2022-2023学年福建省泉州市南安市十校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市南安市十校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数y=(m+3)x2+4是二次函数，则m的取值范围为( )
A. m>−3B. m<−3C. m≠−3D. 任意实数
2.抛物线y=2(x−3)2+4的顶点坐标是( )
A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)
3.将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是( )
A. y=2x2+3B. y=2x2+1
C. y=2(x+1)2+2D. y=2(x−1)2+2
4.将二次三项式x2+6x+7进行配方，正确的结果应为( )
A. (x+3)2+2B. (x−3)2+2C. (x+3)2−2D. (x−3)2−2
5.已知二次函数y=−(x−1)2+5，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )
A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是(1,3)
C. 当x<1时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点
6.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.某种飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足s=−65t2+60t，则该飞机从着陆到停下来滑行的距离是( )
A. 25mB. 50mC. 625mD. 750m
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3,0)，二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是( )
A. b2>4ac
B. ac>0
C. a−b+c>0
D. 4a+2b+c<0
9.如图，已知抛物线l1：y=12(x−2)2−2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为( )
A. y=12(x−2)2+4
B. y=12(x−2)2+3
C. y=12(x−2)2+2
D. y=12(x−2)2+1
10.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x1=0，x2=1，x3=3时，它们对应的函数值分别为y1，y2，y3，且y1=y3>y2，则( )
A. a>0，3a+b=0B. a<0，3a+b=0
C. a>0，3a+2b=0D. a<0，3a+2b=0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=1，则b的值是______．
12.函数y=2(x−3)2+5，当______时，函数值y随x的增大而减小．
13.抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为______．
14.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(单位：m)与面积y(单位：m2)满足函数解析式y=−(x−11)2+121(015.已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2).如图所示，则能使y1>y2成立的x的取值范围是______．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点(x12，则y1三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.某旅游区的湖边有一个观赏湖中音乐喷泉的区域，该区域沿湖边有一条东西向的长为32m的栏杆．考虑到观景安全和效果，旅游区计划设置一个矩形观众席，该观众席一边靠栏杆，另三边用现有的总长为60m的移动围栏围成，并在观众席内按行、列(东西向为行，南北向为列)摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2(如图所示)，且观众席内的区域恰好都安排了座位．
(1)若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
(2)旅游区库存的500张座椅是否够用？请说明理由．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知二次函数的顶点为(−2,2)且过点(−1,3)，求该函数解析式．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴，y轴的
交点分别为(1,0)和(0,−3)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当y>−3时，x的取值范围．
20.(本小题8分)
(1)请在网格坐标系中画出二次函数y=−x2+2x的大致图象.(注：图中小正方形网格的边长为1)
(2)观察(1)中所画图象，填空：当x满足：______时，y>0．
(3)观察图形，填空：当0≤x≤3时，y最大值= ______，y最小值= ______．
21.(本小题8分)
如图，某学校要修建一个矩形ABCD的花圃，花圃的一边AD靠教学楼，其它三边用总长为24米的篱笆围成，设AB边的长为x(单位：米)，矩形花圃ABCD的面积为S(单位：平方米)．
(1)求S与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)；
(2)当x取多少时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大的面积为多少？
22.(本小题8分)
新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+e(a≠0,a,b,c为实数)的“图象数”，如：y=−x2+2x+3的“图象数”为[−1,2,3]
(1)二次函数y=13x2−x−1的“图象数”为______．
(2)若图象数”是[m,m+1,m+1]的次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
23.(本小题8分)
已知函数y=x2−mx+m−2．
(1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
(2)若函数y有最小值−54，求函数表达式．
24.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A．
(1)直接写出抛物线的对称轴：x=______；
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；
(3)若点A的坐标是(0,1)，当−2c25.(本小题8分)
如图，抛物线y=12x2+mx+4与x轴交于A(2,0)，B两点，与y轴交于点C．
(1)填空：m= ______；
(2)点P(a,b)在抛物线上，且0(3)设H为线段BC上一点(不含端点)，连接AH，一动点M从点A出发，沿线段AH以每秒一个单位速度运动到H点，再沿线段HC以每秒 2个单位的速度运动到C后停止，当点H的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵函数y=(m+3)x2+4是二次函数，
∴m+3≠0，
解得：m≠−3，
故选：C．
根据二次函数的定义和已知条件得出m+3≠0，再求出答案即可．
本题考查了二次函数的定义，注意：形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h.
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】
解：y=2(x-3)2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,4)．
故选A．
3.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为(0,2)，
向右平移1个单位后顶点坐标为(1,2)，
∴抛物线解析式为y=2(x−1)2+2．
故选：D．
抛物线y=2x2+2的顶点坐标为(0,2)，向右平移1个单位后顶点坐标为(1,2)，根据抛物线的顶点式可求解析式．
本题考查了抛物线解析式与抛物线平移的关系．关键是抓住顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2+6x+7=x2+6x+9−9+7，
x2+6x+7=(x+3)2−2．
故选：C．
x2+6x+7中x2+6x+9即是(x+3)2，因而x2+6x+7=(x+3)2−2
此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．
5.【答案】C
【解析】解：对于y=−(x−1)2+5，
∵a=−1，故抛物线开口向下，故A错误；
顶点坐标为(1,5)，故B错误；
当x<1时，y随x的增大而增大，故C正确；
令y=−(x−1)2+5=0，解得x=1± 5，
故抛物线和x轴有两个交点，故D错误，
故选：C．
由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，ab>0，则a、b同号，
当a>0时，b>0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a<0时，b<0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
根据题意，ab>0，则a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
7.【答案】D
【解析】解：∵y=−65t2+60t=−65(t−25)2+750，
∴当t=25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，所以A选项正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴ac<0，所以B选项错误；
∵抛物线过点A(3,0)，二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，所以C选项错误；
∵当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以D选项错误．
故选：A．
根据抛物线与x轴有两个交点有b2−4ac>0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，所以a−b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c>0，于是可对D选项进行判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
9.【答案】C
【解析】解：连接BC，
∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，
∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积．
∵抛物线l1的解析式是y=12(x−2)2−2，
∴易知抛物线l1与x轴分别交于O(0,0)、A(4,0)两点，
∴OA=4；
∵OA×AB=16，
∴AB=4；
∵l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，
∴l2的解析式为：y=12(x−2)2−2+4，即y=12(x−2)2+2．
故选：C．
根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
10.【答案】A
【解析】解：∵y1=y3，x1=0，x3=3，
∴抛物线抛物线对称轴为直线x=−b2a=32，
∴b=−3a，
∵x1y2，
∴抛物线开口向上，即a>0，
∴b<0，
∴3a+b=0，
故选：A．
由y1=y3，x1=0，x3=3可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，由x1y2，可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】−2
【解析】解：∵y=x2+bx的对称轴为直线x=1，
∴−b2=1，
解得：b=−2，
故答案为：−2．
利用对称轴公式可求得对称轴，再利用条件可得到关于b的方程，即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即对称轴为直线x=−b2a．
12.【答案】x<3
【解析】解：由题意得：对称轴为直线x=3，且开口向上，
∴当x<3时，函数值 y 随 x 的增大而减小
故答案为：x<3．
对于二次函数y=a(x−h)2+k，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，开口方向由a的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解．
本题考查了y=a(x−h)2+k的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：根据题意得△=62−4m=0，解得m=9．
故答案为9．
利用△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=62−4m=0，然后解关于m的一次方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
14.【答案】121
【解析】解：当x=11时，y最大=121，
故答案为：121．
根据二次函数顶点的纵坐标是函数的最值，可得答案．
本题考查了二次函数的最值，利用二次函数顶点的纵坐标是函数的最值是解题关键，注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
15.【答案】x<−2或x>8
【解析】解：∵由函数图象可知，当x<−2或x>8时，一次函数的图象在二次函数的下方，
∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<−2或x>8．
故答案为：x<−2或x>8．
直接根据函数的图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
16.【答案】①④
【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=12AB⋅yC=12×AB×2=2，解得：AB=2，则点A(0,0)，即c=0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x=1，若x1+x2>2，则12(x1+x2)>1，则点N离函数对称轴远，故y1>y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点(3,−1)，则y′=ax2+bx+c+1过点(3,0)，
根据函数的对称轴该抛物线也过点(−1,0)，故方程ax2+bx+c+1=0的两根为−1，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
根据函数的图象和性质即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
17.【答案】解：由题意可得每行的座椅数为：60−2x，
∵栏杆总长为32m，且每个座位为占地面积1m2的正方形，
∴60−2x≤32，
解得x≥14，
∴x的最小值为14；
(2)解法一：
设观众席内的座位数为y，
由题得y=x(60−2x)，其中14≤x<30，其中x为整数，
所以 y=−2x2+60x，
=−2(x−15)2+450，
所以y的最大值为450，
因为450<500，
所以库存的500张座椅够用．
答：旅游区库存的500张座椅够用．
解法二：
由题得观众席内座位数为x(60−2x)，其中14≤x<30，其中x为整数，
因为x(60−2x)−500=−2x2+60x−500=−2(x−15)2−50，
又因为−2(x−15)2≤0，
所以−2(x−15)2−50<0，
所以x(60−2x)<500，
所以库存的500张座椅够用．
答：旅游区库存的500张座椅够用．
【解析】(1)根据题意列出不等式60−2x≤32，则可得出答案；
(2)方法一：设观众席内的座位数为y，由题得y=x(60−2x)，其中14≤x<30，其中x为整数，由二次函数的性质得出y的最大值为450，则可得出结论；
方法二：由题得观众席内座位数为x(60−2x)，其中14≤x<30，其中x为整数，因为x(60−2x)−500=−2(x−15)2−50，所以x(60−2x)<500，则可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：由顶点(−2,2)，可设抛物线为：y=a(x+2)2+2，
将点(−1,3)代入上式可得：(−1+2)2a+2=3，解得a=1，
综上所述：y=(x+2)2+2=x2+4x+6．
【解析】利用顶点式求解二次函数解析式即可．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的顶点式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,−3)，
∴1+b+c=0c=−3，解得：b=2c=−3．
∴抛物线的表达式为：y=x2+2x−3．
(2)当y>−3时，x的取值范围是x<−2或x>0．
【解析】【分析】
(1)把(1,0)和(0,−3)代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
(2)利用抛物线的对称性得到点(0,−3)关于直线x=−1的对称点的坐标为(−2,−3)，然后利用函数图象写出函数值大于−3对应的自变量的范围即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】0【解析】解：(1)∵抛物线y=−x2+2x=−(x−1)2+1，
∴顶点坐标为(1,1)，开口向下，过原点，
描点、连线，画图如下：
(2)由图象可知，00．
故答案 为 0(3)当0≤x≤3时，
当x=0时，y=0；
当x=3时，y=−3；
当x=1时，y=1；
y最大值=1，y最小值=−3．
故答案为：1，−3．
(1)求得顶点坐标，再列表、描点、连线，即可作出函数图象；
(2)根据图象，即可求解；
(3)分别求得x=0，x=3时，函数的值，结合顶点坐标即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值以及二次函数和不等式的关系．数形结合思想的运用是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AB=x，AB+BC+CD=24，
∴BC=24−2x，
则S=(24−2x)×x=−2x2+24x；
(2)S=−2x2+24x=−2(x−6)2+72，
∵a=−2<0，
∴函数有最大值，
故当x=6时，y有最大值72，
答：当x=6时，矩形花圃面积最大，最大面积为72平方米．
【解析】(1)AB=x，则BC=24−2x，根据矩形面积=长×宽，即可得出S与x的函数关系式；
(2)利用配方法即可求出函数最大值．
本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握运用配方法求二次函数最值的问题．
22.【答案】[13,−1,−1]
【解析】解：(1)二次函数y=13x2−x−1的“图象数”为[13,−1,−1]；
故答案为[13,−1,−1]；
(2)二次函数的解析式为y=mx2+(m+1)x+m+1，
根据题意得△=(m+1)2−4m(m+1)=0，
解得m1=−1，m2=13．
(1)利用“图象数”的定义求解；
(2)根据新定义得到二次函数的解析式为y=mx2+(m+1)x+m+1，然后根据判别式的意义得到△=(m+1)2−4m(m+1)=0，从而解m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
23.【答案】(1)证明：令y=0，可得x2−mx+m−2=0，
∵Δ=m2−4(m−2)=m2−4m+8=(m−2)2+4，
∵(m−2)2≥0，
∴Δ>0，
∴方程x2−mx+m−2=0有两个不同的实数根，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
(2)解：由题意：4×1×(m−2)−m24=−54，
∴4m−8−m2=−5，
∴m2−4m+3=0，
∴m=1或3，
∴抛物线的解析式为y=x2−x−1或y=x2−3x+1．
【解析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)令y=0，可得x2−mx+m−2=0，利用判别式的值证明方程有两个不同的实数根；
(2)根据题意构建方程求出m的值即可解决问题．
24.【答案】解：(1)−32；
(2)∵抛物线在x轴下方，
∴a<09a2−4ac<0，
解得4c9∵符合条件的整数a有三个，
∴−4≤4c9<−3，
解得−9≤c≤−274，
∴c的最小值为−9；
(3)∵点A的坐标是(0,1)，
∴c=1，
∴y=ax2+3ax+1，
∴−2当x=−2时，y=4a−6a+1=−2a+1，
∴直线x=−2与抛物线交点坐标为(−2,−2a+1)，
当x=1时，y=a+3a+1=4a+1，
∴直线x=1与抛物线交点坐标为(1,4a+1)，
①当Δ=9a2−4a=0时，抛物线顶点在x轴上，满足题意，
解得a=0(舍)或a=49；
②当a>0时，若点(−2,−2a+1)在x轴或x轴下方，点(1,4a+1)在x轴上方满足题意，
则a>0−2a+1≤04a+1>0，
解得a≥12，
③当a<0时，若(−2,−2a+1)在x轴上方，点(1,4a+1)在x轴上或x轴下方满足题意，
∴a<0−2a+1>04a+1≤0，
解得a≤−14．
综上所述，a=49或a≥12或a≤−14．
【解析】解：(1)由抛物线y=ax2+3ax+c可得，
抛物线的对称轴为x=−3a2a=−32，
故答案为：−32；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由抛物线解析式直接求出对称轴即可；
(2)由抛物线恒在x轴下方可得4c9(3)由点A坐标求出c的值为1，求出直线x=−2，直线x=1与抛物线的交点坐标，分类讨论a>0，a<0两种情况，列不等式组求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
25.【答案】−3
【解析】解：(1)将点A的坐标代入得2+2m+4=0，解得：m=−3．
故答案为：−3．
(2)①当0令y=0得：12x2−3x+4=0，解得x=2或x=4，
∴B(4,0)．
设直线BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=−1，
∴BC的解析式为y=−x+4．
设点P的坐标为(a,12a2−3a+4)，则点D的坐标为(a,−a+4)．
∴DP=(−a+4)−(12a2−3a+4)=−12a2+2a．
∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=12×4×(−12a2+2a)=−(a−2)2+4．
当a=2时 S最大值为4．
②当4≤a≤6时，过点P作y轴的垂线交BC于E．
∴E(3a−12a2,12a2−3a+4)，PE=(a−3a+12a2)=12a2−2a．
∴S△PBC=S△PCE+S△PBE=12×4×(12a2−2a)=(a−2)2−4．
当a=6时 S最大值为12．
综上可知，当0(3)作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H．
∵BC的解析式为y=−x+4．
∴∠OBC=45°．
∵点A与点A′关于BC对称，
∴∠ABC=∠A′BC=45°，AB=A′B=2，
∴A′(4,2)．
在Rt△CFH中，∠FCH=45°，即HF= 2HC，
∴点M在整个运动中所用的时间为AH1+HC 2=AH+HF．
∴当点A′、H、F在一条直线上时，所用时间最短．
将y=2代入y=−x+4得：−x+4=2，解得：x=2，
∴点H的坐标为(2,2)．
(1)将点A的坐标代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
(2)先求得点B和点C的坐标，当0(3)作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H，依据轴对称的性质可得到A′(4,2)将y=2代入直线BC的解析式可得到点H的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质、求得点A′的坐标是解题的关键．x
⋯
−1
0
1
2
3
⋯
y
⋯
−3
0
1
0
−3
⋯