人教版八年级数学下册 专题16 平行四边形中的数学思想方法（原卷版+解析）

这是一份人教版八年级数学下册 专题16 平行四边形中的数学思想方法（原卷版+解析），共24页。试卷主要包含了方程思想，分类讨论思想，整体思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
类型一 方程思想
1．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
2．(2023•新吴区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4B．63：97C．13：26D．23：13
类型二 分类讨论思想
3．(2023春•林州市期末）在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为（ ）
A．8或24B．8C．24D．9或24
在▱ABCD中，AB=6，AD=2，点A到边BC，CD的距离分别为AE=3，AF＝1，则∠EAF的度数为 ．
5．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝6，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
6．(2023秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
类型三 整体思想
7．(2023•兰山区一模）如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为 ．
类型四 转化思想
8．(2023秋•安乡县期中）如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2.若S＝3，则S1+S2＝ ．
9．(2023春•鹿城区校级月考）如图，在直线l上摆放着三个等边三角形，△ABC，△HFG，△DCE，已知BC=12CE，F，G分别是BC，CE的中点，FM∥AC，GN∥DC，设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3；若S2＝3，则S1+S3＝ ．
10．(2023春•榆林期末）如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度．
专题针对性训练
1．(2023春•惠城区校级期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC的度数为（ ）
A．24°B．25°C．26°D．28°
2．(2023•郑州模拟）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝10，BE为∠ABC的平分线．利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．33B．3C．5D．27
3．(2023•临朐县一模）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若▱ABCD的周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．(2023秋•泰山区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
5．(2023春•桂平市期中）在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC=25，则平行四边形ABCD的面积是 ．
6．(2023春•紫阳县期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
7．如图，▱ABCD中，O是对角线交点，AB＝13cm，BC＝5cm，那么△AOB周长比△BOC的周长多 cm．
8．(2023春•洋县期末）如图，点O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为CD的中点，AE交BD于点F，若S△AOE＝4，则S△AOB的值为 ．
9．(2023秋•城阳区期中）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△ABO为等边三角形，AB＝10cm，这个平行四边形ABCD的面积为 cm2．
10．(2023春•洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
专题16 平行四边形中的数学思想方法（解析版）
第一部分 专题典例剖析
类型一 方程思想
1．(2023•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
思路引领：由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH=3BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE=3BH﹣BH＝（3−1）BH，
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2=（6−2）BH＝CD，
∴DECD=22，
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解题的关键．
2．(2023•新吴区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4B．63：97C．13：26D．23：13
思路引领：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，根据题意可得△ADF的面积＝△DEC的面积=12平行四边形ABCD的面积，从而可得DPDQ=CEAF，然后设AB＝4a，BC＝3a，分别表示出AN，FN，EM，CM的长，再利用勾股定理求出AF，CE，进行计算即可解答．
解：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，
由题意得：
△ADF的面积＝△DEC的面积=12平行四边形ABCD的面积，
∴AF•DP＝CE•DQ，
∴DPDQ=CEAF，
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∵AE：EB＝1：3，
∴AE＝a，EB＝3a，
∵F是BC的中点，
∴BF=12BC=32a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CBM＝60°，
∴∠BFN＝∠BCM＝30°，
在Rt△BFN和Rt△BCM中，
∴BN=12BF=34a，BM=12BC=32a，
CM=3BM=332a，FN=3BN=334a，
∴AN＝AB+BN=194a，EM＝EB+BM=92a，
在Rt△ANF和Rt△ECM中，根据勾股定理得：
AF=AN2+FN2=(194a)2+(334a)2=972a，
CE=EM2+CM2=(92a)2+(332a)2=33a，
∴CEAF=33a972a=6397，
∴DP：DQ＝63：97，
故选：B．
总结提升：本题考查了勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
类型二 分类讨论思想
3．(2023春•林州市期末）在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为（ ）
A．8或24B．8C．24D．9或24
思路引领：由平行四边形的性质和角平分线得出AB＝AE＝6，再由已知条件得出DE＝18或DE＝2，分别求出AD即可．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2，AD＝8；
故选：A．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB＝AE是解题的关键．
在▱ABCD中，AB=6，AD=2，点A到边BC，CD的距离分别为AE=3，AF＝1，则∠EAF的度数为 ．
思路引领：首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根据三角形内角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，进而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度数，进而可得答案，同理可得出∠EAF另一个度数．
解：如图1所示：
∵AF⊥DC，AE⊥CB，
∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD=2，AF＝1，
∴DF＝1，
∴∠D＝∠DAF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝135°，
∵AB=6，AE=3，∴EB=3，
∴∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，
如图2，过点A作AE⊥CB延长线于点E，过点A作AF⊥CD延长线于点F，
同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，
则∠EAF＝135°，
故答案为：45°或135°．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，平行四边形的性质，关键是正确计算出∠DAF＝45°，∠EAB＝45°．
5．(2023•肇东市校级模拟）在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝6，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
思路引领：根据题意分两种情况画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可
解：分两种情况：
①如图1所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝6，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC，EC=AC2−AE2=25，BE=AB2−AE2=3，
∴AD＝BC＝25+3，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝45+16，
②如图2所示：
同①得：EC＝25，BE＝3，
∴AD＝BC＝25−3，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝45+4，
综上所述：▱ABCD的周长为45+16或45+4．
故答案为：45+16或45+4．
总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
6．(2023秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
思路引领：（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17．
总结提升：本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论．
类型三 整体思想
7．(2023•兰山区一模）如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为 ．
思路引领：根据平行四边形的周长求出AD+CD，再利用面积列式求出AD、CD的关系，然后求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2（AD+CD）＝20，
∴AD+CD＝10①，
∵S▱ABCD＝AD•BE＝CD•BF，
∴2AD＝3CD②，
联立①、②解得AD＝6，
∴▱ABCD的面积＝AD•BE＝6×2＝12．
故答案为：12．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，根据面积的两种表示求出2AD＝3CD是解题的关键，也是本题的难点．
类型四 转化思想
8．(2023秋•安乡县期中）如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2.若S＝3，则S1+S2＝ ．
思路引领：根据E，F分别是PB，PC的中点可得到EF为三角形PBC的中位线，结合中位线以及相似的知识可得（EFBC）2=SS△PBC，进而即可求出S△PBC，记平行四边形ABCD中AD边上的高为h，根据三角形的面积公式，得到S1+S2=12×（PD+PA）×h=12×AD×h，可得结论．
解：∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF∥BC，EF=12×BC．
∵EF∥BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴（EFBC）2=SS△PBC．
∵EF=12×BC，（EFBC）2=SS△PBC，S＝3，
∴S△PBC＝12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
记平行四边形ABCD中AD边上的高为h，
∵S△PBC=12×BC×h＝12，S1=12×PD×h，S2=12×PA×h，AD＝BC，
∴S1+S2=12×（PD+PA）×h=12×BC×h＝12．
故答案为：12．
总结提升：本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．(2023春•鹿城区校级月考）如图，在直线l上摆放着三个等边三角形，△ABC，△HFG，△DCE，已知BC=12CE，F，G分别是BC，CE的中点，FM∥AC，GN∥DC，设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3；若S2＝3，则S1+S3＝ ．
思路引领：根据题意，证明S2与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S2的长相等，高是S3的一半，把S1和S3用S2来表示，即可得出结果．
解：设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∵F、G分别是BC、CE的中点，AB∥HF∥DC∥GN，
∴MF=12AC=12BC，PF=12AB=12BC，
又∵BC=12CE＝CG＝GE，
∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，∴S1=12S2，S3＝2S2，
∴S1+S3=52S2=152；
故答案为：152．
总结提升：本题考查了面积及等积变换、等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S＝a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
10．(2023春•榆林期末）如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度．
思路引领：连接CF，证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证明四边形BCFD为平行四边形，可得CF＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝DA，进而可求解．
解：连接CF，
∵E、D分别是FA和FG的中点，
∴DE∥AB，FD＝DG，
∵BC∥DF，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝CB．
∴FD＝CB，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵AB⊥AF，
∴CE⊥AF，
∴CE垂直平分AF，
∴FD＝DA，
∴BC＝DA，
∵路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，
∴BD+AD+AE＝5（公里）
∴路线2的长度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）．
总结提升：本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
专题针对性训练
1．(2023春•惠城区校级期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC的度数为（ ）
A．24°B．25°C．26°D．28°
思路引领：根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BAC＝25°，
故选：B．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．(2023•郑州模拟）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝10，BE为∠ABC的平分线．利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．33B．3C．5D．27
思路引领：过点F作HF⊥AD于点H，证明△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AE＝AB＝BE＝8，求出DH，FH的长，由勾股定理可得出答案．
解：过点F作HF⊥AD于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE＝8，
由作图可知AF平分∠BAD，
∴AF⊥BE，∠EAF＝30°，
∴AF＝43，
∴HF＝23，AH＝6，
∵AD＝10，
∴DH＝4，
∴DF=DH2+HF2=42+(23)2=27．
故选：D．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．(2023•临朐县一模）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若▱ABCD的周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
思路引领：由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥BD，根据线段垂直平分线的性质，可得BE＝DE，又由平行四边形ABCD的周长为20，可得BC+CD的长，继而可得△CDE的周长等于BC+CD．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴BC+CD＝10，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+BE＝CD+BC＝10．
故选：D．
总结提升：此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．(2023秋•泰山区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
思路引领：根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
总结提升：本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明AF＝AB＝8，DE＝DC＝8是解题的关键．
5．(2023春•桂平市期中）在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC=25，则平行四边形ABCD的面积是 ．
思路引领：根据题意分两种情况画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出EC、BE，得出BC，即可求出▱ABCD的面积．
解：分两种情况：
①如图1所示：
在▱ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝25，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC，EC=AC2−AE2=(25)2−42=2，BE=AB2−AE2=52−42=3，
∴AD＝BC＝2+3＝5，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝5×4＝20；
②如图2所示：
同①得：EC＝2，BE＝3，
∴AD＝BC＝3﹣2＝1，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝1×4＝4；
综上所述：▱ABCD的面积为20或4．
故答案为：20或4．
总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
6．(2023春•紫阳县期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
思路引领：由题意可得四边形AEDF是平行四边形，得DE＝AF再由等腰三角形的性质及平行线可得DF＝CF，进而可求出其结论．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，
又∵AB＝AC＝10，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF＝∠B，
∴∠CDF＝∠C，
∴DF＝CF，
∴AC＝AF+FC＝DE+DF＝10．
答：DE+DF的值是10．
总结提升：本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练求解．
7．如图，▱ABCD中，O是对角线交点，AB＝13cm，BC＝5cm，那么△AOB周长比△BOC的周长多 cm．
思路引领：根据平行四边形的性质可知，△AOB周长与△BOC的周长之差即为AB与BC的差．
解：∵ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD
△AOB的周长为OA+OB+AB；
△BOC的周长为OB+OC+BC
∴两周长之差为OA+OB+AB﹣（OB+OC+BC）＝AB﹣BC＝13﹣5＝8cm．
总结提升：本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
8．(2023春•洋县期末）如图，点O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为CD的中点，AE交BD于点F，若S△AOE＝4，则S△AOB的值为 ．
思路引领：由平行四边形的性质得出O是AC的中点，即可得出S△AOE＝S△EOC，再由三角形中位线定理得出EO∥AD，则S△AOE＝S△EOD，进而即可求出答案．
解：∵点O是▱ABCD的对角线交点，
∴S△AOB＝S△COD，O是AC的中点，
∴S△AOE＝S△EOC，
又∵E为CD中点，
∴S△EOC＝S△EOD=12S△COD，EO是△ACD的中位线，
∴EO∥AD，
∴S△AOE＝S△EOD，
∴S△COD＝2S△AOE＝2×4＝8，
∴S△AOB的值为8，
故答案为：8．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质、三角形中线定理、三角形面积的计算等知识，证出S△AOE＝S△EOD是解题的关键．
9．(2023秋•城阳区期中）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△ABO为等边三角形，AB＝10cm，这个平行四边形ABCD的面积为 cm2．
思路引领：根据等边三角形性质求出OA＝OB＝AB＝10cm，根据平行四边形的性质求出OA＝OC，OB＝OD，得出AC＝BD＝20cm，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC＝90°，由勾股定理求出BC即可．
解：∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝10cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD＝20cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：BC=AC2−AB2=202−102=103（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为10×103=1003（cm2），
故答案为：1003．
总结提升：本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
10．(2023春•洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
思路引领：（1）由三角形中位线定理得EF∥AC，AC＝2EF，再证AD＝EF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝12，则EF＝6＝AD，再求出AF的长，即可解决问题．
（1）证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，AC＝2EF，
∵AC＝2AD，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC=132−52=12，
∴EF=12AC=6=AD，
∴AF=12AB=52，
∵∠BAC＝90°，
∴AD⊥AF，
∴平行四边形AEFD的面积＝AD•AF＝6×52=15．
总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．