人教版八年级数学下册 专题8 利用勾股定理解决折叠问题的技巧（原卷版+解析）

这是一份人教版八年级数学下册 专题8 利用勾股定理解决折叠问题的技巧（原卷版+解析），共27页。

1．(2023秋•台儿庄区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，
使点A与点B重合，则CE的长为 ．

第1题 第2题
2．(2023秋•介休市期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 cm．
3．(2023秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
4．(2023秋•安岳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．
（1）若∠A＝34°，则∠CBD的度数为 ；
（2）当AB＝m（m＞0），△ABC的面积为2m+4时，△BCD的周长为 （用含m的代数式表示）；
（3）若AC＝8，BC＝6，求AD的长．
5．(2023秋•章丘区期中）（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
类型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题
6．(2023•纳溪区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长为 ．
7．(2023•郯城县校级模拟）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2．
A．12B．10C．6D．15
8．(2023春•余干县校级期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
9．(2023秋•罗湖区校级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．
类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题
10．(2023•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（ ）
A．32B．3C．94D．154
11．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
第二部分 专题提优训练
1．(2023秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ ．
2．(2023秋•靖江市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，AD＝5，BC＝8，E是直线BC上一动点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F处，当FD⊥BC时，线段BE的长为 ．
3．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为BC上一点，将Rt△ABC沿AD折磨，点C恰好落在AB边上的E点，求BD的长．
4．(2023秋•襄汾县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处，求AD的长及四边形BCDC′的面积．
5．(2023春•厦门期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AB上一个定点，点F是BC上一个动点，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3，则AE＝ ．
6．(2023秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．
A．2B．3.4C．4D．5.1
7．(2023秋•金牛区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长为？
8．(2023春•新抚区校级期中）如图，在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝8，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，求CE的长．
9．(2023秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折，设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2）），折痕交AE于点G，则EG的长度是（ ）
A．8﹣43B．43−6C．4﹣23D．23−3
10．(2023秋•新都区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么以线段BE为边长的正方形的面积为（ ）
A．6B．72C．12D．18
专题8 利用勾股定理解决折叠问题的技巧（解析版）
类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题
1．(2023秋•台儿庄区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，
使点A与点B重合，则CE的长为 ．
思路引领：设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得62+x2＝（8﹣x）2，即可解得答案．
解：设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得x=74，
故答案为：74．
总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
2．(2023秋•介休市期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 cm．
思路引领：根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB=AC2+BC2=10cm，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm，
∵AC＝8cm，
∴CE＝AE﹣AC＝2cm，
即CE的长为2cm，
故答案为：2．
总结提升：此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．
3．(2023秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC=41，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x=165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．
解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=BE2+CE2=52+42=41，
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得：x=165，
∴AE=165，AB＝AE+BE=165+5=415
∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．
总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
4．(2023秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．
（1）若∠A＝34°，则∠CBD的度数为 ；
（2）当AB＝m（m＞0），△ABC的面积为2m+4时，△BCD的周长为 （用含m的代数式表示）；
（3）若AC＝8，BC＝6，求AD的长．
思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°，进而得到∠CBD＝22°；
（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4，进而得到AC•BC＝4m+8，再在Rt△CAB中，CA2+CB2＝BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长；
（3）根据折叠可得AD＝DB，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长．
解：（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠ABD＝∠A＝34°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
∴∠CBD＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22°；
（2）∵△ABC 的面积为2m+4，
∴12AC•BC＝2m+4，
∴AC•BC＝4m+8，
∵在Rt△CAB中，CA2+CB2＝BA2，AB＝m，
∴CA2+CB2+2AC•BC＝BA2+2AC•BC，
∴（CA+BC）2＝m2+8m+16＝（m+4）2，
∴CA+CB＝m+4，
∵AD＝DB，
∴CD+DB+BC＝m+4．
即△BCD的周长为m+4，
故答案为：m+4；
（3）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴AD＝DB，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+CB2＝BD2，
x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x=74，
AD＝8−74=254．
总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
5．(2023秋•章丘区期中）（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
思路引领：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB的长，即可求解；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，于是得到答案；
②在Rt△ADE中，由勾股定理可求DE的长．
解：（1）设AB＝xcm，则AC＝（x+2）cm，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴（x+2）2＝x2+62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8+2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴∠AED＝90°，AE＝AC﹣EC＝4（cm）；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（8﹣y）2＝42+y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3（cm）．
总结提升：本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
类型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题
6．(2023•纳溪区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长为 ．
思路引领：利用勾股定理得出AF的长度，再利用折叠的性质，在△BEF中求解BE的长，即可得出CE的长度．
解：在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，由折叠的性质可得：
DF＝DC＝AB＝5，
∴AF=DF2−AD2=52−32=4，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则：
EF＝CE＝x，BE＝BC﹣CE＝3﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理可得：
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x=53，
∴CE=53，
故答案为：53．
总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点，解题的关键是利用AF求出BF的长度．
7．(2023•郯城县校级模拟）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2．
A．12B．10C．6D．15
思路引领：由长方形的性质得BAE＝90°，再由折叠的性质得BE＝ED，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2，解得AE＝4（cm），即可求解．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAE＝90°，
∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED，
∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE，
∴BE＝9﹣AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴32+AE2＝（9﹣AE）2，
解得：AE＝4（cm），
∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2），
故选：C．
总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
8．(2023春•余干县校级期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；
（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．
（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF＝∠BFE，
∴∠B'FE＝∠B'EF，
∴B'F＝B'E，
∴B'E＝BF．
（2）解：a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：
由（1）知B'E＝BF＝c，
由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．
在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，
∴A'E2+A'B'2＝B'E2，
∴a2+b2＝c2．
总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
9．(2023秋•罗湖区校级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
思路引领：（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEG中，根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；
（2）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，AG×GE＝AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．
解：（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3．
（2）过G点作GM⊥AD于M，
则12•AG×GE=12•AE×GM，AG＝AB＝4，AE＝CF＝5，GE＝DE＝3，
∴GM=125，
∴S△GED=12GM×DE=185．
总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题
10．(2023•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（ ）
A．32B．3C．94D．154
思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°，由勾股定理可求AF的长．
解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，
∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝3cm，
在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，
∴（6﹣AF）2＝AF2+9
∴AF=94
故选：C．
总结提升：本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
11．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE，由中点的性质可得EC＝4cm，结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．
解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的，
∴DN＝NE．
∵E是BC的中点且BC＝8cm，
∴EC＝4cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°．
设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，
由勾股定理NC2+EC2＝NE2，得x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故选：A．
总结提升：本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．(2023秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝ ．
思路引领：设EC＝x，在Rt△ABE中，由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，即可解得答案．
解：设EC＝x，则BE＝8﹣x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE＝EC＝x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴EC＝5，
故答案为：5．
总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能应用勾股定理列方程解决问题．
2．(2023秋•靖江市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，AD＝5，BC＝8，E是直线BC上一动点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F处，当FD⊥BC时，线段BE的长为 ．
思路引领：分点F在BC下方，点F在BC上方两种情况讨论，由勾股定理可BC＝4，由平行线分线段成比例可得BDAD=BPBC=DPAC=12，求出FP，由勾股定理可求BE的长．
解：若点F在BC下方时，DF与BC交于点P，如图1所示：
∵D是AB的中点，
∴BD＝AD＝5，
∴AB＝2AD＝10，
∵∠C＝90°，BC＝8，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵点D是AB的中点，
∵FD⊥BC，∠C＝90°
∴FD∥AC
∴BDAD=BPBC=DPAC=12，
∴BP＝PC=12BC＝4，DP=12AC＝3，
∵△BDE沿直线ED翻折，
∴FD＝BD＝5，FE＝BE，
∴FP＝FD﹣DP＝5﹣3＝2，
在Rt△FPE中，EF2＝FP2+PE2，
∴BE2＝22+（4﹣BE）2，
解得：BE=52；
若点F在BC上方时，FD的延长线交BC于点P，如图2所示：
FP＝DP+FD＝3+5＝8，
在Rt△EFP中，EF2＝FP2+EP2，
∴BE2＝64+（BE﹣4）2，
解得：BE＝10，
故答案为：52或10．
总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为BC上一点，将Rt△ABC沿AD折磨，点C恰好落在AB边上的E点，求BD的长．
思路引领：由勾股定理求出AB＝10，由折叠的性质得出CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°，AE＝AC＝6，得出BE＝AB﹣AE＝4，∠BED＝90°，设CD＝ED＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
由折叠的性质得：CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°，AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4，∠BED＝90°，
设CD＝ED＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BD＝8﹣3＝5．
总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
4．(2023秋•襄汾县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处，求AD的长及四边形BCDC′的面积．
思路引领：利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得BC′＝BC，C′D＝CD，然后求出AC′，设AD＝x，表示出C′D、AC′，然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=10，
由翻折变换的性质得，BC′＝BC＝6，C′D＝CD，
∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4，
设CD＝x，则C′D＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′2+C′D2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即CD＝3，
∴AD＝8﹣x＝5；
由折叠可知：
S△BCD＝S△BC′D，
∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．
总结提升：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
5．(2023春•厦门期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AB上一个定点，点F是BC上一个动点，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3，则AE＝ 53 ．
思路引领：连接DE，则DB′+EB′≥DE，由EB′＝EB为定值，故当D，E，B′三点共线时，DB′最小，利用勾股定理建立方程即可求解．
解：如图1，连接DE，
由折叠性质可得：EB′＝EB，
∵DB′+EB′≥DE，
∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB，
∵点E为定点，
∴EB为定值，
∴当D，E，B′三点共线时，DB′最小，且最小值为3，
∴DB′＝3，
如图2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，
设AE＝x，则：
EB′＝EB＝AB﹣AE＝3﹣x，
∴ED＝EB′+DB′＝3﹣x+3＝6﹣x，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：
x2+42＝（6﹣x）2，
解得：x=53，
∴AE=53，
故答案为：53．
总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是运用方程思想．
6．(2023秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．
A．2B．3.4C．4D．5.1
思路引领：由矩形的性质得AD＝BC＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝90°，再由折叠的性质得A'D＝AB＝3cm，∠A'＝∠A＝90°，AE'＝AE，设AE＝xcm，则A′E＝xcm，DE＝（5﹣x）cm，然后在Rt△A'DE中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出DE的长，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝90°，
由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm，∠A'＝∠A＝90°，AE'＝AE，
设AE＝xcm，则A′E＝xcm，DE＝（5﹣x）cm，
在Rt△A'DE中，由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2，
即x2+32＝（5﹣x）2，
解得：x＝1.6，
∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），
∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2），
故选：D．
总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
7．(2023秋•金牛区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，结果发现F点恰好是DC的中点，若BC＝26，则AB的长为？
思路引领：连接EF，由折叠性质得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，则∠EGF＝90°，易证EG＝DE，由矩形的性质得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB，BF＝BG+FG=32AB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出结果．
解：连接EF，如图所示：
由折叠性质得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F点恰好是DC的中点，
∴CF＝DF＝FG=12CD=12AB，
∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=32AB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）2，
解得：AB＝23．
总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．(2023春•新抚区校级期中）如图，在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝8，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，求CE的长．
思路引领：先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC﹣BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，再解方程即可得到CE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF=AF2−AB2=6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
9．(2023秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折，设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2）），折痕交AE于点G，则EG的长度是（ ）
A．8﹣43B．43−6C．4﹣23D．23−3
思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1，由折叠的性质得出AD＝DH＝2，AG＝GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG＝x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．
解：∵正方形纸片ABCD的边长为2，
∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1，
∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，
∴AD＝DH＝2，AG＝GH，
在Rt△DFH中，
HF=HD2−DF2=22−12=3，
∴EH＝2−3，
在Rt△EGH中，设EG＝x，则GH＝AG＝1﹣x，
∴GH2＝EH2+EG2，
即（1﹣x）2＝（2−3）2+x2，
解得x＝23−3．
∴EG＝23−3．
故选：D．
总结提升：本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，关键是学会用方程的思想方法解题．
10．(2023秋•新都区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么以线段BE为边长的正方形的面积为（ ）
A．6B．72C．12D．18
思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3，再求出∠BDE＝90°，然后根据勾股定理求出BE，最后由正方形的面积进行求解即可．
解：∵D是BC中点，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
由折叠的性质得：CD＝DE＝3，∠ADC＝∠ADE＝45°，即∠CDE＝90°，
∴BD＝DE＝3，∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE=BD2+DE2=32+32=32，
∴以BE为边的正方形面积为：（32）2＝18，
故选：D．
总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．