江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（创新部）

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（创新部），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，，直线过点，且两点在直线的同侧，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．“或”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，B．，C．，D．1，
4．已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．D．
8．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
10．已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
11．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为6
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
12．已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程为B．线段的中点到y轴的距离为
C．线段的长度为D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ．
14．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若，则_______．
15．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围是 .
16．已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则 ；设点，若恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．是双曲线C：上任意一点.
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)，求的最小值．
18．已知两点A(－1，2)、B(m，3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
19．已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上任意一点，且的周长等于
(1)求椭圆C的方程；
(2)以M为圆心，为半径作圆M，当圆M与直线l：有公共点时，求面积的最大值．
21．某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的平面直角坐标系中，支架是抛物线的一部分，灯柱经过该抛物线的焦点且与路面垂直，其中为抛物线的顶点，表示道路路面，，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时，要求锥形灯罩的顶到灯柱所在直线的距离是，灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为，求灯柱的高．
22．如图，抛物线的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记，的面积分别为．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）求的最小值．
创新部高一开学考数学参考答案
1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B
8．B【详解】由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，
因为，所以．故选：B．
9．BD【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
10．AD【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确；对于B，与轴交于两点，，解得：，即且，B错误；对于C，设在左侧，由得：，则，设圆：，又，，解得：，
且，，C错误；对于D，由C可知，圆：，
即，，令，解得：或，圆恒过定点或，D正确.
11．CD【详解】由双曲线方程知：，抛物线，对于A，设，则，解得：，A错误；对于B，抛物线准线方程为：，由得：，准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，该圆的面积，C正确；对于D，设和在准线上的投影分别为，
由抛物线定义知：，则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），又，，周长的最小值为，D正确.
12．ACD【详解】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点，即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确；由消去并整理得：，设，则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误；，因此线段的长度为，C正确；显然点，，则，
即，因此，D正确.故选：ACD
13． 14．
15．【详解】设椭圆的左焦点为，连接、，
由题意可知，为、的中点，且，则四边形为矩形，则，又因为，所以，，因为，则，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.
16． 【详解】如下图所示，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，设，则为锐角，设抛物线的准线与轴的交点为，则，由抛物线的定义可知，，，所以，，当点的坐标为时，，则，此时；当点时，若恒成立，则，，.
17．【详解】（1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为.到直线，即直线的距离，到直线，即直线的距离，所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为.
又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数.
（2）解：因为，所以，所以或.所以．当时，的最小值为，
所以的最小值为．
18．【详解】(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈ (0，]，∴k＝∈(－∞，－]，∴α∈.综合①②，直线AB的倾斜角α∈.
19．【详解】（1）由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，
所以动点M的轨迹方程是
（2）由已知可得直线的方程是即，设，
由得，，所以，则，故
20．【详解】（1）因为M为椭圆上任意一点，且的周长等于6，所以，又，
所以，，所以，所以椭圆C的方程为
（2）由（1）知，设点M的坐标为，则由于直线l的方程为，圆M与l有公共点，所以M到l的距离小于或等于圆的半径因为，所以，即又，所以，解得
又，所以，所以因为的面积为，所以当时，的面积取得最大值．
21．【详解】（1）由题意知，，，把代入，得，故．设抛物线在点A处的切线方程为，与抛物线方程联立并消去，得，则，解得 ，故灯罩轴线所在直线的斜率为，其方程为，即．
（2）由，因为灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．故灯罩的轴线与道路路面的交点到y轴的距离为 ，则对于，当时，，从而．而,将代入，得，所以，所以,所以灯柱的高为．
22．【详解】解：（1）∵抛物线的焦点为，∴，∴抛物线方程为；
（2）由已知可得，，由于直线AB的斜率不可能为0，故可设，
联立，消去x并整理得：，设，，则，．
所以，，而，所以（定值）；
（3）直线，可得，同理，
∴，即，
∴，令则，
由对勾函数的性质知在上是增函数，在上是增函数，所以时，，此时．故的最小值是5，此时直线轴．