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人教版七年级数学上册同步精品讲义第10讲专题3.1-3.3一元一次方程及其解法讲练-【学生版+解析】
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这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第10讲专题3.1-3.3一元一次方程及其解法讲练-【学生版+解析】，共75页。试卷主要包含了一元一次方程的概念，一元一次方程的解，等式的性质， 移项， 解一元一次方程的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
专题3.1-3.3 一元一次方程及其解法讲练
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1.一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：-1．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论．
【详解】解：方程x+2y=5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A项错误；
方程x2+x-1=0中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B项错误；
代数式不是等式，更不是一元一次方程，故C项错误；
方程3x+1= 10含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项正确；
C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；
D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．该方程中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．由已知方程得到：﹣6﹣3＝5，该等式既不成立也不含有未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，方程的两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．熟练掌握定义是解题的关键．
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，
④，⑤是一元一次方程，共2个,
故选B
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
①是方程；
②，不含有未知数，故不是方程；
③不是等式，故不是方程；
④是方程；
⑤是方程；
⑥不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程可得答案．
【详解】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②，即，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故③不符合题意；
④，即，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．熟练掌握一元一次方程的定义是关键．
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】±1
【分析】根据一元一次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
即．
故答案为：±1
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出，即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，
解得，
的值可以是．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
【答案】-4
【分析】根据一元一次方程的定义进行计算即可．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）
【详解】解：由题意得：
|a|-3=1且a-4≠0，
∴a=±4且a≠4，
∴a=-4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
∵关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，代数式求值，求得的值是解题的关键．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
【答案】7
【分析】根据题意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m＋n求解即可．
【详解】解：由题意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．
【详解】A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
【答案】B
【分析】将x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，将该整体代入6a-2b-2中即可得出答案．
【详解】解：将x=3代入ax-b=5中得：
3a-b=5，
所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
【答案】A
【分析】将x＝1代入原方程即可计算出a的值．
【详解】解：将x＝1代入ax+2x＝1得：
a+2＝1，
解得a＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的相关知识是解题的关键．
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把代入各个方程计算求解即可．
【详解】把代入，可得：
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解的判定，准确计算分析是解题的关键．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
【答案】B
【分析】把x=2代入方程ax=5-3x得出2a=5-6，再求出方程的解即可．
【详解】解：把x=2代入方程ax=5-3x得：2a=5-6，
解得：a=，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
【答案】5
【分析】将代入方程，求出a即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
【答案】
【分析】把代入，然后得出关于k的方程，据此进一步求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关概念．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
【答案】##0.4
【分析】把x＝﹣2代入方程即可求出：．
【详解】解：把x＝﹣2代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是理解一元一次方程的解的定义：使等号两边相等的未知数的值叫做方程的解
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
【答案】1
【分析】根据方程解的定义可得，把x=3代入方程，即可得出答案．
【详解】把x=3代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
【答案】-6
【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值，然后代入求值即可．
【详解】解：把x=1代入6-（m-x）=5x，得6-（m-1）=5×1．
解得m=2．
所以m2-6m+2=22-6×2+2=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查了方程的解、代数式求值．解答关键是理解方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
【答案】C
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
B.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
C.如果，那么，选项正确，符合题意；
D.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
故选：C．
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、若5x=7-4x，则5x+4x=7，故该选项不符合题意；
B、若7x=2，则x=，故该选项不符合题意；
C、若x-3（4x-1）=9，则x-12x+3=9，故该选项不符合题意；
D、若，则2（3x-2）=x+2-6，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判定即可．
【详解】解：A．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
B．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
C．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
D．若，则，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则进行判断即可．
【详解】解：A、变形为，故A错误，不符合题意；
B、变形得：，故B错误，不符合题意；
C、得：，故C错误，不符合题意；
D、得，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键．
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断．
【详解】A.由，得，故该选项错误，不符合题意；
B. 由，得，故该选项正确，符合题意；
C. 由，得，故该选项错误，不符合题意；
D. 由，得，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟悉等式的性质是解题的关键.
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，等式无意义，故此选项符合题意；
B、由可以得到，故此选项不符合题意；
C、由可以得到，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A、若，当时，两边都除以无意义，故此选项不符合题意；
B、若，两边都乘以，得，故此选项符合题意；
C、若，得或，故此选项不符合题意；
D、若，两边都乘以，得，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），等式仍成立．
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，且那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 若，则a＝b，故该选项正确，符合题意；
B. 若，则3x＋4x＝12，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若ab＝bc，当时，a＝c，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若4x＝a，则x＝a，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解，等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【详解】A. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
C. 由，得，故该选项正确，符合题意；
D. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：A、由方程两边都加即可得出，则此项错误，不符合题意；
B、由方程两边都除以4即可得出，则此项正确，符合题意；
C、由方程两边同乘以得，则此项错误，不符合题意；
D、由去括号得，再两边都加上4可得，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果2a= 1，那么a=，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果a=b，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意；
C. 如果a=b，那么a+c=b+c，故该选项正确，符合题意；
D. 如果a－b+c=0，那么a=b-c，故该选项错误，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质对每一个选项的变形进行核查，即可得到正确解答．
【详解】解：①、由方程 = 2去分母，得x﹣12＝10，正确；
②、由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝8，错误；
③、由方程两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，错误；
④、由方程 两边同除以 ，得x＝，错误；
故选D．
【点睛】本题考查等式的应用，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A．x可能为0，等式两边不能同时除以0，故该选项不符合题意；
B．a+1可能为0，等式两边不能同时除以0，故该选项不符合题意；
C．等式的左边减了5，右边先乘了﹣1，又加了5，故该选项不符合题意；
D．∵a2≥0，
∴a2+1＞0，
等式两边都除以一个正数，结果仍是等式，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边都加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．根据等式性质2，若a=b，m≠0，则，结论正确，故选项A不符合题意；
B．根据等式性质2，若a=b，则a2=b2，结论正确，故选项B不符合题意；
C．根据等式性质1，若a=b，则a+2c=b+2c，结论正确，故选项C不符合题意；
D．当c=0时，若ac=bc，则a不一定等于b，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题关键是熟知等式的性质，并注意在等式性质2中，同时除以的时候不能除以0．
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质分别进行判断．
【详解】解：A、若，则，故此选项错误，不符合题意；
B、若，则，故此选项错误，不符合题意；
C、若，则，正确，符合题意；
D、若，则，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是正确掌握等式的基本性质．
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】移项后可直接得出答案．
【详解】解：移项得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（2）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（3）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（4）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解．
（1）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：移项并合并同类项，得
系数化为1，得；
（4）解：移项并合并同类项，得，
系数化为1，得．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
【答案】B
【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得：
整理得：
解得：
故选B.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将方程两边系数化1，即可得到方程的解．
【详解】解：，
系数化1：，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，能够掌握解一元一次方程的步骤是解决本题的关键．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的方法，求出方程x+2=3的解即可．
【详解】解：∵x+2=3，
∴x=3-2，
∴x=1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
【答案】2
【分析】将x=3代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：将x=3代入方程得：9-2m-5=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
【答案】6
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【详解】解：把x=1代入，得3×1-k+5=2，
解得 k=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
【答案】－3
【分析】先解第一个方程得到x的值，再把x的值代入到第二个方程可得k．
【详解】解：解方程5x+3=3x-1得，x=-2，
把x=-2代入x-1=k中，k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查同解方程，能熟练解一元一次方程是解题的关键．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
【答案】
【分析】求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出m的值即可．
【详解】解：方程3x+5＝11，
解得：x＝2，
把x＝2代入得：12+3m＝22，
解得：m＝．
【点睛】此题考查了同解方程，同解方程即为方程解相同的方程．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
【答案】x=-1
【分析】方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：移项得：-2x=8-6，
合并得：-2x=2，
系数化为1得：x=-1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（1）
移项得：
合并得：
（2）
移项得：
合并得：
（3）
移项得：
合并得：
系数化为1得：
（4）
移项得：
合并得：
系数化为1得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程方法，解题的关键是要熟练掌握步骤．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
解：去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
（2）解：去分母，得：
去括号，得
移项、合并得
系数化为1，得
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
【答案】
【分析】把代入原方程，计算即可求出k的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解本题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
【答案】-8
【分析】根据题意列方程，然后进行解答即可得出a的值．
【详解】解：根据题意得：5a+1=3（a-5），
去括号得：5a+1=3a-15，
移项合并同类项得：2a=-16，
解得：a=-8．
故答案为：-8
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，关键在于根据题意列出方程．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
【答案】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解答即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
【答案】
【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项合并同类项得：，
两边都除以4，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
【答案】
【分析】方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去括号得：x+2x﹣2＝8+x，
移项得：3x﹣x＝8+2，
合并得：2x＝10，
系数化为1得：x＝5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：3x=11，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：根据题中的新定义得：（−2）※5＝−2−2×5＝−2−10＝−12；
（2）根据题中的新定义得：
2−2（x＋1）＝10，
去括号得：2−2x−2＝10，
移项合并得：−2x＝10，
系数化为1得：x＝−5．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
（1）根据题中的新定义得：
（2）根据题中的新定义得：，，，．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可；
（4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．
（1）解：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（2）解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（3）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（4）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键．
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】方程两边同时乘以6即可．
【详解】解：去分母，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质，把方程的等号的左右两边分别乘6，判断出去分母结果正确的是哪个即可．
【详解】解：解方程时，去分母结果正确的是：3（3x-1）=6-2（x+3）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．
【详解】解：由题意得的解为，
∴，
解得，
∴，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．
【详解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程变形错误，不符合题意；
②由，去分母得2x-3x-3=6；方程变形错误，不符合题意；
③由，去括号得4x-2-3x+9=1；正确，符合题意；
④由，得x=．方程变形错误，不符合题意；
综上，正确的是③，只1个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质解决本题．
【详解】解：第步去分母，根据等式的基本性质等式两边同乘一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步的系数化为，根据等式的基本性质等式两边同除以一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步和第步变形的依据是等式的基本性质．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键．
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
【答案】C
【分析】根据去分母法解一元一次方程进行判断即可．
【详解】解：
去分母，得3(y+2)+2(2y-1)=12
去括号，得3y+6+4y-2=12
∴选项A，B，D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程——去分母，解题关键是掌握解一元一次方程的步骤．
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），
去括号，得2-4x-10=5x+15，
移项合并，得-9x=23，
把x系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
【答案】(1)x＝5(2)x＝-5
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：5x+2＝7x﹣8
移项得：5x﹣7x＝﹣8﹣2，
合并得：﹣2x＝﹣10，
解得：x＝5；
（2）
解：
去分母得：3（x﹣1）+12＝2（2+x），
去括号得：3x﹣3+12＝4+2x，
移项得：3x﹣2x＝4+3﹣12，
合并得：x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：去括号得：6x-10-12x+9=0，
移项得：6x-12x=10-9，
合并得：-6x=1，
解得：；
（2）去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，
去括号得：3x-9-4x-2=6，
移项得：3x-4x=6+9+2，
合并得：-x=17，
解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解题步骤是解题的关键，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
【答案】x＝
【分析】方程两边同时乘以6，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可作答．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项．
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
【答案】(1)(2)
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可得解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
（1）解：移项，得6x﹣4x=﹣5+7，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1；
（2）解：去分母，得2（4x﹣1）＝ 6﹣（3x﹣1），
去括号，得8x﹣2＝6﹣3x+1，
移项，得 8x+3x＝6+1+2，
合并同类项，得 11x＝9，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
【答案】(1)x=6；(2)x=-2．
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：移项得：32x-16x=32+64，
合并得：16x=96，
系数化为1得：x=6；
（2）解：去分母得：4（1-x）-12x=36-3（x+2），
去括号得：4-4x-12x=36-3x-6，
移项得：-4x-12x+3x=36-6-4，
合并得：-13x=26，
系数化为1得：x=-2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
（2）去分母，移项，合并同裂项，系数化为1．
（1），
去括号得 ，
整理得
（2），
去分母得 ，
整理得
【点睛】本题考查方程的化简求解，需熟练掌握其运算方法．
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1计算即可；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1计算即可．
（1）
解：去括号，
移项、合并，
化系数为1，；
（2）
解：去分母，
去括号，
移项、合并，
化系数为1，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并准确计算是本题的关键．
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
【答案】m的值是-．
【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可．
【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同，
把x=代入，
得：，
∴m=-．
故m的值是-．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
【答案】(1)-27(2)2
【分析】（1）根据新定义运算的公式计算即可；
（2）根据新定义运算的公式列出方程后，解方程即可．
（1）解：（﹣3）★2＝；
故答案为：﹣27；
（2）根据题意得：
★3=
3a
＝8a
∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝，
整理得：8a＝16，
解得：a＝2．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
【答案】B
【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，据此即可求解．
【详解】解：对于来说，
∵当x=1.5时，＞0；
当x=1.8时，＜0；
∴方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，
观察四个选项，1.64在此范围之内，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，
解得m=-5．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
【答案】D
【分析】方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（等式的基本性质1 ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
【答案】B
【分析】根据题意可得：min{x，-x}或，所以或，据此求出的值即可．
【详解】规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，能根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【分析】首先根据题意，设“□”处的系数是y，则4y+1=4×4-3，然后根据解一元一次方程的方法，求出他把“□”处的系数看成了多少即可．
【详解】解：设“□”处的系数是y，
则4y+1=4×4-3，
∴4y+1=13，
移项得
4y=13-1，
合并同类项得
4y=12，
系数化为1得y=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
【答案】D
【分析】根据新定义的运算，得出关于m的一元一次方程求解确定m=3，然后再代入新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，
∴m＋2m＋1=10，
解得m=3，
∴x*y＝3x＋3y＋1，
∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解题目中新定义的运算方法是解题关键．
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
【答案】
【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，
∵方程有无穷多个解，
∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝，b＝﹣，
则a﹣b＝+ ＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根据题意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程，得：
，
，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，
4k＋bk＋2a﹣2＝0，
，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1．
则a＋b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
【答案】11
【分析】先求出的解，再将解代入中，即可求得k的值．
【详解】解：解可得：，
将代入可得：，
解得：，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了解一元一次方程及同解方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
【答案】2或4##4或2
【分析】通过解一元一次方程即可解答．
【详解】解：
移项得，
化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，
∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
【答案】-1
【分析】根据a¤b=ab+a-b+3，可得-3x-3-x+3=4，再解方程即可．
【详解】解：∵a¤b=ab+a-b+3，
∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，
∴-4x=4，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查解一元一次方程，正确理解定义的运算法则，列出方程是解题的关键．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
【答案】 4 2
【分析】（1）根据：，求出的值是多少即可．
（2）根据：，可得：2×4﹣2（1﹣x）＝10，据此求出x的值是多少即可．
【详解】解：（1）∵，
∴1×2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．
故答案为：4
（2）∵，
∴2×4﹣2（1﹣x）＝10，
∴2x+6＝10，
解得x＝2．
故答案为：2
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，
故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
【答案】15
【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
解方程：，
，
，
，
根据题意列出方程，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
【答案】2
【分析】根据x的一元一次方程的解为，
得到，根据题意，得，
从而得到即x=y+1，代入计算即可．
【详解】∵x的一元一次方程的解为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x=y+1=3，
解得y=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解解得意义是解题的关键．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
【答案】(1)−2(2)y＝6或y＝−2
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为|y−2|＝4，根据绝对值的意义得到y−2＝4或y−2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1且m＋1≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：2x−8＝0，解得x＝4，
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝−2；
（2）解：方程化为|y−2|＝4，
∴y−2＝4或y−2＝−4，
∴y＝6或y＝−2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．掌握相关定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可；
（2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求．
（1）解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
=
=（16a-8）x+6，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a-8=0，
解得：a=；
（2）解：方程bx-b-3=0，
整理得：x=1+，
∵解是正整数，
∴b=1或3，
当b=1时，=；
当b=3时，．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】解：（1）由题意，得，
解得，
答：当时，代数式与的值互为相反数；
（2），
，
，
解得，
方程和的解相同，
把代入得，
解得，
答：当时，关于的方程和的解相同．
【点睛】此题考查解一元一次方程，涉及到相反数的性质，同解方程的概念等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
【分析】先求出第一个方程的解，把求出的x代入第二个方程，再求出k即可．
【详解】解：解方程得：，
由题意得：，
解得：．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可．
（1），，而，所以不是“商解方程”；
（2），，，关于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1(2)5(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）解： ∵x2+3x-4=0，
∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，
∴（9-k）x=17，
根据题意得：9-k≠0，
∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此时x=17，1，-17，-1，
∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，有1个未知数，且未知数的指数为1的整数方程是一元一次方程，判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
C、中未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是本题的关键．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根据等式的性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意；
B．由，得，原等式变形正确，故此选项符合题意；
C．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意；
D．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，等式仍然成立．理解和掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】仔细审题，x与5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根据可列出方程．
【详解】解：由题意列方程式为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
【答案】C
【分析】根据图形的变化发现第n个图案中有（3n＋1）个正三角形和n个正方形，共（4n＋1）个，进而可得n的值．
【详解】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形，
第②个图案有7个三角形和2个正方形，
第③个图案有10个三角形和3个正方形，
…
依此规律，
所以第n个图案中正三角形和正方形的个数：3n＋1＋n＝4n＋1，
4n＋1＝2021，
则n＝505．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解．
【详解】解∶如下图，
设小长方形的长为y，宽为x，则，
图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
【答案】3
【分析】将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元一次方程的解为，
，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是理解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
【答案】2
【分析】根据相反数的定义列方程3x＋2＋x﹣10＝0，再求解方程即可．
【详解】解：∵代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，
∴3x＋2＋x﹣10＝0，
整理得：4x﹣8＝0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方、相反数的性质等知识点，根据相反数的性质列出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
【答案】x=0
【分析】转化为：，根据图表求得一元一次方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∵根据图表知：当时，，
∴方程的解为：，
∴方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
【答案】 甲和乙 x＝﹣1
【分析】（1）由题意可知，甲和乙都在去分母时出现错误；
（2）写出正确的解题过程即可．
【详解】解：（1）解答过程出现错误的同学是甲和乙；
（2）解方程 ，
，
2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，
6x+2﹣x+7＝4，
6x﹣x＝4﹣2﹣7，
5x＝﹣5，
x＝﹣1．
故答案为：（1）甲和乙；（2）x＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
【答案】 3x 1
【分析】（1）根据整式的加法求解即可；
（2）由题意得x+2x=3x，2x+3=n，3x+n=y，据此解答．
【详解】解：（1）用含x的式子表示m=x+2x=3x；
（2）∵
当时，
解得，x=-1
∴n=2x+3=1
故答案为：3x，1．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，解答本题的关键是明确题目约定的规则，然后再进一步解答．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)．
【分析】移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可.
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可．
（1）解：移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：.
（2）解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：.
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案．
（2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解．
(1)解：由题意得，
剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：，
因此周长为：，
面积为：．
(2)由题意得，
，
解得，
a的值为．
【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
【答案】(1)是，理由见解析(2)a的值为101或109
【分析】（1）根据新定义的概念进行分析计算；
（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．
（1）是，理由如下：，解得：，，解得：或，∵，∴关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”；
（2），解得：，，解得：或，∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，①当时，解得：；②当时，解得：，综上，a的值为101或109．
【点睛】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
专题3.1-3.3 一元一次方程及其解法讲练
目标导航
1.一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：-1．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论．
【详解】解：方程x+2y=5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A项错误；
方程x2+x-1=0中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B项错误；
代数式不是等式，更不是一元一次方程，故C项错误；
方程3x+1= 10含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项正确；
C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；
D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．该方程中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
C．该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．由已知方程得到：﹣6﹣3＝5，该等式既不成立也不含有未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，方程的两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．熟练掌握定义是解题的关键．
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，
④，⑤是一元一次方程，共2个,
故选B
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
①是方程；
②，不含有未知数，故不是方程；
③不是等式，故不是方程；
④是方程；
⑤是方程；
⑥不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程可得答案．
【详解】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②，即，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故③不符合题意；
④，即，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．熟练掌握一元一次方程的定义是关键．
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
【答案】±1
【分析】根据一元一次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
即．
故答案为：±1
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出，即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，
解得，
的值可以是．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
【答案】-4
【分析】根据一元一次方程的定义进行计算即可．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）
【详解】解：由题意得：
|a|-3=1且a-4≠0，
∴a=±4且a≠4，
∴a=-4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
∵关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，代数式求值，求得的值是解题的关键．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
【答案】7
【分析】根据题意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m＋n求解即可．
【详解】解：由题意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．
【详解】A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
【答案】B
【分析】将x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，将该整体代入6a-2b-2中即可得出答案．
【详解】解：将x=3代入ax-b=5中得：
3a-b=5，
所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
【答案】A
【分析】将x＝1代入原方程即可计算出a的值．
【详解】解：将x＝1代入ax+2x＝1得：
a+2＝1，
解得a＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的相关知识是解题的关键．
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把代入各个方程计算求解即可．
【详解】把代入，可得：
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解的判定，准确计算分析是解题的关键．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
【答案】B
【分析】把x=2代入方程ax=5-3x得出2a=5-6，再求出方程的解即可．
【详解】解：把x=2代入方程ax=5-3x得：2a=5-6，
解得：a=，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
【答案】5
【分析】将代入方程，求出a即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
【答案】
【分析】把代入，然后得出关于k的方程，据此进一步求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关概念．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
【答案】##0.4
【分析】把x＝﹣2代入方程即可求出：．
【详解】解：把x＝﹣2代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是理解一元一次方程的解的定义：使等号两边相等的未知数的值叫做方程的解
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
【答案】1
【分析】根据方程解的定义可得，把x=3代入方程，即可得出答案．
【详解】把x=3代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
【答案】-6
【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值，然后代入求值即可．
【详解】解：把x=1代入6-（m-x）=5x，得6-（m-1）=5×1．
解得m=2．
所以m2-6m+2=22-6×2+2=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查了方程的解、代数式求值．解答关键是理解方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
【答案】C
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
B.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
C.如果，那么，选项正确，符合题意；
D.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
故选：C．
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、若5x=7-4x，则5x+4x=7，故该选项不符合题意；
B、若7x=2，则x=，故该选项不符合题意；
C、若x-3（4x-1）=9，则x-12x+3=9，故该选项不符合题意；
D、若，则2（3x-2）=x+2-6，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判定即可．
【详解】解：A．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
B．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
C．由，得，原式错误，故此选项不符合题意；
D．若，则，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则进行判断即可．
【详解】解：A、变形为，故A错误，不符合题意；
B、变形得：，故B错误，不符合题意；
C、得：，故C错误，不符合题意；
D、得，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键．
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断．
【详解】A.由，得，故该选项错误，不符合题意；
B. 由，得，故该选项正确，符合题意；
C. 由，得，故该选项错误，不符合题意；
D. 由，得，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟悉等式的性质是解题的关键.
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，等式无意义，故此选项符合题意；
B、由可以得到，故此选项不符合题意；
C、由可以得到，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A、若，当时，两边都除以无意义，故此选项不符合题意；
B、若，两边都乘以，得，故此选项符合题意；
C、若，得或，故此选项不符合题意；
D、若，两边都乘以，得，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），等式仍成立．
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，且那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 若，则a＝b，故该选项正确，符合题意；
B. 若，则3x＋4x＝12，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若ab＝bc，当时，a＝c，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若4x＝a，则x＝a，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解，等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【详解】A. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
C. 由，得，故该选项正确，符合题意；
D. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：A、由方程两边都加即可得出，则此项错误，不符合题意；
B、由方程两边都除以4即可得出，则此项正确，符合题意；
C、由方程两边同乘以得，则此项错误，不符合题意；
D、由去括号得，再两边都加上4可得，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果2a= 1，那么a=，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果a=b，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意；
C. 如果a=b，那么a+c=b+c，故该选项正确，符合题意；
D. 如果a－b+c=0，那么a=b-c，故该选项错误，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质对每一个选项的变形进行核查，即可得到正确解答．
【详解】解：①、由方程 = 2去分母，得x﹣12＝10，正确；
②、由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝8，错误；
③、由方程两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，错误；
④、由方程 两边同除以 ，得x＝，错误；
故选D．
【点睛】本题考查等式的应用，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A．x可能为0，等式两边不能同时除以0，故该选项不符合题意；
B．a+1可能为0，等式两边不能同时除以0，故该选项不符合题意；
C．等式的左边减了5，右边先乘了﹣1，又加了5，故该选项不符合题意；
D．∵a2≥0，
∴a2+1＞0，
等式两边都除以一个正数，结果仍是等式，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边都加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．根据等式性质2，若a=b，m≠0，则，结论正确，故选项A不符合题意；
B．根据等式性质2，若a=b，则a2=b2，结论正确，故选项B不符合题意；
C．根据等式性质1，若a=b，则a+2c=b+2c，结论正确，故选项C不符合题意；
D．当c=0时，若ac=bc，则a不一定等于b，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题关键是熟知等式的性质，并注意在等式性质2中，同时除以的时候不能除以0．
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质分别进行判断．
【详解】解：A、若，则，故此选项错误，不符合题意；
B、若，则，故此选项错误，不符合题意；
C、若，则，正确，符合题意；
D、若，则，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是正确掌握等式的基本性质．
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】移项后可直接得出答案．
【详解】解：移项得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（2）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（3）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（4）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解．
（1）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：移项并合并同类项，得
系数化为1，得；
（4）解：移项并合并同类项，得，
系数化为1，得．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
【答案】B
【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得：
整理得：
解得：
故选B.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将方程两边系数化1，即可得到方程的解．
【详解】解：，
系数化1：，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，能够掌握解一元一次方程的步骤是解决本题的关键．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的方法，求出方程x+2=3的解即可．
【详解】解：∵x+2=3，
∴x=3-2，
∴x=1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
【答案】2
【分析】将x=3代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：将x=3代入方程得：9-2m-5=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
【答案】6
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【详解】解：把x=1代入，得3×1-k+5=2，
解得 k=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
【答案】－3
【分析】先解第一个方程得到x的值，再把x的值代入到第二个方程可得k．
【详解】解：解方程5x+3=3x-1得，x=-2，
把x=-2代入x-1=k中，k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查同解方程，能熟练解一元一次方程是解题的关键．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
【答案】
【分析】求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出m的值即可．
【详解】解：方程3x+5＝11，
解得：x＝2，
把x＝2代入得：12+3m＝22，
解得：m＝．
【点睛】此题考查了同解方程，同解方程即为方程解相同的方程．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
【答案】x=-1
【分析】方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：移项得：-2x=8-6，
合并得：-2x=2，
系数化为1得：x=-1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（1）
移项得：
合并得：
（2）
移项得：
合并得：
（3）
移项得：
合并得：
系数化为1得：
（4）
移项得：
合并得：
系数化为1得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程方法，解题的关键是要熟练掌握步骤．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
解：去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
（2）解：去分母，得：
去括号，得
移项、合并得
系数化为1，得
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
【答案】
【分析】把代入原方程，计算即可求出k的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解本题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
【答案】-8
【分析】根据题意列方程，然后进行解答即可得出a的值．
【详解】解：根据题意得：5a+1=3（a-5），
去括号得：5a+1=3a-15，
移项合并同类项得：2a=-16，
解得：a=-8．
故答案为：-8
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，关键在于根据题意列出方程．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
【答案】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解答即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
【答案】
【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项合并同类项得：，
两边都除以4，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
【答案】
【分析】方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去括号得：x+2x﹣2＝8+x，
移项得：3x﹣x＝8+2，
合并得：2x＝10，
系数化为1得：x＝5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：3x=11，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：根据题中的新定义得：（−2）※5＝−2−2×5＝−2−10＝−12；
（2）根据题中的新定义得：
2−2（x＋1）＝10，
去括号得：2−2x−2＝10，
移项合并得：−2x＝10，
系数化为1得：x＝−5．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
（1）根据题中的新定义得：
（2）根据题中的新定义得：，，，．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可；
（4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．
（1）解：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（2）解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（3）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
（4）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键．
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】方程两边同时乘以6即可．
【详解】解：去分母，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质，把方程的等号的左右两边分别乘6，判断出去分母结果正确的是哪个即可．
【详解】解：解方程时，去分母结果正确的是：3（3x-1）=6-2（x+3）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．
【详解】解：由题意得的解为，
∴，
解得，
∴，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．
【详解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程变形错误，不符合题意；
②由，去分母得2x-3x-3=6；方程变形错误，不符合题意；
③由，去括号得4x-2-3x+9=1；正确，符合题意；
④由，得x=．方程变形错误，不符合题意；
综上，正确的是③，只1个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质解决本题．
【详解】解：第步去分母，根据等式的基本性质等式两边同乘一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步的系数化为，根据等式的基本性质等式两边同除以一个不为的数，等式仍然成立，得．
第步和第步变形的依据是等式的基本性质．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键．
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
【答案】C
【分析】根据去分母法解一元一次方程进行判断即可．
【详解】解：
去分母，得3(y+2)+2(2y-1)=12
去括号，得3y+6+4y-2=12
∴选项A，B，D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程——去分母，解题关键是掌握解一元一次方程的步骤．
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），
去括号，得2-4x-10=5x+15，
移项合并，得-9x=23，
把x系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
【答案】(1)x＝5(2)x＝-5
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：5x+2＝7x﹣8
移项得：5x﹣7x＝﹣8﹣2，
合并得：﹣2x＝﹣10，
解得：x＝5；
（2）
解：
去分母得：3（x﹣1）+12＝2（2+x），
去括号得：3x﹣3+12＝4+2x，
移项得：3x﹣2x＝4+3﹣12，
合并得：x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：去括号得：6x-10-12x+9=0，
移项得：6x-12x=10-9，
合并得：-6x=1，
解得：；
（2）去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，
去括号得：3x-9-4x-2=6，
移项得：3x-4x=6+9+2，
合并得：-x=17，
解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解题步骤是解题的关键，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
【答案】x＝
【分析】方程两边同时乘以6，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可作答．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项．
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
【答案】(1)(2)
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可得解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
（1）解：移项，得6x﹣4x=﹣5+7，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1；
（2）解：去分母，得2（4x﹣1）＝ 6﹣（3x﹣1），
去括号，得8x﹣2＝6﹣3x+1，
移项，得 8x+3x＝6+1+2，
合并同类项，得 11x＝9，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
【答案】(1)x=6；(2)x=-2．
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：移项得：32x-16x=32+64，
合并得：16x=96，
系数化为1得：x=6；
（2）解：去分母得：4（1-x）-12x=36-3（x+2），
去括号得：4-4x-12x=36-3x-6，
移项得：-4x-12x+3x=36-6-4，
合并得：-13x=26，
系数化为1得：x=-2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
（2）去分母，移项，合并同裂项，系数化为1．
（1），
去括号得 ，
整理得
（2），
去分母得 ，
整理得
【点睛】本题考查方程的化简求解，需熟练掌握其运算方法．
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1计算即可；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1计算即可．
（1）
解：去括号，
移项、合并，
化系数为1，；
（2）
解：去分母，
去括号，
移项、合并，
化系数为1，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并准确计算是本题的关键．
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
【答案】m的值是-．
【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可．
【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同，
把x=代入，
得：，
∴m=-．
故m的值是-．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
【答案】(1)-27(2)2
【分析】（1）根据新定义运算的公式计算即可；
（2）根据新定义运算的公式列出方程后，解方程即可．
（1）解：（﹣3）★2＝；
故答案为：﹣27；
（2）根据题意得：
★3=
3a
＝8a
∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝，
整理得：8a＝16，
解得：a＝2．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
【答案】B
【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，据此即可求解．
【详解】解：对于来说，
∵当x=1.5时，＞0；
当x=1.8时，＜0；
∴方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，
观察四个选项，1.64在此范围之内，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，
解得m=-5．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
【答案】D
【分析】方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（等式的基本性质1 ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
【答案】B
【分析】根据题意可得：min{x，-x}或，所以或，据此求出的值即可．
【详解】规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，能根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【分析】首先根据题意，设“□”处的系数是y，则4y+1=4×4-3，然后根据解一元一次方程的方法，求出他把“□”处的系数看成了多少即可．
【详解】解：设“□”处的系数是y，
则4y+1=4×4-3，
∴4y+1=13，
移项得
4y=13-1，
合并同类项得
4y=12，
系数化为1得y=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
【答案】D
【分析】根据新定义的运算，得出关于m的一元一次方程求解确定m=3，然后再代入新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，
∴m＋2m＋1=10，
解得m=3，
∴x*y＝3x＋3y＋1，
∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解题目中新定义的运算方法是解题关键．
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
【答案】
【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，
∵方程有无穷多个解，
∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝，b＝﹣，
则a﹣b＝+ ＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根据题意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程，得：
，
，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，
4k＋bk＋2a﹣2＝0，
，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1．
则a＋b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
【答案】11
【分析】先求出的解，再将解代入中，即可求得k的值．
【详解】解：解可得：，
将代入可得：，
解得：，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了解一元一次方程及同解方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
【答案】2或4##4或2
【分析】通过解一元一次方程即可解答．
【详解】解：
移项得，
化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，
∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
【答案】-1
【分析】根据a¤b=ab+a-b+3，可得-3x-3-x+3=4，再解方程即可．
【详解】解：∵a¤b=ab+a-b+3，
∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，
∴-4x=4，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查解一元一次方程，正确理解定义的运算法则，列出方程是解题的关键．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
【答案】 4 2
【分析】（1）根据：，求出的值是多少即可．
（2）根据：，可得：2×4﹣2（1﹣x）＝10，据此求出x的值是多少即可．
【详解】解：（1）∵，
∴1×2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．
故答案为：4
（2）∵，
∴2×4﹣2（1﹣x）＝10，
∴2x+6＝10，
解得x＝2．
故答案为：2
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，
故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
【答案】15
【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
解方程：，
，
，
，
根据题意列出方程，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
【答案】2
【分析】根据x的一元一次方程的解为，
得到，根据题意，得，
从而得到即x=y+1，代入计算即可．
【详解】∵x的一元一次方程的解为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x=y+1=3，
解得y=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解解得意义是解题的关键．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
【答案】(1)−2(2)y＝6或y＝−2
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为|y−2|＝4，根据绝对值的意义得到y−2＝4或y−2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1且m＋1≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：2x−8＝0，解得x＝4，
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝−2；
（2）解：方程化为|y−2|＝4，
∴y−2＝4或y−2＝−4，
∴y＝6或y＝−2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．掌握相关定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可；
（2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求．
（1）解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
=
=（16a-8）x+6，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a-8=0，
解得：a=；
（2）解：方程bx-b-3=0，
整理得：x=1+，
∵解是正整数，
∴b=1或3，
当b=1时，=；
当b=3时，．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】解：（1）由题意，得，
解得，
答：当时，代数式与的值互为相反数；
（2），
，
，
解得，
方程和的解相同，
把代入得，
解得，
答：当时，关于的方程和的解相同．
【点睛】此题考查解一元一次方程，涉及到相反数的性质，同解方程的概念等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
【分析】先求出第一个方程的解，把求出的x代入第二个方程，再求出k即可．
【详解】解：解方程得：，
由题意得：，
解得：．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可．
（1），，而，所以不是“商解方程”；
（2），，，关于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1(2)5(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）解： ∵x2+3x-4=0，
∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，
∴（9-k）x=17，
根据题意得：9-k≠0，
∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此时x=17，1，-17，-1，
∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，有1个未知数，且未知数的指数为1的整数方程是一元一次方程，判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
C、中未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是本题的关键．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根据等式的性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意；
B．由，得，原等式变形正确，故此选项符合题意；
C．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意；
D．由，得，原等式变形不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，等式仍然成立．理解和掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】仔细审题，x与5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根据可列出方程．
【详解】解：由题意列方程式为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
【答案】C
【分析】根据图形的变化发现第n个图案中有（3n＋1）个正三角形和n个正方形，共（4n＋1）个，进而可得n的值．
【详解】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形，
第②个图案有7个三角形和2个正方形，
第③个图案有10个三角形和3个正方形，
…
依此规律，
所以第n个图案中正三角形和正方形的个数：3n＋1＋n＝4n＋1，
4n＋1＝2021，
则n＝505．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解．
【详解】解∶如下图，
设小长方形的长为y，宽为x，则，
图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
【答案】3
【分析】将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元一次方程的解为，
，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是理解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
【答案】2
【分析】根据相反数的定义列方程3x＋2＋x﹣10＝0，再求解方程即可．
【详解】解：∵代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，
∴3x＋2＋x﹣10＝0，
整理得：4x﹣8＝0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方、相反数的性质等知识点，根据相反数的性质列出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
【答案】x=0
【分析】转化为：，根据图表求得一元一次方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∵根据图表知：当时，，
∴方程的解为：，
∴方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
【答案】 甲和乙 x＝﹣1
【分析】（1）由题意可知，甲和乙都在去分母时出现错误；
（2）写出正确的解题过程即可．
【详解】解：（1）解答过程出现错误的同学是甲和乙；
（2）解方程 ，
，
2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，
6x+2﹣x+7＝4，
6x﹣x＝4﹣2﹣7，
5x＝﹣5，
x＝﹣1．
故答案为：（1）甲和乙；（2）x＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
【答案】 3x 1
【分析】（1）根据整式的加法求解即可；
（2）由题意得x+2x=3x，2x+3=n，3x+n=y，据此解答．
【详解】解：（1）用含x的式子表示m=x+2x=3x；
（2）∵
当时，
解得，x=-1
∴n=2x+3=1
故答案为：3x，1．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，解答本题的关键是明确题目约定的规则，然后再进一步解答．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)．
【分析】移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可.
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可．
（1）解：移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：.
（2）解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：.
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案．
（2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解．
(1)解：由题意得，
剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：，
因此周长为：，
面积为：．
(2)由题意得，
，
解得，
a的值为．
【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
【答案】(1)是，理由见解析(2)a的值为101或109
【分析】（1）根据新定义的概念进行分析计算；
（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．
（1）是，理由如下：，解得：，，解得：或，∵，∴关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”；
（2），解得：，，解得：或，∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，①当时，解得：；②当时，解得：，综上，a的值为101或109．
【点睛】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．x
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