人教版八年级数学上册同步精品压轴题第13章轴对称压轴题考点训练(学生版+解析)

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A．B．C．D．
2．将长为2、宽为a(a大于1且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为( )
A．1.8或1.5B．1.5或1.2C．1.5D．1.2
3．如图，在中，，平分，过点A作于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，则的长为( )
A．10B．8C．7D．6
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为
A．5B．6C．7D．8
5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．已知一个等腰三角形内角的度数之比为，则它的顶角的度数为( )
A．B．C．D．
7．在正方形ABCD所在平面上找点P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、△PDA均为等腰三角形，则满足条件的点P( )个．
A．10B．9C．5D．1
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____．
9．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为_______．
10．在锐角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是_____．
11．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ．
12．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 ，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.
13．已知，在等腰中，于点D．以为边作等边，直线交直线于点F，连接．
(1)如图1，与在直线的异侧，且交于点M．
①求证：；
②猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论：
(2)当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论．
14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
(1)求∠CAM的度数；
(2)若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
(3)当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
15．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
第十三章 轴对称压轴题考点训练
1．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：延长交于点，
∵将沿，翻折，顶点，均落在点处，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故选：．
2．将长为2、宽为a(a大于1且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为( )
A．1.8或1.5B．1.5或1.2C．1.5D．1.2
【答案】B
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣(2﹣a)＝2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、(2﹣a)﹣(2a﹣2)＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、(2a﹣2)﹣(2﹣a)＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
3．如图，在中，，平分，过点A作于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，则的长为( )
A．10B．8C．7D．6
【答案】D
【详解】如图，延长、交于点G
∵平分，于点D
∴
，D是的中点
∵
E是的中点，F是的中点，是的中位线，是的中位线
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：D.
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点
的周长为



已知
，故选B
5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)，
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，
故选D．
6．已知一个等腰三角形内角的度数之比为，则它的顶角的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据等腰三角形的角分为顶角和底角，分类讨论为：
设顶角为x，底角为4x，则根据三角形的内角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°；
设底角为x，顶角为4x，则x+x+4x=180°，解得x=30°，则顶角为4x=120°.
故选D.
7．在正方形ABCD所在平面上找点P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、△PDA均为等腰三角形，则满足条件的点P( )个．
A．10B．9C．5D．1
【答案】B
【详解】如图，共有9个符合要求的点P，故选B.
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____．
【答案】2n．
【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为 2n．
故答案为：2n．
9．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为_______．
【答案】69°
【详解】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，

∴
∵
∴
∴
又∵
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴
∴
故答案为69°.
10．在锐角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是_____．
【答案】 ．
【详解】如图，在BA上截取BE=BN，连接CE．
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠EBM=∠NBM，
在△BME与△BMN中，，
∴△BME≌△BMN，
∴ME=MN．
∴CM+MN=CM+ME≥CE．
∴CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，CE最小，
∵∠ABC=60°，BC=2cm，
∴当CE⊥AB时，可得CE=，
∴CM+MN的最小值是．
故答案为：．
11．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ．
【答案】5cm
【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN=OP=×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，
故答案为5cm．
12．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 ，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.
【答案】或
【详解】解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积=CE•CF=，∴△DEF的面积=××﹣=．
②E'在AC延长线上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'(SAS)，∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cs135°=1+8+2××=13，∴S△E'DF'=DE'2=．故答案为或．
13．已知，在等腰中，于点D．以为边作等边，直线交直线于点F，连接．
(1)如图1，与在直线的异侧，且交于点M．
①求证：；
②猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论：
(2)当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】(1)①见解析；②EF+AF=BF，理由见解析；(2)BF+EF=AF，理由见解析
【详解】证明：(1)①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC
∴AB＝AE
∴∠ABF＝∠AEF
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC
∴△ABF≌△ACF(SSS)
∴∠ABF＝∠ACF
∴∠ACF＝∠AEF；
②EF+AF=BF，理由如下：
如图，在CF上取FG=FE，连接EG，
由(1)得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，
∵△AEC是等边三角形
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，
∴∠FCA+∠ECF=60°，
∴∠AEF+∠ECF=60°，
∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，
∴∠EFG=60°，
∵FE=FG，∴△EFG为等边三角形，
∴EG=EF，∠FEG=60°，
∴∠AEF+∠AEG=60°，
又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，
∴∠FEA=∠GEC，
∴△FEA≌△GEC(SAS)，
∴AF=GC，
∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；
(2)BF+EF=AF，理由如下：
如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD
∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°
∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，
∴
∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，
∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，
∴∠AFE=60°，
∴∠CFD=60°，
∴∠EFC=120°，
又∵FH=FC，
∴△FHC是等边三角形，
∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，
∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，
∴∠ACH=∠ECF，
∴△ACH≌△ECF(SAS)，
∴AH=EF，
∴EF+CF=FH+AH=AF，
∴BF+EF=AF．
14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
(1)求∠CAM的度数；
(2)若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
(3)当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】(1)30°；(2)见解析；(3)是定值，理由见解析
【详解】解：(1)是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
(2)与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
(3)是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，
由(2)可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，
与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
15．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线(2)成立(3)成立
【详解】(1)AE是∠FAD的角平分线；
(2)成立，如图，延长FE交AD于点B，
∵E是DC的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；
(3)成立，如图，延长FE交AD于点B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线.