人教版八年级数学上册同步精品讲义专题11.1与三角形有关的线段(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品讲义专题11.1与三角形有关的线段(学生版+解析)，共42页。试卷主要包含了认识三角形的边，掌握并运用三角形三边的关系.，通过观察等内容，欢迎下载使用。

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1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2、掌握并运用三角形三边的关系.
3、了解三角形按边分类的原则和结论.
4、掌握三角形的高，中线及角平分线的概念、画法及相关计算。
5、通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
知识精讲
知识点01 三角形及其分类
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
【知识拓展1】三角形的相关概念
例1．（2021·襄阳阳光学校初二月考）三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【即学即练】
1．（2022.广东八年级期中）如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 。
【知识拓展2】三角形的分类
例2．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，图中小椭圆圈里的表示（ ）
A.直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
知识点02 三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【微点拨】
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识拓展1】已知两边求第三边的范围
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为_________．
【即学即练1】
1．（2021·广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
【知识拓展2】三角形三边关系的应用
例2．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7B．10C．11D．14
【即学即练2】
1．（2022河北七年级月考）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )
A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c
知识点03 三角形的高线、中线和角平分线
1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识拓展1】三角形的高线、中线、角平分线相关概念
例1．（2021·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．①B．①④C．②③D．②④
【即学即练1】
1.（2022·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
2．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【知识拓展2】三角形的高线、中线、角平分线的画法
例1．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
(1)补全△A′B′C′；(2)画出AC边上的中线BD和AC边上的高线BE；(3)求△ABD 的面积 ．
【即学即练2】
1．（2022·福建·连江县凤城中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．
【知识拓展3】三角形的高线、中线、角平分线的相关计算
例1．（2022·绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ）
A．8.4B．9.4C．10.4D．11.
例2．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练3】
1．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级阶段练习）如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则______cm．
2．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
知识点04 三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【知识拓展1】勾股数
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期中）如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法01 利用三角形三边关系证明不等式
【典例1】（2021·绵阳市八年级月考）如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
变式1. （2021•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
考法02 三角形面积的等积变换
【典例2】（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校八年级期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2B．1.5cm2C．1cm2D．0.5cm2
变式1．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，在中，E是上的一点，，D是的中点，且，则________．
变式2．（2021·广西·南宁二中七年级期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线
3．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CEB．∠ADC＝90°C．∠CAD＝∠CBED．∠ACB＝2∠ACF
4. （2021·河北廊坊市·八年级期末）在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3．B．5C．9D．10
5. （2021·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．0
6. （2022·江苏七年级月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
7.（2022·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
8．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
10．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出向右平移6个单位后得到的(2)图中与的关系是：________．
(3)画出的中线AE和的角平分线BF．(4)的面积为________．
题组B 能力提升练
1．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
2．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学一模）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
3．（2022·南通市八一中学初一月考）若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7B．7：5：3C．35：21：15D．6：5：4
4．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
5．（2022·重庆市七年级期中）已知a，b，c是的三边长，则______．
6.（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
7．（2021秋•威县期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
8.（2021•平昌县期末）如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
题组C 培优拔尖练
1.（2021·西安初一期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2020·西安市铁一中学初三一模）如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
3．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A．B．6C．D．
4．（2022·福建省厦门第六中学二模）数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1B．0C．1D．3
5．（2022·广东广州·八年级期中）如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9B．9.5C．10.5D．10
6．（2022·江苏镇江·七年级期末）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
7．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级期中）如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
8．（2022·辽宁·盘山县八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
9．（2022·江苏南京·七年级期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
专题11.1 与三角形有关的线段
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1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2、掌握并运用三角形三边的关系.
3、了解三角形按边分类的原则和结论.
4、掌握三角形的高，中线及角平分线的概念、画法及相关计算。
5、通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
知识精讲
知识点01 三角形及其分类
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
【知识拓展1】三角形的相关概念
例1．（2021·襄阳阳光学校初二月考）三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．
【即学即练】
1．（2022.广东八年级期中）如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 。
【答案】∠BCE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE
【解析】在△BCE中,边BE所对的角是∠BCE,∠CBE所对的边是CE;在△AEC中,边AE所对的角是∠ACE,∠AEC所对的边是AC,∠A为内角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE.
【知识拓展2】三角形的分类
例2．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．
【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，图中小椭圆圈里的表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案．
【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，
∴A表示的是等边三角形，故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法．
知识点02 三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【微点拨】
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识拓展1】已知两边求第三边的范围
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为_________．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系即可求出结论．
【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：．
【点睛】此题考查根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．
【即学即练1】
1．（2021·广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
【答案】6或7或8
【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三
边的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【知识拓展2】三角形三边关系的应用
例2．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7B．10C．11D．14
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；
选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；故选：B．
【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
【即学即练2】
1．（2022河北七年级月考）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )
A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c
【答案】B
分析：根据三角形三边间的关系判断出原式中每个绝对值符号里面的式子的值的正负，再结合绝对值的代数意义进行化简即可.
【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0，
∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B.
点睛：解答本题有以下两个要点：（1）熟知三角形三边间的关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边；（2）熟知绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
知识点03 三角形的高线、中线和角平分线
1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识拓展1】三角形的高线、中线、角平分线相关概念
例1．（2021·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．①B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有 ①． 故选A．
【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质.
【即学即练1】
1.（2022·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】C
【分析】根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解.
【详解】A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故A错误；
B. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故B错误；
C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，故C正确；
D. 三角形的三条高不一定都在三角形内部，因为钝角三角形有两个高在三角形的外部，故D错误；
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角形相关线段的知识点判断，熟练掌握三角形线段的相关内容是解决本题的关键.
2．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
【知识拓展2】三角形的高线、中线、角平分线的画法
例1．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
(1)补全△A′B′C′；(2)画出AC边上的中线BD和AC边上的高线BE；(3)求△ABD 的面积 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4
【分析】（1）根据平移的性质即可补全△；
（2）根据网格即可在边上找一点，使得线段平分的面积，进而可以在图上作出线段；利用格点在图中画出边上的高线即可；（3）根据网格即可求的面积．
(1)解：如图所示，△为所求作三角形；
(2)解：如图所示，为边上的中线；如图所示，为边上的高线；
(3)解：的面积为：．
或者面积．故答案为：4．
【点睛】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
【即学即练2】
1．（2022·福建·连江县凤城中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）
（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）按角平分线的定义画图即可；（2）按中线的定义画图即可；（3）按照高的定义画图即可．
【详解】解：（1）如图所示：AD即为所求；（2）如图所示：BE即为所求；（3）如图所示：BF即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线和高的画法，解题关键是熟练掌握它们的画法，准确画图．
【知识拓展3】三角形的高线、中线、角平分线的相关计算
例1．（2022·绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ）
A．8.4B．9.4C．10.4D．11.
【答案】B
【分析】过点B作AC边上的高BD，根据直角三角形的面积公式即可求出BD，从而求出结论．
【解析】解：如图，过点B作AC边上的高BD．
，，即，解得．
的三条高之和为，故选B．
【点睛】此题考查的是三角形的高和三角形的面积公式，掌握三角形高的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
例2．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差．
【详解】解：∵AD是中线，∴，∵，，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
【即学即练3】
1．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级阶段练习）如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则______cm．
【答案】30
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案．
【详解】解：，，
平分，，同理：，
即故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题关键．
2．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【解析】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12， ∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD= ∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10° 故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
知识点04 三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【知识拓展1】勾股数
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形具有稳定性，多边形具有稳定性需要将其分割成三角形来逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A．是一个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意；
B．五边形被分成一个三角形和一个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意；
C．六边形被分成两个三角形和两个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意；
D．五边形被分成三个三角形，三角形具有稳定性，该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，根据选项中的图形，看其是否全部由三角形构成，结合三角形的稳定性逐项验证是解决问题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期中）如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性即可解答．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
能力拓展
考法01 利用三角形三边关系证明不等式
【典例1】（2021·绵阳市八年级月考）如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
【答案】（1）5个；（2）证明见解析．
【分析】（1）直接找出图中的三角形即可，注意要不重不漏；
（2）利用三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把两个式子相加进行变形即可．
【详解】（1）图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．
（2）证明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边．
变式1. （2021•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．
【点评】本题考查比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答．
考法02 三角形面积的等积变换
【典例2】（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校八年级期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2B．1.5cm2C．1cm2D．0.5cm2
【答案】A
【分析】先由D为BC中点，求出△ABD和△ACD面积，再由点E为AD中点求出△BCE面积，再根据F是CE中点，知阴影部分面积等于△BCE面积的一半，即可求解．
【详解】解：∵D是BC中点，△ABC的面积是8cm2，∴cm2，
∵E是AD中点，∴cm2，cm2，∴cm2，
∵F为CE中点，∴cm2，故选：A．
【点睛】本题考查三角形面积的等积变换，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．
变式1．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，在中，E是上的一点，，D是的中点，且，则________．
【答案】1
【分析】根据高相同时，三角形面积比等于底边之比，分别求出，再根据、，用两式相减即得所求的值．
【详解】∵， D是的中点，∴，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形的面积，灵活运用高相同时面积与边的关系，巧用两个三角形面积中公共部分来转换成所求面积差是解题的关键．
变式2．（2021·广西·南宁二中七年级期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接CD，有中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面积关系求出a的值，即可解决问题．
【详解】解：连接CD，如图：
∵N是AC的中点，∴＝＝1，∴S△ADN＝S△CDN，
同理：S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC的面积是1，∴S△ABN＝S△CBN＝，∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，
∵BM＝BC，∴＝，∴＝＝，＝＝，
∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，
∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：＝﹣a+a+a，解得：a＝，∴S△ADN＝，故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．
【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
2．（2021·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．
【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．
3．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CEB．∠ADC＝90°C．∠CAD＝∠CBED．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
4. （2021·河北廊坊市·八年级期末）在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3．B．5C．9D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的三边不等关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，解答即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合条件的条件是BC=5，
故选：B．
【点睛】此题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
5. （2021·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2个 故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
6. （2022·江苏七年级月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
【答案】70°或30°
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数．
【解析】①如图，当AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．
②如图，当AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°．故答案为：70°或30°．
【点睛】本题主要考查了三角形高的位置情况，充分考虑三角形的高在三角形的内部或外部进行分类讨论是解题的关键．
7.（2022·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
【答案】
【分析】由三角形的面积为： 求解 再利用三角形的中线的概念求解即可得到答案．
【详解】解： 、分别是边上的中线与高，

故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
【答案】稳定
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，故答案为：稳定．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，熟知相关性质是解题的关键．
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）
∵BC∥ED（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=∠2
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
0．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出向右平移6个单位后得到的(2)图中与的关系是：________．
(3)画出的中线AE和的角平分线BF．(4)的面积为________．
【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)4
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质解答即可；（3）找出BC的中点E，连接AE即可，过点B竖直方向的格线正好平分∠ABC，此格线与AC的交点为F，连接BF即可；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个三角形的面积，列式计算即可得解．
(1)如下图所示：即为所求作的三角形；
(2)根据平移的性质得出，AC与A1C1的关系是：平行且相等；故答案为：平行且相等；
(3)如下图所示：AE、BF即为所求作的线段；
(4)．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，（1）中得出各对应点位置是解题关键；（2）掌握平移的性质是解题关键；（3）理解中线和角平分线的定义是解题关键；（3）掌握割补法是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【答案】C
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E是AB的中点，∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
2．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学一模）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】A
【分析】据重心的定义：三角形中各边中线的交点为三角形的重心，结合图形，可知D点为△ABC的重心．
【详解】如图所示，根据图形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN为△ABC的中线，
∵AM，CN交于点D，∴D点为△ABC的重心．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，属于基础题型．
3．（2022·南通市八一中学初一月考）若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7B．7：5：3C．35：21：15D．6：5：4
【答案】C
【分析】首先根据三角形的面积计算出各边上的高的比．
【解析】因为边长之比满足3：5：7，设三边分别为3x、5x、7x，设三边上的高为a，b，c，
由题意得：故这个三角形三边上的高之比为：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积的公式计算．
4．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．
【详解】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，,同理，
依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，
∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．故答案为：72021．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
5．（2022·重庆市七年级期中）已知a，b，c是的三边长，则______．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值中式子的符号后化简即可．
【详解】∵a，b，c是的三边长，∴a+c＞b，b+c＞a，
∴==，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
6.（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20
（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；
【详解】解：（1）如图：

（2）∵S△ABC=AD•BC=CE•AB，∴CE=；
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．
7．（2021秋•威县期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
8.（2021•平昌县期末）如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
【分析】根据三角形的三边关系证得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，从而得到AB+AD+CD＞OB+OC，进而得到AB+AC＞OB+OC．
【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D，
∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．
【点评】本题考出了三角形的三边关系，解题的关键是作辅助线构造三角形．
题组C 培优拔尖练
1.（2021·西安初一期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可判定①；根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
【解析】∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；②正确；
∵F为BC的中点，∴S△ABF＝S△ABC. ④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.综上，正确的结论为①②④，共3个，故选C.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解决问题的关键.
2．（2020·西安市铁一中学初三一模）如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，根据三角形重心定理得到、、是的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答案.
【解析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，
因为G是三角形重心，所以、、是的中线，所以 ，
即，同理，所以，
即= 1:1:1，故选C.
3．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据为的中点，可得，，根据，，可得，设，则，，，求得，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵为的中点∴，，
∵，，∴，设，则，，
∴，，
则，解得，故选：D
【点睛】此题考查与中点有关的三角形面积的计算，解题的关键是掌握同高三角形面积的比等于底边的比．
4．（2022·福建省厦门第六中学二模）数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1B．0C．1D．3
【答案】C
【分析】设B代表的数为x，则AC=3，AB和BC可以用x表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可得到解答．
【详解】解：设B代表的数为x，则由题意可得：AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，BC=BN=6-x，
∴由三角形的三边关系可得： 解之可得：0【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．
5．（2022·广东广州·八年级期中）如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9B．9.5C．10.5D．10
【答案】A
【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝3，△AEG的面积＝3，根据三角形的中线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝3，进而得到△AFG的面积．
【详解】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，
同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×24＝3，
△AEG的面积＝3，
△BCE的面积＝△BDE的面积＋△CDE的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝×△ABC的面积＝12，
连接BG，又∵F、G分别是BE和CE的中点，
∴△EFG的面积＝△BGE的面积＝××△BCE的面积＝△BEC的面积＝×12＝3，
∴△AFG的面积＝△AEF的面积＋△AEG的面积＋△EFG的面积＝3＋3＋3＝9，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．（2022·江苏镇江·七年级期末）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
【答案】##
【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一， 乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，∴，
当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，
∴，∴，
∴当时， 乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
7．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级期中）如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
【答案】##
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴AB•CF=BC•AC，∴CF=，
即CE+EF的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
8．（2022·辽宁·盘山县八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
【答案】4
【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．
【详解】∵AD是△ABC的BC边上的中线，，∴．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴．
设点B到直线AD的距离为h，则，即，∴h=4．
即点B到直线AD的距离为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键．
9．（2022·江苏南京·七年级期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
【答案】0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，

当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，答案为：或
【点睛】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．