湖北省荆门市钟祥市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 一元二次方程的根是（ ）
A. 0B. 1C. 0，D. 0，1
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可得．
【详解】
移项，得
因式分解，得
解得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记解法是解题关键．
2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A、 C、D均是中心对称图形，B只是轴对称图形，故答案选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键．
3. 将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A y＝2x2+1B. y＝2x2﹣3
C. y＝2（x﹣8）2+1D. y＝2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”的原则即可得到平移后函数解析式．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
4. 设是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先把原方程化为一般式，再根据根与系数的关系即可求出答案，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解；∵是一元二次方程的两个根，
∴是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：C．
5. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得∠B=∠A＝78°，AC=A，∠CA=90°，则可判断△AC为等腰直角三角形，所以∠AC=∠AC=45°，然后根据三角形外角性质计算即可得到的度数．
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的，
∴∠B=∠A＝78°，AC=A，∠CA=90°，
∴△AC为等腰直角三角形，
∴∠AC=∠AC=45°，
∴＝∠A－∠AC＝33°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＜y3＜y2B. y3＜y1＜y2C. y1＜y2＜y3D. y2＜y1＜y3
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【详解】∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是，而，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，要比较二次函数值的大小，关键是掌握二次函数的性质．
8. 如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点P，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 平分
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判断，直角三角形的性质，连接，由平行线的性质得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即，则；根据直角三角形的性质得到，则由三线合一定理得到，平分，则，根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵点O为中点，
∴，
∴，
∴，平分，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴四个选项中只有A选项中的结论错误，符合题意，
故选：A．
9. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，其对称轴为，过则下列结论：①；②；③方程的两根为，；④，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，得到，，再由对称轴计算公式得到，即，据此可判断①②；根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，据此可判断③；根据当时，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，即，
∴，故①不符合题意，②符合题意；
∵二次函数过，对称轴为直线，
∴二次函数与x轴另一个交点坐标为，
∴方程的两根为，；故③符合题意；
把代入函数解析式得：，
∴由函数图象可得：，即，故④符合题意；
综上所述：符合题意的有②③④三个；
故选：C．
10. 如图，在等腰中，，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，利用勾股定理得到的长，进而可求出，的长，求得，于是得到点在以为直径的圆上，然后根据圆的周长公式计算点运动的路径长．
【详解】解：取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，
在等腰中，，
，
，，
，
在上，
为的中点，
，
，
∴点M在以为直径的圆上，
点在点时，点在点；点在点时，点在点．
是中点，是中点，
是的中位线，
，，
，
同理，，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形，，
点的路径为以为直径的半圆，
点运动的路径长．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，圆周角定理，以及动点的轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定点的轨迹为以为直径的半圆．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知平面直角坐标系中，关于原点对称，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点的坐标特征：横坐标及纵坐标分别互为相反数，可分别求得a与b的值，代入即可求得代数式的值．
【详解】∵关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征，求代数式的值，掌握关于原点对称的两点的坐标特征是关键．
12. 平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转90°得点B，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形如图，设点A旋转后的对应点为B，分别过点A、B作y轴、x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明即可．
【详解】如图，设点A旋转后的对应点为B，分别过点A、B作y轴、x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则，
由旋转性质知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵A绕原点顺时针旋转后的对应点B在第四象限，
∴点B的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点绕原点旋转后的点的坐标，根据题意构造全等三角形是问题的关键．
13. 如图，的两条弦，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设交于，连接．要求，只需求 ，由，有∠CAD+∠DBA=90º，只需求，利用圆周角与圆心角的关系求出即可．
【详解】解：如图，设交于，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆心角与圆周角之间关系，和两弦垂直的应用，掌握同弧所对圆周角与圆心角的关系，会利用两弦垂直构造直角三角形，利用直角三角形的性质解题是关键．
14. 正六边形的边心距、半径、边长之比为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理， 根据正六边形的性质，证明，进而推出是等边三角形，则，设，则，利用勾股定理得到，据此求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，过作于，
∵在正六边形中，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴正六边形的边心距、半径、边长之比为
故答案为：．
15. 如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列五个结论正确的有______ ：①；②；③；④；⑤
【答案】②③④⑤
【解析】
【分析】由“”可证，可得，，由余角的性质可判断②，根据证，得出，易得，则，利用反证法假设，推出矛盾，即可判断①③；由勾股定理和全等三角形的性质可判断④⑤．
【详解】解：四边形是正方形
，，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，，
，
，
，故③正确；
，，
，
，
，故②正确；
根据②中证出，


，
，
∴，
若假设，则，矛盾，即假设不成立，故①错误，
，
，
，故④正确；
∵，，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16. 已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_____．
【答案】1或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，
当时，则当时，y有最小值，
∴，
∴，
解得或，都不符合题意；
当时，则当时，y有最小值，
∴，
∴，
解得（舍去）
当时，则函数在或处取得最小值，
当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；
当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；
综上所述，或，
故答案：1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先整理原方程，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：
或，
解得；
【小问2详解】
解：
整理得：，
∴，
∴，
∴，
解得．
18. 已知抛物线．
①求其顶点坐标；
②若直线与抛物线交于，当时，求x的取值范围．
【答案】①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数与不等式之间的关系：①把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；②画出对应的函数图象，利用图象法求解即可．
【详解】解：①∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为；
②由函数图象可知，当时，x的取值范围为．
19. 已知关于x一元二次方程有两个根分别为，．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的两个根，满足，求k的值．
【答案】19. 且；
20. k的值为．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解分式方程，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．
（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使，即可得出结论；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到，，再将它们代入，即可求出k的值．
【小问1详解】
根据题意得，，
解得
∴k的取值范围是且；
【小问2详解】
∵
∴，
∵
∴
∴
解得，
经检验，是原方程的解，
∴k的值为．
20. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形；
（4）在图4中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD=4．
【答案】解：（1）如图①，△DEC为所作；
（2）如图②，△ADC为所作；
（3）如图③，△DEC为所作；
（4）如图④，△BCD和△BCD′为所作．
【解析】
【分析】（1）如图①，以点C为对称中心画出△DEC；
（2）如图②，以AC边所在的直线为对称轴画出△ADC；
（3）如图③，利用网格特点和和旋转的性质画出A、B的对应点D、E，从而得到△DEC；
（4）如图④，利用等腰三角形的性质和网格特点作图．
【详解】解：（1）如图①，△DEC为所作；
（2）如图②，△ADC为所作；
（3）如图③，△DEC为所作；
（4）如图④，△BCD和△BCD′为所作．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴有两个公共点，k取满足条件的最小整数．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系：
（1）根据题意可得关于x的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出，再由k取满足条件的最小整数，得到，则二次函数解析式为；
（2）根据（1）所求得到，进而得到，则或，解两个不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵k取满足条件的最小整数，
∴，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解不等式组得，，解不等式组得，，
∴或，
∴时，x的取值范围为或．
22. 某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．
（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？
（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为 ．
【答案】（1）y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；（2）当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；（3）280≤x≤330，且x为10的整数倍
【解析】
【分析】（1）根据每件的利润乘以销售量，化简即可得出函数的解析式；根据要求每周至少售出35件，且售价不低于180元，可得关于x的不等式，求解即可得出x的取值范围；
（2）将（1）中所得的函数解析式配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据题意可得关于x的不等式，解不等式并根据（1）中所得的自变量的范围可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣20）（50﹣）
＝﹣x2+70x﹣1360，
∵要求每周至少售出35件，
∴50﹣≥35，
解得：x≤330，
又∵售价不低于180元，
∴180≤x≤330．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；
（2）∵y＝﹣x2+70x﹣1360
＝﹣（x﹣350）2+10890，
∵二次项系数为负，当x≤350时，y随x的增大而增大，
又∵180≤x≤330，
∴当x＝330时，y最大值＝10850，
∴当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；
（3）由已知，每周利润等于10400元，
∴﹣（x﹣350）2+10890=10400，
∴（x﹣350）2=4900，
可得：x=280或420，
∴每周利润不得低于10400元时，280≤x≤420
又∵180≤x≤330，
∴280≤x≤330．
故答案为：280≤x≤330，且x为10的整数倍．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）连接BE，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．
（3）延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3．
【小问3详解】
延长、相交于点，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．本题是中考题常考题型，熟练掌握圆中的等量关系，切线的证明方法，以及通过等量关系的转化证明三角形全等，利用解直角三角形解决求线段长度的问题是解题的关键．
24. 已知抛物线．

（1）将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ．
（2）已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值
（3）在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可；
（2）先求出，进而得到直线解析式为；利用勾股定理得到，由平行线的性质得到，据此利用面积法求出；如图所示，过点N作交y轴于H，过点M作于Q，过点D作轴于E，证明，利用相似三角形的性质求出，则，即可得到直线解析式为，联立得，根据题意可知直线与抛物线只有一个交点，则，解得或（舍去）；
（3）利用勾股定理证明，即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵抛物线的解析式为，
∴将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点N作交y轴于H，过点M作于Q，过点D作轴于E，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立得，
∵使得的N点只有一个，
∴直线与抛物线只有一个交点，
∴，
解得或（舍去）；
【小问3详解】
解：当时，则抛物线的解析式为；
设，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数图象的平移问题等等，解（2）的关键在于通过平行线间距相等构造相似三角形求出经过点N且与直线平行的直线解析式，再由该直线与抛物线只有一个交点进行求解；解（3）的关键在于证明，．