人教版七年级数学上册同步精品讲义第01讲专题1.1正数和负数-【学生版+解析】
展开⒈正数和负数的概念
负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
(3)0表示一个确切的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
考点精讲
考点1:正数与负数
典例:下列说法正确的个数是( )
①加正号的数是正数,加负号的数是负数;
②任意一个正数,前面加上“-”,就是一个负数;
③0是最小的正数; ④大于零的数是正数; ⑤字母a既是正数,又是负数.
A.0B.1C.2D.3
巩固练习
1.(2022·贵州贵阳·中考真题)下列各数为负数的是( )
A.B.0C.3D.
2.(2022·安徽宿州·模拟预测)在,1,0,这四个数中,是负数的是( )
A.B.1C.0D.
3.(2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室一模)有如下一些数:3,,0,,,其中负数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.(2022·全国·七年级)下列各数是负分数的是( )
A.B.C.D.0
5.(2022·广东深圳·二模)在2,0,,四个数中,负数是( )
A.2B.0C.D.
考点2:相反意义的量
典例:(2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中)如果向东走6米记作+6米,那么向西走5米记作______米.
巩固练习
1.(2021·广西·平乐县教育局教研室二模)如果收入3元记作+3元,那么支出5元记作( )
A.+5元B.﹣5元C.+3元D.﹣3元
2.(2022·云南·盈江县教育体育局教育科研中心模拟预测)挂起来的水银温度计上,水银柱从0℃位置升高一段距离后温度为+5℃,则水银柱从0℃位置下降相同距离后温度为( )
A.-5℃B.-10℃C.0℃D.+10℃
3.(2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模)中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.某仓库运进小麦6吨,记为 +6吨,那么仓库运出小麦8吨应记为( )吨.
A.+8B.-8C.±8D.-2
4.(2022·广西柳州·模拟预测)如果盈利100元记为元,那么元表示( )
A.亏损80元B.盈利80元C.亏损20元D.盈利20元
5.(2021·全国·七年级单元测试)如果增加记作,那么减少记作( )
A.B.C.D.
考点3:正负数在实际生活中的应用
典例:(2022·全国·七年级课时练习)聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支,每天坚持记录自己当天的收支情况如下表,是她们上周各天收支情况(记收入为正,单位:元)
根据上表回答下列问题:
(1)分别说出聪聪这一行中10,0,-2各数的实际意义.
(2)把上表补充完整.
巩固练习
1.(2022·全国·七年级课时练习)小明积极配合小区进行垃圾分类,并把可回收物拿到废品收购站回收换钱,这样既保护了环境,又可以为自己积攒一些零花钱.下表是他12月份的部分收支情况(单位:元).
其中表格中“”表示的意思是( )A.卖可回收物换回的钱B.买书的钱
C.买书时妈妈代付的钱D.买书的钱与妈妈代付的钱之和
2.(2021·辽宁·沈阳市光明初级中学七年级阶段练习)有四包洗衣粉,每包以标准克数(500克)为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的是( ).
A.+6B.-7C.-4D.+9
3.(2022·湖南株洲·七年级期末)如表是某微信用户的零钱明细,按照这种表示方法,“+60”表示的是( )
A.微信红包发出60元B.微信红包收入60元
C.微信余额60元D.微信扫描二维码付款60元
4.(2022·全国·七年级)图纸上一个零件的标注为,表示这个零件直径的标准尺寸是30mm,实际合格产品的直径最小可以是29.98mm,最大可以是_____mm,现有另一零件的标注为Φ■其零件直径的标准尺寸有些模糊,已知该零件的七个合格产品,直径尺寸分别为73.1mm.72.7mm,72.8mm,73.2mm,72.9mm,73.3mm,72.6mm,则该零件的标准尺寸可能是_____mm(写出一个满足条件的尺寸,结果保留一位小数).
5.(2022·全国·七年级课时练习)某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示.请根据表格信息回答下列问题:
(1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比,哪几个月是增长的?
(2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思?
(3)2021年上半年与2020年上半年同月相比,营业额没有增长的是哪几个月?
考点4:古典文化中的正数与负数
典例:(2022·河南南阳·三模)中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中,用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负).如图1表示的算式是,根据这种表示法,可推算出图2所表示的算式是_______.
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义,解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字.
巩固练习
1.(2022·广东·普宁市教育局教研室二模)中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数,如果收入200元记作元,那么元表示( )
A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元
2.(2022·四川乐山·七年级期末)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数,若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若向东走9米记作米,则米表示( )
A.向东走5米B.向西走5米C.向东走4米D.向西走4米
3.(2022·河南·郑州外国语中学三模)我国在数的发展史上有辉煌的成就,早在东汉初,我国著名的数学专著《九章算术》明确提出了“正负术”.如果盈利100元记为元,那么元表示( )
A.亏损80元B.盈利80元C.亏损20元D.盈利20元
4.(2021·福建·晋江市季延中学七年级期中)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,如果收入100元记作,那么表示为( )
A.收入40元B.支出40元C.收入60元D.支出60元
5.(2021·北京师范大学实验华夏女子中学七年级期中)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.比如顺时针转5圈记作+5,那么逆时针转8圈记作( )
A.B.C.D.
5.(2022·广西·中考真题)负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,负数与对应的正数“数量相等,意义相反”,如果向东走了5米,记作+5米,那么向西走5米,可记作______米.
能力提升
一、单选题(每题3分)
1.(2022·广西桂林·中考真题)在东西向的马路上,把出发点记为0,向东与向西意义相反.若把向东走2km记做“+2km”,那么向西走1km应记做( )
A.﹣2kmB.﹣1kmC.1kmD.+2km
2.(2022·云南·昆明八中模拟预测)中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路,线路北起中国西南地区的昆明市,南向到达老挝首都万象市,是“一带一路”上最成功的样板工程.从长期看将会使老挝每年的总收入提升,若表示提升,则表示( )
A.提升B.提升C.下降D.下降
3.(2022·贵州遵义·二模)游泳时为了避免抽筋,最合适的水温是( )
A.50℃B.28℃C.20℃D.10℃
4.(2022·四川乐山·七年级期末)为庆祝建党100周年,某党支部制作了精美的纪念章,其质量要求是“克”,则下列纪念章质量符合标准的是( )
A.49.70克B.50.30克C.50.25克D.49.85克
5.(2022·全国·七年级课时练习)中国人很早就开始使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放着表示正数,斜放着表示负数,如图(1)表示.按照这种表示法,如图(2)表示的是( )
A.B.C.D.
6.(2022·内蒙古呼和浩特·三模)2020年,中尼两国领导人共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米.2022年5月4日,我国科考队员成功在珠峰海拔8830米处架设自动气象观测站,这是全世界海拔最高的自动气象观测站.若将自动气象观测站作为基准,记珠峰山顶为+18.86米,则海平面应记为( )
A.-8830米B.0米C.-8848.86米D.+8830米
二、填空题(每题3分)
7.(2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中)如果向东80米记作+80米,那么向西60米记作___________米.
8.(2022·江苏南通·七年级期末)某书店举行图书促销活动,每位促销人员以销售50本为基准,超过记为正,不足记为负,其中5名促销人员的销售结果如下(单位:本):4,2,1,-6,-3,这5名销售人员共销售图书 _____本.
9.(2022·四川成都·七年级期末)等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线,在等高线上标注的数字为该等高线的海拔.如图,吐鲁番盆地的等高线标注为﹣155m,表示此处的高度 _____海平面155米(填高于或低于).
10.(2022·宁夏银川·七年级期末)下表是某市汽油价格调整情况:
与上一年年底相比,11月9日的汽油价格是___________(填“上升”或“下降”)了___________元;
11.(2022·江苏无锡·七年级期末)桌子上放有6枚正面朝上的硬币,每次翻转其中的4枚,至少翻转_________次能使所有硬币都反面朝上.
12.(2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室七年级期中)某种零件,标明要求是mm(表示直径,单位:毫米),经检查,一个零件的直径是mm,该零件______(填“合格”或“不合格”).
三、解答题(13题5分,14题6分,15题7分)
13.(2021·广东广州·七年级期中)体育课上全班男生进行了百米测试,达标成绩为14秒,下面是第一小组8名男生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于14秒,“﹣”表示成绩小于14秒.
(1)求这个小组男生百米测试的达标率是多少?
(2)求这个小组8名男生的平均成绩是多少?
14.(2020·贵州·清镇市卫城中学七年级期中)小明是“环保小卫士”,他经常关心环境天气的变化,最近他了解到这周白天的平均气温如下表(“+”表示比前一天升高,“-”表示比前一天下降,单位:℃)
已知上周周日平均气温是16.9℃,解答下列问题:
(1)计算这周每天的平均气温.
(2)这周周几白天的平均气温最高?最高是多少?
(3)小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃,最低气温是4.2℃,用一句话概括本地的气温变化.
15.(2021·山西晋中·七年级期中)中秋节时,小雨陪妈妈一起去购买月饼,妈妈买了一盒某品牌月饼(共计6枚).回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明,然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下(单位:克):
(1)小雨为了简化运算,选取了一个恰当的标准质量,依据这个标准质量,他把超出的部分记为正,不足的部分记为负,列出下表(不完整).
请把下列表格补充完整:
(2)小雨看到包装说明上标记的总质量为(420±2)克,他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的你知道为什么吗?请通过计算说明.
一
二
三
四
五
六
日
结余
聪聪
10
-5.20
0
-4.80
5
-3
-2
慧慧
8
0
0
-6
-1
0
0
日期
收入或支出
结余
备注
1日
4.5
17.5
卖可回收物
5日
买书,不足部分由妈妈代付
零钱明细
(元)
扫二维码付款
-20
微信红包收入
+200
微信红包发出
-100
月 份
1
2
3
4
5
6
比上年同月增长%
1.8
0
0.2
1.5
0.3
0.4
时间
1月14日
3月25日
6月1日
6月30日
7月28日
9月1日
9月29日
11月9日
价格变化/(元/吨)
-140
+290
+400
+600
-220
+300
-190
+480
-1.2
+0.7
0
-1
-0.3
+0.2
+0.3
+0.5
星期
一
二
三
四
五
六
日
气温变化
+1.11
-0.3
+0.2
+0.4
+1
+1.4
-0.3
第n枚
1
2
3
4
5
6
质量
69.3
70.2
70.8
69.6
69.4
71
第n枚
1
2
3
4
5
6
质量
+0.2
﹣0.4
+1
专题1.1 正数和负数
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⒈正数和负数的概念
负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
(3)0表示一个确切的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
考点精讲
考点1:正数与负数
典例:下列说法正确的个数是( )
①加正号的数是正数,加负号的数是负数;
②任意一个正数,前面加上“-”,就是一个负数;
③0是最小的正数; ④大于零的数是正数; ⑤字母a既是正数,又是负数.
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数、负数的概念逐个判断即可.
【详解】
解:对于①:加正号的数不一定是正数,如+(-5)=-5是负数,加负号的数不一定是负数,如-(-5)=5是正数,故①错误;
对于②:任意一个正数,前面加上“-”,就是一个负数,故②正确;
对于③:0既不是正数,也不是负数,故③错误;
对于④:大于0的数是正数,故④正确;
对于⑤:如果a是正数,就必定不是负数,故⑤错误;
所以正确的有:②、④,
故选:C.
方法或规律点拨
本题考查正数和负数的概念,解答本题的关键是明确正数、负数的定义.
巩固练习
1.(2022·贵州贵阳·中考真题)下列各数为负数的是( )
A.B.0C.3D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据负数的定义即可求解.
【详解】
解:是负数.
故选A.
【点睛】
本题考查了负数的意义,掌握负数的定义是解题的关键,正数前添加一个负号,即为负数.
2.(2022·安徽宿州·模拟预测)在,1,0,这四个数中,是负数的是( )
A.B.1C.0D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正负数的意义分析即可.
【详解】
解:由题意可知:
∵,
∴是负数,
故选:A.
【点睛】
本题考查正负数的意义,解题的关键是掌握正负数的意义,大于0的是正数,小于0的是负数,0既不是正数也不是负数.
3.(2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室一模)有如下一些数:3,,0,,,其中负数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据负数的概念求解即可.
【详解】
解:负数有:,,
∴共有2个负数,
故选∶A.
【点睛】
此题考查了负数的概念,解题的关键是熟练掌握负数的概念.
4.(2022·全国·七年级)下列各数是负分数的是( )
A.B.C.D.0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据负分数的定义,即可解答.
【详解】
解:A、−7是负整数,故A错误,不符合题意;
B、是正分数,故B错误,不符合题意;
C、-1.5=是负分数,故C正确,符合题意;
D、0既不是正数也不是负数,故D错误,不符合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查了负分数,解决本题的关键是理解负分数的定义.
5.(2022·广东深圳·二模)在2,0,,四个数中,负数是( )
A.2B.0C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正数前面加上“−”的数是负数,或负数都小于0,可得此题结果.
【详解】
解:2,0,,四个数中负数是;
故选C
【点睛】
此题考查了正负数的概念,关键是能根据概念和性质进行正负数的辨别.
考点2:相反意义的量
典例:(2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中)如果向东走6米记作+6米,那么向西走5米记作______米.
【答案】-5
【解析】
【分析】
审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.
【详解】
解:∵向东走6米,记作+6米,
∴向西走5米应记作﹣5米.
故答案为:﹣5.
方法或规律点拨
此题考查了正负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
巩固练习
1.(2021·广西·平乐县教育局教研室二模)如果收入3元记作+3元,那么支出5元记作( )
A.+5元B.﹣5元C.+3元D.﹣3元
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反意义的量的定义(按照指定方向的标准来划分,规定指定方向为正方向的数用正数表示,则向指定方向的相反的方向变化用负数表示)即可得.
【详解】
解:因为“收入”与“支出”是一对具有相反意义的量,
所以如果收入3元记作元,那么支出5元记作元,
故选:B.
【点睛】
本题考查了相反意义的量,熟记相反意义的量的定义是解题关键.
2.(2022·云南·盈江县教育体育局教育科研中心模拟预测)挂起来的水银温度计上,水银柱从0℃位置升高一段距离后温度为+5℃,则水银柱从0℃位置下降相同距离后温度为( )
A.-5℃B.-10℃C.0℃D.+10℃
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正负数的意义即可求解.
【详解】
解:由水银柱从0℃位置升高一段距离后温度为+5℃,
则可得0℃向上记为正,则向下记为负,且距离相同,故为-5℃,
故选A.
【点睛】
本题考查了相反意义的量,解题的关键是掌握正数和负数相反意义的量的基础知识.
3.(2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模)中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.某仓库运进小麦6吨,记为 +6吨,那么仓库运出小麦8吨应记为( )吨.
A.+8B.-8C.±8D.-2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正负数的意义,直接写出答案即可.
【详解】
解:因为题目运进记为正,那么运出记为负,
所以运出面粉8吨应记为-8吨,故B正确.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了正数和负数,根据互为相反意义的量,确定运出的符号,是解决本题的关键.
4.(2022·广西柳州·模拟预测)如果盈利100元记为元,那么元表示( )
A.亏损80元B.盈利80元C.亏损20元D.盈利20元
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“正”和“负”所表示的意义直接求解即可.
【详解】
解:如果盈利100元记为元,那么元表示亏损80元,
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了正数和负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
5.(2021·全国·七年级单元测试)如果增加记作,那么减少记作( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正负数的意义判断即可;
【详解】
解:如果增加记作,那么减少记作,
故选: A.
【点睛】
本题考查了正负数表示两种相反意义的量: 一方用正数表示,则另一方用负数表示.
考点3:正负数在实际生活中的应用
注:本考点的问题多数答案都应用有理数加减法和绝对值解决问题,老师们可根据情况调整答案。
典例:(2022·全国·七年级课时练习)聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支,每天坚持记录自己当天的收支情况如下表,是她们上周各天收支情况(记收入为正,单位:元)
根据上表回答下列问题:
(1)分别说出聪聪这一行中10,0,-2各数的实际意义.
(2)把上表补充完整.
【答案】(1)见解析
(2)-4,1
【解析】
【分析】
(1)10意义是收入10元,0意义是收支平衡,-2意义是支出了2元.
(2)先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和,结果为-4,慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和,结果为1,然后填入下表.
(1)10是收入10元,0是收支平衡,-2是支出了2元.
(2)聪聪周日的收支情况为:-2-(10-5.20+0-4.80+5-3)=-2-2=-4,
慧慧本周的结余情况为:8+0+0-6-1+0+0=1,
根据计算完成下表
法或规律点拨
本题考查了有理数加减的应用,解决问题的关键是清楚知道收支的正负,熟练进行有理数的加减运算.(1)按收入为正,支出为负回答.(2)先计算出聪聪本周日的收支数据,慧慧本周的结余数据,而后填表.方巩固练习
1.(2022·全国·七年级课时练习)小明积极配合小区进行垃圾分类,并把可回收物拿到废品收购站回收换钱,这样既保护了环境,又可以为自己积攒一些零花钱.下表是他12月份的部分收支情况(单位:元).
其中表格中“”表示的意思是( )A.卖可回收物换回的钱B.买书的钱
C.买书时妈妈代付的钱D.买书的钱与妈妈代付的钱之和
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正负数的意义求解即可.
【详解】
解:由题意得:“”表示的意思是买书时妈妈代付的钱,
故选C.
【点睛】
本题主要考查了正负数的意义,解题的关键在于能够正确理解题意.
2.(2021·辽宁·沈阳市光明初级中学七年级阶段练习)有四包洗衣粉,每包以标准克数(500克)为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的是( ).
A.+6B.-7C.-4D.+9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正负数的绝对值越小,越接近标准,可得答案.
【详解】
解:,
C越接近标准,
故选:C.
【点睛】
本题考查了正数和负数,绝对值越小越接近标准,正确理解题意是解题的关键.
3.(2022·湖南株洲·七年级期末)如表是某微信用户的零钱明细,按照这种表示方法,“+60”表示的是( )
A.微信红包发出60元B.微信红包收入60元
C.微信余额60元D.微信扫描二维码付款60元
【答案】B
【解析】
【分析】
由表可知可以表示微信红包收入60元.
【详解】
解:由表可知可以表示微信红包收入60元
故选B.
【点睛】
本题考查了正负数的应用.解题的关键在于理解正负数的意义.
4.(2022·全国·七年级)图纸上一个零件的标注为,表示这个零件直径的标准尺寸是30mm,实际合格产品的直径最小可以是29.98mm,最大可以是_____mm,现有另一零件的标注为Φ■其零件直径的标准尺寸有些模糊,已知该零件的七个合格产品,直径尺寸分别为73.1mm.72.7mm,72.8mm,73.2mm,72.9mm,73.3mm,72.6mm,则该零件的标准尺寸可能是_____mm(写出一个满足条件的尺寸,结果保留一位小数).
【答案】 ; 72.9(或73.0,73.1,73.2)(答案不唯一)
【解析】
【分析】
审清题意,明确正数和负数表示的意义,根据题意作答.
【详解】
解:(1)由题意得:这个零件的直径尺寸超过标准尺寸时记为正,低于标准尺寸时记为负,所以最大尺寸为30+0.02=30.02mm;
(2)给出的七个合格产品尺寸最大为73.3mm,最小尺寸为72.6mm,所以标准尺寸在73.3﹣0.4=72.9mm和72.6+0.6=73.2mm之间.
故答案为:30.02;答案不唯一,72.9(或73.0,73.1,73.2).
【点睛】
本题考查正负数的意义,理解题意准确计算是解题关键.
5.(2022·全国·七年级课时练习)某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示.请根据表格信息回答下列问题:
(1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比,哪几个月是增长的?
(2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思?
(3)2021年上半年与2020年上半年同月相比,营业额没有增长的是哪几个月?
【答案】(1)3月,5月,6月是增长的
(2)负数表示降低,营业额下降
(3)没有增长的是1月,2月,4月
【解析】
【分析】
(1)根据正数表示增长,可得负数表示降低;
(2)根据正数表示增长,可得负数表示降低;
(3)根据正数表示增长,可得负数表示降低,0表示不变.
(1)由正数表示增长,该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比,3月、5月、6月是增长的;
(2)由负数表示降低,可得2021年1月和4月比上年同月增长率是负数,表示降低,营业额下降;
(3)2021年上半年与2020年上半年同月相比,营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月.
【点睛】
本题考查了正数和负数,相反意义的量用正数和负数表示.
考点4:古典文化中的正数与负数
典例:(2022·河南南阳·三模)中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中,用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负).如图1表示的算式是,根据这种表示法,可推算出图2所表示的算式是_______.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据正负数的意义求解即可.
【详解】
解:由题意可知:
图2中红色有3根,故为,黑色有6根,故为,
∴图2表示的算式为:.
故答案为:
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义,解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字.
巩固练习
1.(2022·广东·普宁市教育局教研室二模)中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数,如果收入200元记作元,那么元表示( )
A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元
【答案】C
【解析】
【分析】
首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.
【详解】
解:根据题意,收入200元记作+200元,
则表示支出80元.
故选:C
【点睛】
此题主要考查了正负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
2.(2022·四川乐山·七年级期末)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数,若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若向东走9米记作米,则米表示( )
A.向东走5米B.向西走5米C.向东走4米D.向西走4米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据具有相反意义的量求解即可.
【详解】
解:∵向东走9米记作米,
∴米表示向西走5米,
故选B
【点睛】
本题考查了具有相反意义的量,理解相反数的意义是解题的关键.
3.(2022·河南·郑州外国语中学三模)我国在数的发展史上有辉煌的成就,早在东汉初,我国著名的数学专著《九章算术》明确提出了“正负术”.如果盈利100元记为元,那么元表示( )
A.亏损80元B.盈利80元C.亏损20元D.盈利20元
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意盈利100元记为元,即得出元表示亏损80元.
【详解】
元表示亏损80元.
故选A.
【点睛】
本题考查正负数的实际应用.掌握正负数在实际生活中所表达的含义是解题关键.
4.(2021·福建·晋江市季延中学七年级期中)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,如果收入100元记作,那么表示为( )
A.收入40元B.支出40元C.收入60元D.支出60元
【答案】D
【解析】
【分析】
首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.
【详解】
解:若收入100元记作+100,则元表示支出60元.
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了正负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
5.(2021·北京师范大学实验华夏女子中学七年级期中)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.比如顺时针转5圈记作+5,那么逆时针转8圈记作( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先明确“正”和“负”所表示的意义进行分析作答即可.
【详解】
解:顺时针转5圈记作+5,那么逆时针转8圈记作−8.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查正负数的意义,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
5.(2022·广西·中考真题)负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,负数与对应的正数“数量相等,意义相反”,如果向东走了5米,记作+5米,那么向西走5米,可记作______米.
【答案】
【解析】
【分析】
根据用正负数表示两种具有相反意义的量,如果向东走了5米,记作+5米,那么向西走5米,可记作米.
【详解】
解:∵向东走了5米,记作+5米,
∴向西走5米,可记作米,
故答案为:.
【点睛】
本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量,熟练掌握用正负数表示两种具有相反意义的量是解答本题的关键.相反意义的量:按照指定方向的标准来划分,规定指定方向为正方向的数用正数表示,则向指定方向的相反的方向变化用负数表示,正与负是相对的.
能力提升
一、单选题(每题3分)
1.(2022·广西桂林·中考真题)在东西向的马路上,把出发点记为0,向东与向西意义相反.若把向东走2km记做“+2km”,那么向西走1km应记做( )
A.﹣2kmB.﹣1kmC.1kmD.+2km
【答案】B
【解析】
【分析】
在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
【详解】
解:若把向东走2km记做“+2km”,那么向西走1km应记做﹣1km.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查正数与负数,理解正数与负数的意义是解题的关键.
2.(2022·云南·昆明八中模拟预测)中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路,线路北起中国西南地区的昆明市,南向到达老挝首都万象市,是“一带一路”上最成功的样板工程.从长期看将会使老挝每年的总收入提升,若表示提升,则表示( )
A.提升B.提升C.下降D.下降
【答案】C
【解析】
【分析】
用正负数表示意义相反的两种量:一种记作正,则和它意义相反的就记作负,根据题意求解即可.
【详解】
解:若正数表示提升,则负数表示下降,表示提升,则表示下降,
故选:C.
【点睛】
此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.
3.(2022·贵州遵义·二模)游泳时为了避免抽筋,最合适的水温是( )
A.50℃B.28℃C.20℃D.10℃
【答案】B
【解析】
【分析】
结合人的体温进行估算.
【详解】
解:人的正常体温在左右,故最适合的水温为.
故选:B.
【点睛】
本题考查了对生活中有理数的估算,一定的生活常识是解题的关键.
4.(2022·四川乐山·七年级期末)为庆祝建党100周年,某党支部制作了精美的纪念章,其质量要求是“克”,则下列纪念章质量符合标准的是( )
A.49.70克B.50.30克C.50.25克D.49.85克
【答案】D
【解析】
【分析】
将质量要求50±0.20克化为50−0.20克至50+0.20克,即可求解.
【详解】
解:∵质量要求是50±0.20克,
∴质量要求是50−0.20克至50+0.20克,
∵50−0.20=49.80,50+0.20=50.20,
∴质量要求是49.80克至50.20克,
∵49.80<49.85<50.20,
∴49.85克符合标准,
故选:D.
【点睛】
本题考查正数和负数,解题的关键是将50±0.20克化为50−0.20克至50+0.20克.
5.(2022·全国·七年级课时练习)中国人很早就开始使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放着表示正数,斜放着表示负数,如图(1)表示.按照这种表示法,如图(2)表示的是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出算式即可求解.
【详解】
解:根据题意知,图②表示的算式为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查数学常识,正数与负数,解题的关键是理解正负数的表示,列出算式,读懂题意是解答关键.
6.(2022·内蒙古呼和浩特·三模)2020年,中尼两国领导人共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米.2022年5月4日,我国科考队员成功在珠峰海拔8830米处架设自动气象观测站,这是全世界海拔最高的自动气象观测站.若将自动气象观测站作为基准,记珠峰山顶为+18.86米,则海平面应记为( )
A.-8830米B.0米C.-8848.86米D.+8830米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目可知,以自动气象观测站作为基准,往上为正,则下即为负即可求解;
【详解】
解:根据题意,以自动气象观测站作为基准,往上为正,则下即为负;
珠峰山顶为+18.86米,所以海平面应记为-8830米;
故选:A.
【点睛】
本题主要考查正数、负数的实际应用,正确理解题意是解题的关键.
二、填空题(每题3分)
7.(2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中)如果向东80米记作+80米,那么向西60米记作___________米.
【答案】-60
【解析】
【分析】
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:向东记为正,则向西就记为负,直接得出结论即可.
【详解】
解:如果向东行走80米记作+80米,那么向西行走60米,应记作-60米.
故答案为:-60.
【点睛】
此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.
8.(2022·江苏南通·七年级期末)某书店举行图书促销活动,每位促销人员以销售50本为基准,超过记为正,不足记为负,其中5名促销人员的销售结果如下(单位:本):4,2,1,-6,-3,这5名销售人员共销售图书 _____本.
【答案】248
【解析】
【分析】
以50本为标准记录的5个数字相加,即可计算结果.
【详解】
解:由题意可知:4+2+1-6-3=-2,
∴这5名销售人员共销售图书 :50×5-2=248(本),
故答案为:248.
【点睛】
本题考查的是有理数的加减运算,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.
9.(2022·四川成都·七年级期末)等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线,在等高线上标注的数字为该等高线的海拔.如图,吐鲁番盆地的等高线标注为﹣155m,表示此处的高度 _____海平面155米(填高于或低于).
【答案】低于
【解析】
【分析】
首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.
【详解】
解:海平面的海拔高度为0米,吐鲁番盆地的等高线标注为,表示此处的高度地低于海平面155米.
故答案为:低于.
【点睛】
此题主要考查了正负数的意义,解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
10.(2022·宁夏银川·七年级期末)下表是某市汽油价格调整情况:
与上一年年底相比,11月9日的汽油价格是___________(填“上升”或“下降”)了___________元;
【答案】 上升 480
【解析】
【分析】
根据正负数的意义求解即可.
【详解】
解:由题意得,与上一年年底相比,11月9日的汽油价格是上升了480元;
故答案为:上升,480.
【点睛】
本题主要考查了正负数的实际应用,正确理解正负数的意义是解题的关键.
11.(2022·江苏无锡·七年级期末)桌子上放有6枚正面朝上的硬币,每次翻转其中的4枚,至少翻转_________次能使所有硬币都反面朝上.
【答案】3
【解析】
【分析】
用“”表示正面朝上,用“”表示正面朝下,找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案
【详解】
用“”表示正面朝上,用“”表示正面朝下,
开始时
第一次
第二次
第三次
至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上.
故答案为:3
【点睛】
本题考查了正负数的应用,根据朝上和朝下的两种状态对应正负号,尝试最少的次数满足题意是解题的关键.
12.(2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室七年级期中)某种零件,标明要求是mm(表示直径,单位:毫米),经检查,一个零件的直径是mm,该零件______(填“合格”或“不合格”).
【答案】不合格
【解析】
【分析】
根据某种零件,标明要求是mm,先求解零件尺寸的要求范围,再比较即可得到答案.
【详解】
解: 某种零件,标明要求是mm,
零件的尺寸要求为:大于或等于
小于或等于
mm不在上面范围内,故不合格,
故答案为:不合格
【点睛】
本题考查的是正负数的含义,有理数的加减运算的实际应用,掌握“正负数的实际意义”是解本题的关键.
三、解答题(13题5分,14题6分,15题7分)
13.(2021·广东广州·七年级期中)体育课上全班男生进行了百米测试,达标成绩为14秒,下面是第一小组8名男生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于14秒,“﹣”表示成绩小于14秒.
(1)求这个小组男生百米测试的达标率是多少?
(2)求这个小组8名男生的平均成绩是多少?
【答案】(1)这个小组男生百米测试的达标率是62.5%;(2)这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒.
【解析】
【分析】
(1)根据非正数是达标数,解得达标数,再将达标数除以总人数即可解题;
(2)计算数据的总和,再除以8即可解题.
【详解】
解:(1)达标人数为5,达标率为×100%=62.5%.
答:这个小组男生百米测试的达标率是62.5%;
(2)=﹣0.1(秒),
14﹣0.1=13.9(秒).
答:这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒.
【点睛】
本题考查正数、负数的实际应用,掌握非正数是达标数是解题关键.
14.(2020·贵州·清镇市卫城中学七年级期中)小明是“环保小卫士”,他经常关心环境天气的变化,最近他了解到这周白天的平均气温如下表(“+”表示比前一天升高,“-”表示比前一天下降,单位:℃)
已知上周周日平均气温是16.9℃,解答下列问题:
(1)计算这周每天的平均气温.
(2)这周周几白天的平均气温最高?最高是多少?
(3)小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃,最低气温是4.2℃,用一句话概括本地的气温变化.
【答案】(1),,,,,,;(2)周六白天的平均气温最高,最高是;(3)本地温差变化不大.(答案不唯一,合理即可)
【解析】
【分析】
(1) 只需依次相加即可分别求出这一周每天的平均气温;
(2) 根据前面的计算结果和历史数据比较就可以得到结论;
(3) 根据前面两题的解答,用自己的话总结本地的气温即可.
【详解】
解:(1)周一的平均气温:;
周二的平均气温:;
周三的平均气温:;
周四的平均气温:;
周五的平均气温:;
周六的平均气温:;
周日的平均气温:.
(2),
所以,这周周六白天的平均气温最高,最高是.
(3)由于本地的平均气温同期历史最高气温是,最低气温是,
所以本地温差变化不大.(答案不唯一,合理即可)
【点睛】
本题考查正负数的实际应用,需要掌握正负数的加减运算法则,考查了运算求解能力.
15.(2021·山西晋中·七年级期中)中秋节时,小雨陪妈妈一起去购买月饼,妈妈买了一盒某品牌月饼(共计6枚).回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明,然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下(单位:克):
(1)小雨为了简化运算,选取了一个恰当的标准质量,依据这个标准质量,他把超出的部分记为正,不足的部分记为负,列出下表(不完整).
请把下列表格补充完整:
(2)小雨看到包装说明上标记的总质量为(420±2)克,他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的你知道为什么吗?请通过计算说明.
【答案】(1)﹣0.7;+0.8;﹣0.6;(2)合格,见解析
【解析】
【分析】
(1)根据(1)中第2、4、6个计数即可得出基准质量,然后对比即可;
(2)求出6枚月饼的总质量是否在418克到422克之间,即可得出答案.
【详解】
解:(1)根据(1)中第2个重量记作+0.2,第4个重量记作﹣0.4,第6个重量记作+1,所以这个基准质量为,70.2−0.2=70(克).
∴第1个重量记作69.3−70=﹣0.7,
第3个重量记作70.8−70=+0.8,
第5个重量记作69.4−70=−0.6,
故答案为:﹣0.7;+0.8;﹣0.6;
(2)∵6枚月饼的总质量为:69.3+70.2+70.8+69.4+71+69.6=420.3(克)
∵说明书上标记的总质量为420±2克,
即总质量在418克到422克之间为合格,
∴可以判定总质量式合格的.
【点睛】
本题主要考查了正数和负数的计算,根据题意列式计算是解决本题的关键.
一
二
三
四
五
六
日
结余
聪聪
10
-5.20
0
-4.80
5
-3
-2
慧慧
8
0
0
-6
-1
0
0
一
二
三
四
五
六
日
结余
聪聪
10
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-4.80
5
-3
-4
-2
慧慧
8
0
0
-6
-1
0
0
1
日期
收入或支出
结余
备注
1日
4.5
17.5
卖可回收物
5日
买书,不足部分由妈妈代付
零钱明细
(元)
扫二维码付款
-20
微信红包收入
+200
微信红包发出
-100
月 份
1
2
3
4
5
6
比上年同月增长%
1.8
0
0.2
1.5
0.3
0.4
时间
1月14日
3月25日
6月1日
6月30日
7月28日
9月1日
9月29日
11月9日
价格变化/(元/吨)
-140
+290
+400
+600
-220
+300
-190
+480
-1.2
+0.7
0
-1
-0.3
+0.2
+0.3
+0.5
星期
一
二
三
四
五
六
日
气温变化
+1.11
-0.3
+0.2
+0.4
+1
+1.4
-0.3
第n枚
1
2
3
4
5
6
质量
69.3
70.2
70.8
69.6
69.4
71
第n枚
1
2
3
4
5
6
质量
+0.2
﹣0.4
+1
人教版七年级数学上册同步精品讲义第08讲专题2.2整式的加减讲练-【学生版+解析】: 这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第08讲专题2.2整式的加减讲练-【学生版+解析】,共80页。试卷主要包含了合并同类项,去括号的法则,整式的加减,整式加减的步骤,6=0等内容,欢迎下载使用。
人教版七年级数学上册同步精品讲义第15讲专题4.3角-【学生版+解析】: 这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第15讲专题4.3角-【学生版+解析】,共108页。试卷主要包含了 角,角的表示,角的度量,角的性质,角的平分线,余角和补角,183°=18°10′58等内容,欢迎下载使用。
人教版七年级数学上册同步精品讲义第14讲专题4.2直线、射线、线段-【学生版+解析】: 这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第14讲专题4.2直线、射线、线段-【学生版+解析】,共109页。试卷主要包含了直线,点和直线的位置关系有两种,线段的性质,线段的中点,直线的性质等内容,欢迎下载使用。