B、不是有理数，故不符合题意；
C、 ， 不是有理数，故不符合题意；
D、，2为有理数，故符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算以及有理数的定义，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．
4．(2023·江苏扬州·校联考三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】A
【分析】由已知证得，进而证得即四个全等的直角三角形长的直角边为短的直角边2倍，进而求得各边长，再由图形面积的割补关系，可得所求三角形的面积为一个直角三角形加半个小正方形的面积，进而可得到答案．
【详解】解：如图，∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴ 故选：A．
【点睛】本题考查全等形的证明及性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(2023·广东·统考中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，∴，
∴的整数部分，∴小数部分，
∴．故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
6．(2023·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，，；

如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，过点C作CD⊥AB1，，
，，，，
，，，，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，故选：C．
【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．(2023·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，，
而 ∴ 故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
9．(2023·绵阳市·八年级课时练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，解得：，∴ ，
∵，∴，得：，
∴ ，即．故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
10．(2023·山东泰安市·七年级期末）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，中，
，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，FC=FG，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，
与关于线段AF成轴对称图形∴AC=AG=3∴BG=5-3=2 设FC=CE=FG=x∴BF=4-x，
在Rt中，解得x=，∴CF=CE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．(2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是______．
【答案】
【分析】先化为最简二次根式，再进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为∶．
【点睛】本题考查二次根式的计算，二次根式的化简，解决问题的关键是化简二次根式．
12．(2023·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
【答案】16
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，∴
13．(2023·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______．
【答案】##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PC＝BP即可求出PC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】解：在Rt△PAB中，，，∴，
∵，∴，∴点C表示的数为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、数轴上点的表示，解题的关键是根据勾股定理求出PB的长．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】##
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，，
，，，
是直角三角形，，
阴影，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．
15．(2023·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．故答案为∶．
【点睛】本题考查新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
16．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
【答案】7
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，因为，，所以，
在中，，所以，因此的长为7．答案：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
17．(2023·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
18．（2023秋·辽宁沈阳·八年级期末）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为___________．
【答案】##
【分析】延长至点G，使，连接，过E作于H，根据证明，可求，进而可求，根据证明，可得，，然后在根据勾股定理求出，最后根据等积法求解即可．
【详解】解∶延长至点G，使，连接，过E作于H，
∵，，，∴，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴，，∴，
又，，∴，∴，，
又，∴，∴，即，
在中，，，，，
∴，，
在中，，，，
∴，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)0；(2)6．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先将除变为乘，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算；熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
20．(2023·辽宁沈阳·统考二模）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧三点在同一直线上处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得，，，求隧道CD的长．
【答案】
【分析】过点B作于点E，在中，通过含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BE，AE的长．根据三角形内角和定理可求出的度数，结合可求出的度数，即可判断为等腰直角三角形，得出，最后由和即可求出结论．
【详解】解：过点B作于点E，如图所示：
在中，，，，
，．
，
在中，，，
，，
答：隧道CD的长为
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定．求出AE，DE的长是解题的关键．
21．(2023·北京市燕山教研中心八年级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
【答案】(1)；(2)补全图形见解析，BD＝5.
【分析】（1）根据海伦公式计算即可；
（2）根据等面积法求出CD的长，再根据勾股定理求BD即可．
(1)解：，
= ＝；
(2)解：补全图形如图所示：
，∴CD＝，∴BD＝＝5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、数学常识，根据等面积法求出CD的长是解题的关键．
22．(2023·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
【答案】(1)(2)① 5；②(3)<(4)
【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
（1）解：的面积为；故答案为：
（2）解：① ；故答案为：5；
②线段的长可表示为；故答案为：
(3)解：如图，
根据题意得：，，，∴，
∵，∴；故答案为：<
（4）解：解：如图，，，，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
23．(2023·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
（1）解：∵，∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，∴，
∴即，
∴的整数部分为1，∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分， ∴a=9，
∵，∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，∴，∴
∵9的平方根等于，∴的平方根等于；
（3）解：∵，∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
24．(2023·河北·九年级专题练习）已知和都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，求证：和全等：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN；
（2）连接AM，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MAN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；
（1）证明：∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM=BN；
（2）证明：连接AM，
∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB-∠AON=∠MON-∠AON，即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN，
∴∠MAN=90°，∴AM2+AN2=MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2=2ON2，∴BN2+AN2=2ON2；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，构造直角三角形是解决问题的关键．
25．(2023·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，，；
（2）由，，可知x≥0，，
当时，有最小值1，则有最大值，所以的最大值为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
26．(2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）已知是等边三角形，点D在AC边上（点D不与点A，C重合)，连接BD．
(1)如图1，若于点于点交于点，则_______．与的数量关系为_______．(2)如图2，点在边上，交于点，且．①写出线段和的数量关系，并说明理由：②若，请直接写出的面积_______．(3)如图3，点F在线段BC的延长线上，，延长BD交AF于点G，若，，则GF=_______．
【答案】(1)，(2)，理由见解析，(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，继而勾股定理得出；
（2）①证明即可求解；
②过点分别作于，在中，，勾股定理求得，即可求解；
（3）在上截取，过点作，在中，可得，由（2）可得，根据2倍角关系根据三角形的外角的性质，得出，然后得出，同理得出，等量代换得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，，
∴，，，
∴， 在中，，
，故答案为：，；

（2）①，理由如下，
∵是等边三角形，∴，，
又∵∴（SAS）∴；
②如图，过点作于，由①可得，∴，
∴，
在中，，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：；
（3）如图，在上截取，连接，过点作，
∵是等边三角形，∴，则，
设，则，，
在中，，，，
∵，∴，
解得：或（舍去）∴，
设∵，∴，由（2）可得，
∴，则，
∴，∴∴，
∵，
∴，
∴，∴，∴，
∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．