人教版八年级数学上册同步精品压轴题专题09分式方程实际应用的三种考法(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品压轴题专题09分式方程实际应用的三种考法(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了销售利润问题，方案问题，工程问题等内容，欢迎下载使用。

例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．
(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？
(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA(台)与售价xA(万元台)满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB(台)与售价xB(万元/台)满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
(2)现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润．
(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案．
【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
(1)求甲、乙两种衬衫每件的进价；
(2)要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
类型二、方案问题
例．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利(6﹣m)元，试问在(2)的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？(商家出售的纪念品均不低于成本价)
【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒(m为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按(2)中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按(2)中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润(利润＝售价﹣进价)超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
(1)今年这种产品每件售价多少元？
(2)为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
类型三、工程问题
例．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程．
(1)已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
(2)当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．
①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．
(1)已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？
(2)实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？
【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
(1)求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
(2)甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
(2)若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，(其中)．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．
问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．
(1)设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时．
(2)列出方程，完成本题解答．
衬衫价格
甲
乙
进价(元件)
售价(元件)
260
180
专题09 分式方程实际应用的三种考法
类型一、销售利润问题
例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．
(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？
(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元；
(2)当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元
【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为元，
依题意，得：，解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴＝10(元)，
答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．
(2)解：设销售荔枝味饮料m瓶，
则销售桔子味饮料(12000﹣m)瓶，依题意，得：，解得：7200≤m≤8000，
设总销售额w元，则
∵w是m的一次函数，且k＝﹣1＜0，∴当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元
【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元
(2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为()元，
根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
(2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯(120－m)个，总利润为W元，
∵，∴，
根据题意得：，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴时，W最大，且，此时，
答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA(台)与售价xA(万元台)满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB(台)与售价xB(万元/台)满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元
(2)①B型汽车的最低售价为万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元
【解析】(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：＝，
解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10(万元)，
答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；
(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为(t+1)万元/台，
①根据题意，得：(t+1﹣10)[﹣(t+1)+18]≥(t﹣8)(﹣t+14)，解得：t≥，
∴t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台，
答：B型汽车的最低售价为万元/台；
②根据题意，得：w＝(t+1﹣10)[﹣(t+1)+18]+(t﹣8)(﹣t+14)
＝﹣2t2+48t﹣265
＝﹣2(t﹣12)2+23，
∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．
答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．
【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
(2)现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润．
(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】(1)每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；(2)当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元；(3)当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大
【解析】解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，，
答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元．
设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，
则，
根据题意得：，解得：，
为正整数，，，，，，，，合理的方案共有种，
即电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
，，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为：元，
答：当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元．
当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润，
当，即时，随的增大而增大，
，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；
当时，，各种方案利润相同；
当，即时，随的增大而减小，
，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；
答：当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；
当时，，各种方案利润相同；
当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大．
【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
(1)求甲、乙两种衬衫每件的进价；
(2)要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】(1)甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；(2)共有11种进货方案；(3)当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【详解】解：(1)依题意得：，整理，得：，
解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
(2)设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，解得：，
为整数，，答：共有11种进货方案；
(3)设总利润为，则，
①当时，，随的增大而增大，当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当时，，，
(2)中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，(2)中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
类型二、方案问题
例．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利(6﹣m)元，试问在(2)的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？(商家出售的纪念品均不低于成本价)
【答案】(1)购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；(2)共有11种进货方案；(3)当；种70件，种30件时可获利最多；当，种60件，种40件时可获利最多
【详解】解：(1)设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知：
，解得：，．
答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元．
(2)设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得：
，解得：，
只能取正整数，，共有11种情况，
故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件．
(3)销售总利润为，
商家出售的纪念品均不低于成本价，，
根据一次函数的性质，当时，即，
随着增大而增大，
当时，取到最大值；即方案为：种70件，种30件时可获利最多；
当时，即，随着增大而减小，
当时，取到最大值；即方案为：种60件，种40件时可获利最多．
【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒(m为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按(2)中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按(2)中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【答案】(1)每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；(2)购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；(3)①w＝；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元
【解析】解：(1)设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，
，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
(2)设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，
根据题意，得，则，
答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套；
(3)①由题意得：，
，，此时，；
若，则，综上所述：；
②若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：(支，
水银体温计：(支，
此时(盒，(盒，则(元．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润(利润＝售价﹣进价)超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】(1)甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；(2)商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【详解】(1)设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元
根据题意，得： ，∴
当时，，且
∴是方程的解，∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
(2)设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件
∵两种牛奶的总数不超过95件，∴ ，∴
∵销售的总利润(利润＝售价﹣进价)超过371元，∴
∴ ，∴ ，∴
∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
(1)今年这种产品每件售价多少元？
(2)为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
【答案】(1)今年这种产品每件售价为元；(2)有三种方案：方案①：甲产品进货件，乙产品进货件；方案②：甲产品进货件，乙产品进货件；方案③：甲产品进货件，乙产品进货件；方案①的利润更高．
【详解】解：设今年这种产品每件售价为元，
依题意得：，解得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：今年这种产品每件售价为元．
设甲产品进货件，则乙产品进货件．
依题意得：，
解得：，
因此有三种方案：
方案①：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案②：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案③：甲产品进货件，乙产品进货件.
方案①利润：，
方案②利润：，
方案③利润：，
，
方案①的利润更高.
类型三、工程问题
例．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程．
(1)已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
(2)当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．
①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【答案】(1)乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．(2)①36天，②至少40天
【详解】解：(1)设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，题意，得，解方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
(2)①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，
所以甲队单独施工天完成该项工程.
甲队单独施工完成剩余的工程的时间为(天)，
于是甲、乙两队共同施工的时间为(天)．
设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，
则，解方程，得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，
依题意列不等式，得，
解得：
【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．
(1)已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？
(2)实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？
【答案】(1)规定的时间是28天；(2)留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析．
【详解】解：(1)设规定的时间是x天，根据题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解且符合实际意义．
答：规定的时间是28天；
(2)设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天，
根据题意，得，解得，
由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为：
(天)，(天)，
因为，
所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．
答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．
【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天
【详解】(1)设二号施工队单独施工需要天，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解
∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；
(2)一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天
根据题意得：
∴
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天．
【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
(1)求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
(2)甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【答案】(1)道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；(2)乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天
【详解】解：(1)设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米，
依题意，得：，解得：，
．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
(2)设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米，依题意，得：乙工程队施工天数为天，
甲工程队技术改造前施工天数为：天，
技术改造后施工天数为：天．
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
(2)若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，(其中)．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】(1)甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；(2)方案二所用的时间少
【详解】(1)设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，
根据题意，得：，解得：，
检验，当时，，∴原分式方程的解为：，，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
(2)设方案一所用时间为：，
方案二所用时间为，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的时间少．
【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．
问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．
(1)设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时．
(2)列出方程，完成本题解答．
【答案】(1)(x﹣40)；；；(2)甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米
【详解】(1)设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路(x﹣40)米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为＝小时．
故答案为：(x﹣40)；；．
(2)依题意，得：＝，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣40＝160．
答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．
衬衫价格
甲
乙
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售价(元件)
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180