人教版八年级数学上册同步精品讲义专题12.1全等三角形(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品讲义专题12.1全等三角形(学生版+解析)，共52页。试卷主要包含了 掌握并能运用全等三角形的性质等内容，欢迎下载使用。

1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角.
2. 掌握并能运用全等三角形的性质
知识精讲
知识点01 全等图形
知识点
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
【微点拨】
1）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【知识拓展1】全等图形的辨别
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
1．（2022·山东济南·七年级期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·八年级课时练习）下列各组图形中，属全等图形的是（ ）
A．周长相等的两个等腰三角形B．面积相等的两个长方形
C．面积相等的两个直角三角形D．周长相等的两个圆
【知识拓展2】全等图形相关问题
例2．（2022·全国·八年级专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形
D．全等图形的周长相等，面积相等
【即学即练】
2.（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．②③
知识点02 全等三角形
知识点
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
【微点拨】
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
【知识拓展1】全等三角形的定义
例1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指大小相同的两个三角形
C．全等三角形是指周长相等的两个三角形D．全等三角形的形状、大小完全相同
【即学即练1】
1．（2021·山东烟台·七年级期末）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（ ）
A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对
【知识拓展2】全等三角形的对应顶点、边、角
例2．（2022·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【即学即练2】
2．（2022·浙江·八年级专题练习）△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC中的对应角是（ ）
A．∠AB．∠A或∠BC．∠CD．∠B或∠C
3.（2022·重庆市天星桥中学八年级开学考试）如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DBB．BCC．CDD．AD
知识点03 全等三角形的性质
知识点
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
【知识拓展1】全等三角形的性质（概念类）
例1．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个．
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识拓展2】全等三角形的性质（计算类）
例2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【即学即练2】
2．（2022·江西景德镇·七年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
3．（2022·海南海口·七年级期末）如图，已知≌，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展3】全等三角形的性质（证明类）
例3．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；(2)当△ABC满足什么条件时，？
【即学即练3】
3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是____.
4．（2022·安徽淮北·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；(2)．
能力拓展
考法01 利用全等三角形求坐标
【典例1】（2022·河北·八年级课时练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是________．
变式1．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有________个（不包括）．
变式2．（2022·江西八年级阶段练习）如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度，在所给网格中确定一点（不与点重合），使得与全等，则点的坐标是______．
考法02 全等三角形中的动态问题（分类讨论）
【典例2】（2022·成都市·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为______．
变式2．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级期中）如图，在△ABC中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为______时，能够在某一时刻使与△CQP全等．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形
2.（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是对应角B．∠B与∠D是对应角
C．BC与AC是对应边D．AC与CA是对应边
3．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下列个图形中，是全等图形的是（ ）
A．，，，B．与C．，，D．与
4．（2022·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
5．（2022·山东聊城·八年级期末）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2B．48 cm2C．49 cm2D．50 cm2
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
7．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，，，则______．
8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
9．（2022·广西·八年级专题练习）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
10．（2022·湖南·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．
题组B 能力提升练
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，△ADF≌△CBE，有以下结论：①AF＝CE；②∠1＝∠2；③BE＝CF；④AE＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2021·河南周口·八年级期中）用两个全等的含60°的直角三角板能拼成几种四边形（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（ ）
A．①B．①②C．①③D．①③④
4．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图1，在中，，．若，，则的度数为 （ ）
A．18°B．30°C．32°D．38°
5．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，点 D、E在BC上，ABE≌ACD，BC=10，DE=4，则 BD的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
7．（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．
8．（2021·广东·道明外国语学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④ABDC．其中成立的是______．（填上序号即可）
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等．
10．（2022·四川广元·八年级期末）如图，，，，，求和的度数．
11．（2022·江苏·八年级课时练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝ （等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转 度，能够与 重合
∴△ACD≌ （旋转变换的性质）
∴AD＝BE（ ）；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．
12．（2022·浙江温州·中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·八年级课时练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真合同三角形与镜面合同三角形，两个真合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻折，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级专题练习）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25B．38C．70D．135
3．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北·八年级专题练习）如图，，垂足为E．若，则的大小为( )
A．B．C．D．
5．（2022·广东·八年级课时练习）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或5
6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
7．（2022·甘肃·张掖四中八年级期末）如图，中点A的坐标为，点C的坐标为如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等（非重合），那么点D的坐标可以是__________.
8．（2022·四川雅安·七年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
9．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）；③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律． (2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
10．（2022·上海·八年级专题练习）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
(1)点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 ．
11．（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．
专题12.1 全等三角形
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1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角.
2. 掌握并能运用全等三角形的性质
知识精讲
知识点01 全等图形
知识点
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
【微点拨】
1）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【知识拓展1】全等图形的辨别
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断．
【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合，
将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形，
故A、B、D中的三个图形全等，
分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同．故选：C．
【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键．
【即学即练】
1．（2022·山东济南·七年级期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全等图形的定义“能完全重合的两个图形，是全等图形”，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
B．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握全等图形的定义是解题的关键．
2．（2022·江苏·八年级课时练习）下列各组图形中，属全等图形的是（ ）
A．周长相等的两个等腰三角形B．面积相等的两个长方形
C．面积相等的两个直角三角形D．周长相等的两个圆
【答案】D
【分析】根据全等图形的性质分别判断得出即可．
【详解】解：A、两个周长相等的等腰三角形，不一定全等，故此选项错误；
B、两个面积相等的长方形，不一定全等，故此选项错误；
C、两个面积相等的直角三角形，不一定全等，故此选项错误；
D、两个周长相等的圆，半径一定相等，故两圆一定全等，故此选项正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键．
【知识拓展2】全等图形相关问题
例2．（2022·全国·八年级专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形
D．全等图形的周长相等，面积相等
【答案】C
【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
C、全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
D、全等图形的周长相等，面积相等，正确，不合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
【即学即练】
2.（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．②③
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；
④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
知识点02 全等三角形
知识点
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
【微点拨】
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
【知识拓展1】全等三角形的定义
例1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指大小相同的两个三角形
C．全等三角形是指周长相等的两个三角形D．全等三角形的形状、大小完全相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的概念，即能够完全重合的两个三角形，进行判断即可．
【详解】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，故全等三角形的形状和大小完全相同．
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，明确全等三角形的概念是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2021·山东烟台·七年级期末）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（ ）
A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对
【答案】B
【详解】分析：.首先观察图形，尝试找出图中所有的三角形，根据全等三角形的定义得出答案.
详解：如图：
对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.
点睛：此题考查了全等三角形的定义及有关概念和性质.(1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形.(形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形)(2)全等三角形对应元素及性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(3)将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形.此题就是根据全等三角形的定义得出答案的.
【知识拓展2】全等三角形的对应顶点、边、角
例2．（2022·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
【即学即练2】
2．（2022·浙江·八年级专题练习）△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC中的对应角是（ ）
A．∠AB．∠A或∠BC．∠CD．∠B或∠C
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可知，三角形中只能有一个钝角，因为∠B＝∠C，所以钝角一定是∠A．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B和∠C必须都是锐角，
∴若与△ABC全等的一个三角形中有一个角为92°，那么92°的角在△ABC中的对应角一定是∠A，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质，灵活运算三角形内角和等于180°是解题的关键．
3.（2022·重庆市天星桥中学八年级开学考试）如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DBB．BCC．CDD．AD
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应边为CD．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，
∴BC和DA为对应边，
∴AB的对应边为CD．故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质．
知识点03 全等三角形的性质
知识点
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
【知识拓展1】全等三角形的性质（概念类）
例1．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
【详解】形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，故①错误；
在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故②错误；全等三角形的对应边相等，故③正确；
全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故④正确．
正确的有③④，共计2个 故选B
【点睛】本题考查了命题，全等三角形的概念，理解概念是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，故D为答案.
【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【知识拓展2】全等三角形的性质（计算类）
例2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和及全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：，，∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·江西景德镇·七年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
3．（2022·海南海口·七年级期末）如图，已知≌，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：≌，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
【知识拓展3】全等三角形的性质（证明类）
例3．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；(2)当△ABC满足什么条件时，？
【答案】(1)见解析(2)当∠ACB为直角时，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；
(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
（1）证明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
（2）解：∵，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ACB＝90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【即学即练3】
3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是____.
【答案】①②③
【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．
【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
4．（2022·安徽淮北·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；(2)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上；
（2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD．
(1)证明：∵≌，
∴．
∵点，，在同一直线上，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD+∠AOC＝180°，，
∴点，，在同一直线上；
(2)证明：∵≌，
∴∠A＝∠B，
∴
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．
能力拓展
考法01 利用全等三角形求坐标
【典例1】（2022·河北·八年级课时练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是________．
【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．
【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形，
D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．
【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．
变式1．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有________个（不包括）．
【答案】13
【分析】以C点为唯一公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可．
【详解】解：如图所示：与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有13个，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
变式2．（2022·江西八年级阶段练习）如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度，在所给网格中确定一点（不与点重合），使得与全等，则点的坐标是______．
【答案】（-1，-2），（1，0），（0，1）．
【分析】根据全等三角形的定义，分三种情况，找到点D的位置，再求出坐标，即可．
【详解】如图，D1（-1，-2），D2（1，0），D3（0，1）．
故答案是：（-1，-2），（1，0），（0，1）．
【点睛】本题主要考查图形与坐标以及全等三角形的定义，掌握分类讨论思想以及全等三角形的定义，是解题的关键．
考法02 全等三角形中的动态问题（分类讨论）
【典例2】（2022·成都市·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．
【详解】由题意得， 如图，当△CAP全等于△PBQ时，
AC＝4m m
P点从B向A运动，每分钟走1m 故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP 的长度．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为______．
【答案】1或
【分析】设点的运动速度为，由题意可得，与以，，为顶点的三角形全等时分为两种情况：，再利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设点的运动速度为，
由题意可得，
∵∴与以，，为顶点的三角形全等时可分为两种情况：
①当时，∴，∴∴
∴此时点的运动速度为；
②当时，，
∴，∴，
此时点的运动速度为，故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论．
变式2．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级期中）如图，在△ABC中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为______时，能够在某一时刻使与△CQP全等．
【答案】2或厘米/秒
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，
∴BD=×10=5cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=2t，PC=（8﹣2t）cm
①当△BPD≌△CQP时，即BD=PC时，8﹣2t=5，
解得：t=1.5，则BP=CQ=2t=3，
故点Q的运动速度为：3÷1.5=2（厘米/秒）；
②当BPD≌△CPQ，即BP=PC，CQ=BD=5时，
∵BC=8cm，∴BP=PC=4cm，∴t=4÷2=2（秒），
故点Q的运动速度为（厘米/秒）；
故答案为2或厘米/秒．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【分析】根据全等三角形的定义和性质依次分析各项即可判断．
【详解】解：A，全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，故此选项符合题意．
B，全等三角形是指形状相同的两个三角形，还有大小相等，故此选项不符合题意．
C，全等三角形是指面积相等的两个三角形，应大小相等形状相同，故此选项不符合题意．
D，所有的等边三角形都是全等三角形，大小不一定相等，故此选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义和性质，基础应用题，熟练掌握全等三角形的定义和性质是解此题的关键．
2.（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是对应角B．∠B与∠D是对应角
C．BC与AC是对应边D．AC与CA是对应边
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质依次分析判断即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
A、∠1与∠2是对应角，正确，不符合题意；
B、∠B与∠D是对应角，正确，不符合题意；
C、BC与DA是对应边，故错误，符合题意；
D、AC与CA是对应边，正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下列个图形中，是全等图形的是（ ）
A．，，，B．与C．，，D．与
【答案】D
【分析】根据全等图形的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，与是全等图形，故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键．
4．（2022·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【答案】A
【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】∵和全等，，对应
∴∴AB=DF=4故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
5．（2022·山东聊城·八年级期末）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2B．48 cm2C．49 cm2D．50 cm2
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得到cm，≌，则，cm，求出，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：沿方向平移得到，
cm，≌，
，（cm），
∴，
（cm2），故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
【答案】95°
【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等四边形以及内角和即可完成
【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′∴∠D=∠D′=130゜
∵四边形ABCD的内角和为360゜
∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜故答案为：95゜
【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．
7．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，，，则______．
【答案】
【分析】由全等三角形的对应角相等和三角形外角定理求解．
【详解】解：如图，≌，，
．
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
9．（2022·广西·八年级专题练习）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证．
【详解】证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
10．（2022·湖南·八年级课时练习）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)2
【分析】（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出．
（1）证明：∵，
∴，．
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）∵，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，△ADF≌△CBE，有以下结论：①AF＝CE；②∠1＝∠2；③BE＝CF；④AE＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质结合全等三角形得出对应边以及对应角即可．
【详解】解：∵△ADF≌△CBE，
∴①AF＝CE；②∠1＝∠2；③BE＝DF；
∴④AE＝CF，故只有③BE＝CF错误．故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出对应边和对应角是解题关键．
2．（2021·河南周口·八年级期中）用两个全等的含60°的直角三角板能拼成几种四边形（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】B
【分析】让长直角边，短直角边，斜边分别重合，得到组合图形的所有情况即可．
【详解】解：可拼出如下4种图形：
故选：B．
【点睛】此题考查作图−应用与设计作图，用到的知识点为：两个全等的直角三角形的相等边重合时，应出现两种情况．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（ ）
A．①B．①②C．①③D．①③④
【答案】A
【分析】类似全等三角形的判定，只要带去的玻璃能够测量正五边形的内角的度数与正五边形的边长就可以，然后对各块玻璃进行分析即可得解．
【详解】解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，带②③④去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；所以最省事的方法是带①去．故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用拓广，根据正五边形的定义每个角都相等，每条边都相等，所以只要知道一个角、一条边即可作出能够完全重合的正五边形．
4．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图1，在中，，．若，，则的度数为 （ ）
A．18°B．30°C．32°D．38°
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后可得答案．
【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°−80°−30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE−∠DAC＝70°−32°＝38°，故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
5．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，点 D、E在BC上，ABE≌ACD，BC=10，DE=4，则 BD的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】由ABE≌ACD得到，继而得到，再由，据此解答．
【详解】解：ABE≌ACD，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
7．（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．
【答案】45
【分析】如图，直接利用网格得出对应角，进而得出答案．
【详解】
如图，易知，∴，
∵BQ是正方形的对角线，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．
8．（2021·广东·道明外国语学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④ABDC．其中成立的是______．（填上序号即可）
【答案】①②③④
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，①成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠D，
∵∠DEC+∠D=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE，②成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB=EC，BE=CD，
∵BC=BE+EC，
∴BC=AB+CD，③成立；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，④成立，
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等．
【答案】2或
【详解】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质的应用，解一元一次方程，正确理解全等三角形的性质得到相等的对应边求出t是解题的关键．
10．（2022·四川广元·八年级期末）如图，，，，，求和的度数．
【答案】，
【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形外角的性质可得，即可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴
，
∴．
∴，．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法．找到相应等量关系的角是解题的关键．
11．（2022·江苏·八年级课时练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝ （等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转 度，能够与 重合
∴△ACD≌ （旋转变换的性质）
∴AD＝BE（ ）；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．
【答案】（1）∠BCE，60，△BCE，△BCE，全等三角形的对应边相等；（2）60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD＝∠BCE，然后根据旋转的性质可得△ACD≌△BCE，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝60°，从而∠ADC＝120°，再由全等三角形的性质，可得到∠BEC＝∠ADC＝120°，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝∠BCE，（等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转60度，能够与△BCE重合，
∴△ACD≌△BCE，（旋转变换的性质）
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
【点睛】本题主要考查了利用旋转判定三角形全等，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，利用旋转判定三角形全等是解题的关键．
12．（2022·浙江温州·中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一）
（2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一）
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析
(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．
（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·八年级课时练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真合同三角形与镜面合同三角形，两个真合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻折，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．
【详解】由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使选项B的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；
而A、C、D的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．故选B．
【点睛】此题考查了全等图形的知识，学生要注意阅读理解能力及空间想象能力的培养，题目出的较灵活，认真读题，透彻理解题意是正确解决本题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25B．38C．70D．135
【答案】B
【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个全等三角形；
第二个图形有个全等三角形；
第三个图形有个全等三角形；
第四个图形有个全等三角形；
第个图形有个全等三角形；
当时，（个．故选：B．
【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．
3．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=30°，
∵∠CGF=∠D+∠BCD，
∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，
∴∠BCA=116°，
∴∠B=180°-30°-116°=34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=34°，故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．（2022·河北·八年级专题练习）如图，，垂足为E．若，则的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C=90°-∠CHE=90°-β，由三角形内角和定理得出∠B=180°-∠A-∠C=90°-α+β．根据全等三角形对应角相等求出∠DEF=∠C=90°-α+β，根据∠BED=∠BEF-∠DEF即可得出答案．
【详解】解：∵FH⊥BC，垂足为E，
∴∠CEH=∠BEF=90°，
∴∠C=90°-∠CHE=90°-β，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-α-（90°-β）=90°-α+β．
∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF=∠B=90°-α+β，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=90°-（90°-α+β）=α-β．故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理．掌握相关性质与定理是解题的关键．
5．（2022·广东·八年级课时练习）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或5
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴5−2t＝6−3t，∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴5−2t＝3t−6，∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴2t−5＝18−3t，∴t＝
综上所述：t的值为1或或或故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
【答案】180°.
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
7．（2022·甘肃·张掖四中八年级期末）如图，中点A的坐标为，点C的坐标为如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等（非重合），那么点D的坐标可以是__________.
【答案】或或
【分析】因为与有一条公共边AB，故本题应从点D在边AB上方、点D在边AB下方两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案.
【详解】如图，
∵与有一条公共边AB，
当点D在边AB上方时，坐标为
当点D在边AB下方时，坐标为或
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了图形的性质和坐标的确定以及三角形全等，分类讨论是解决本题的关键.
8．（2022·四川雅安·七年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
【答案】100°##100度
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=×40°，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-40°，则∠C′+2×40°=180°-∠B′-40°，所以∠C′+∠B′=180°-3×40°，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=40°+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°-2×40°=100°．
【详解】延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=40°，
∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′=∠C′MC，
∵∠AEB′=180°−∠B′−∠B′AE=180°−∠B′−40°，
∴∠C′+2×40°=180°−∠B′−×40°，
∴∠C′+∠B′=180°−3×40°，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠DAC+∠B′+∠ACD
=40°+∠ACD+∠B′=40°+∠C′+∠B′
=40°+180°−3×40°=180°−2×40°
=．
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，平行线的性质等知识点，作出辅助线是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y； ③∠A=（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=（∠2-∠1），见详解
【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②）∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A=（∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90-∠1，y=90-∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=（∠2-∠1）．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（2022·上海·八年级专题练习）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
(1)点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 ．
【答案】(1)（﹣3，﹣2）；（3，﹣2）；(2)（﹣1，﹣2）
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数即可解答本题；
（2）根据题意作出点E，再根据全等三角形的判定顶点解答即可．
(1)∵A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，交x轴于点D．∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）；点C的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）；（3，﹣2）．
(2)如图所示：
∵若△ABE≌△ECD，∴AB＝CE，BE＝CD，
∵AB＝4，CD＝2，∴BE＝2，CE＝4，∴点E坐标为（﹣1，﹣2）．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于x轴，y轴及原点对称时横纵坐标的符号以及全等三角形的判定，正确掌握点的变换坐标性质是解题关键．
11．（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
（1）解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm．
（2）∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．