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江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
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这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
3．将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数与函数是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
7．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A．2030年B．2029年C．2028年D．2027年
8．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B．终边在轴上的角的集合为
C．若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D．用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
10．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是
C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
11．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C．D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知，且，则 ．
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算.
15．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为 .
16．北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是 （从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为 （结果保留两位小数，参考数据：，，）.
四、解答题（70分）
17．已知集合.
(1)求；
(2)若且，求实数的取值范围.
18．已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）
(1)求该函数的解析式并判断其奇偶性；
(2)若实数满足不等式，求实数的取值范围.
19．已知，其中为奇函数，为偶函数.
(1)求与的解析式；
(2)判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
20．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
21．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.
(1)求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）
22．已知函数.
(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
(2)当时，解不等式；
(3)若存在，使得，求实数的取值范围.
2023-2024（下）高一开学考数学试卷参考答案
1．A【详解】解：因为，所以，，
2．A【详解】∵在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，
∴，即，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.
3．D【详解】.故选：D.
4．B【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为，与对应关系一致，B正确.故选：B.
5．B【详解】因为，所以,
6．C【详解】解：，又因为函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C.
7．B【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，∴，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选：B．
8．D【详解】当时，函数在上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满足，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.故选：D
9．AB【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角,所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；对于B,终边在轴上的角的集合为,即，即，正确；对于，若是第三象限角，即，则，当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：
10．AC【详解】A选项：设两组数据的权重为，由，又，可解得，所以这两组数据的权重比值为1，故A正确；B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误；C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确；D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误；故选：AC.
11．AC【详解】，故选项正确；，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.故选：AC.
12．ABD【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD
13．【详解】由，而，
，∴原式．
14．4【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.
15．【详解】解：，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.
16． 双人艇 【详解】由已知得，当时，，代入解得，当时，，故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.故答案为：双人艇；
17．(1).(2).
【详解】（1）由题意，则，解得，所以，
又，所以.
（2）因为，，即，所以，
所以，解得，即实数的取值范围时.
18．(1)，函数为偶函数.(2).
【详解】（1）由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满足，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，则，
又 ,解得 ，，因为的定义域为，关于原点对称，
且，故函数为偶函数.
（2）当时，，设，则
，因为，所以，则，
所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为，
因为函数为偶函数，，则有，又函数在上单调递增，则有，两边平方，得，即，解得，
即实数的取值范围为.
19．(1)，
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，因为，所以，即，
解得，.
（2）的定义域为，，且，
则.
所以，即，所以函数在区间上单调递增.
20．(1)(2)最大值为25；
【详解】（1）因为，所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，此时，
21．(1)(2)27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热
【详解】（1）当时，设，代入，，解得，则，由题意，代入，，，得，所以.
（2）若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，则共需要分钟，故27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热.
22．(1)在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.(2).
(3)或.
【详解】（1）当时， ,
故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，，记 ,
则，故为奇函数，且在上单调递增，
不等式化为，即，即，即，从而由在上单调递增，得，即，解得，故不等式的解集为.
（3）设，则问题转化为存在，使得，又注意到时，，且，可知问题等价于存在，即在上有解.即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
可知，
故的取值范围是或.
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
3．将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数与函数是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
7．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A．2030年B．2029年C．2028年D．2027年
8．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B．终边在轴上的角的集合为
C．若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D．用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
10．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是
C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
11．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C．D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知，且，则 ．
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算.
15．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为 .
16．北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是 （从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为 （结果保留两位小数，参考数据：，，）.
四、解答题（70分）
17．已知集合.
(1)求；
(2)若且，求实数的取值范围.
18．已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）
(1)求该函数的解析式并判断其奇偶性；
(2)若实数满足不等式，求实数的取值范围.
19．已知，其中为奇函数，为偶函数.
(1)求与的解析式；
(2)判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
20．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
21．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.
(1)求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）
22．已知函数.
(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
(2)当时，解不等式；
(3)若存在，使得，求实数的取值范围.
2023-2024（下）高一开学考数学试卷参考答案
1．A【详解】解：因为，所以，，
2．A【详解】∵在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，
∴，即，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.
3．D【详解】.故选：D.
4．B【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为，与对应关系一致，B正确.故选：B.
5．B【详解】因为，所以,
6．C【详解】解：，又因为函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C.
7．B【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，∴，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选：B．
8．D【详解】当时，函数在上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满足，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.故选：D
9．AB【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角,所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；对于B,终边在轴上的角的集合为,即，即，正确；对于，若是第三象限角，即，则，当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：
10．AC【详解】A选项：设两组数据的权重为，由，又，可解得，所以这两组数据的权重比值为1，故A正确；B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误；C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确；D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误；故选：AC.
11．AC【详解】，故选项正确；，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.故选：AC.
12．ABD【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD
13．【详解】由，而，
，∴原式．
14．4【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.
15．【详解】解：，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.
16． 双人艇 【详解】由已知得，当时，，代入解得，当时，，故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.故答案为：双人艇；
17．(1).(2).
【详解】（1）由题意，则，解得，所以，
又，所以.
（2）因为，，即，所以，
所以，解得，即实数的取值范围时.
18．(1)，函数为偶函数.(2).
【详解】（1）由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满足，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，则，
又 ,解得 ，，因为的定义域为，关于原点对称，
且，故函数为偶函数.
（2）当时，，设，则
，因为，所以，则，
所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为，
因为函数为偶函数，，则有，又函数在上单调递增，则有，两边平方，得，即，解得，
即实数的取值范围为.
19．(1)，
(2)函数在区间上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，因为，所以，即，
解得，.
（2）的定义域为，，且，
则.
所以，即，所以函数在区间上单调递增.
20．(1)(2)最大值为25；
【详解】（1）因为，所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，此时，
21．(1)(2)27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热
【详解】（1）当时，设，代入，，解得，则，由题意，代入，，，得，所以.
（2）若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，则共需要分钟，故27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热.
22．(1)在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.(2).
(3)或.
【详解】（1）当时， ,
故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，，记 ,
则，故为奇函数，且在上单调递增，
不等式化为，即，即，即，从而由在上单调递增，得，即，解得，故不等式的解集为.
（3）设，则问题转化为存在，使得，又注意到时，，且，可知问题等价于存在，即在上有解.即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
可知，
故的取值范围是或.
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