2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题04受力分析与共点力的平衡(原卷版+解析)

这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题04受力分析与共点力的平衡(原卷版+解析)，共77页。试卷主要包含了受力分析与整体法和隔离法的应用，共点力的静态平衡，动态平衡问题，平衡中的临界、极值问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5112" 题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用 PAGEREF _Tc5112 \h 1
\l "_Tc11178" 题型二 共点力的静态平衡 PAGEREF _Tc11178 \h 3
\l "_Tc17551" 类型1 合成法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc17551 \h 3
\l "_Tc18213" 类型2 正交分解法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc18213 \h 6
\l "_Tc20488" 类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc20488 \h 8
\l "_Tc23068" 类型4 正弦定理求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc23068 \h 9
\l "_Tc2452" 类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡 PAGEREF _Tc2452 \h 11
\l "_Tc7741" 题型三 动态平衡问题 PAGEREF _Tc7741 \h 12
\l "_Tc4739" 类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc4739 \h 13
\l "_Tc3232" 类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc3232 \h 15
\l "_Tc4199" 类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型 PAGEREF _Tc4199 \h 19
\l "_Tc2541" 题型四 平衡中的临界、极值问题 PAGEREF _Tc2541 \h 21
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
三重检验：
明确各力的施力物体、受力物体．
判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，一质量为的白板擦静止在竖直磁性白板上，现给白板擦一个恒定的水平推力，重力加速度g取，则推力作用后（ ）
A．白板擦可能做水平方向匀速直线运动B．白板擦可能做匀加直线运动
C．白板擦受到的摩擦力大小为D．白板擦共受6个力
【例2】．（2023春·四川宜宾·校考期中）如图所示，M、N两物体叠放在一起，在恒力F作用下，一起沿竖直墙向上做匀加速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是（ ）
A．物体M一定受到5个力B．物体N可能受到4个力
C．物体M与墙之间一定有弹力和摩擦力D．物体M与N之间一定有摩擦力
【例3】．（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图，在恒力F作用下，a、b两物体保持静止，关于它们的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．a可能受到四个力
B．b一定受到四个力
C．a对b的作用力垂直二者的接触面
D．b与墙壁之间可能有弹力和摩擦力
【例4】．（2023秋·山东临沂·校考期末）如图所示，质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的滑块沿着斜面向下做加速运动，斜面体始终处于静止状态。已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为
C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【例5】．（2023秋·山东青岛·青岛二中校考期中）如图所示，倾角为的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则（ ）
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D．若将细绳剪断后，B物体依然静止在斜面上，则水平面对C的摩擦力一定不为零
【例6】．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学期中）如图所示，质量为m的物体A放在质量为M、倾角为的斜面B上，斜面B置于粗糙的水平地面上，用平行于斜面的力F拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜面B始终静止不动，则下列说法中不正确的是（ ）
A．斜面B相对地面有向左运动的趋势
B．地面对斜面B的静摩擦力大小为
C．地面对斜面B的支持力大小为
D．斜面B与物体A间的动摩擦因数为
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·福建厦门·统考二模）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋顶部分结构如图乙所示，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间。已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为，瓦片质量为m，圆弧半径为d，忽略瓦片厚度，重力加速度为g，则每根椽子对瓦片的支持力大小为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2023·广东惠州·统考一模）在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。若某次受到沿水平方向来的风时，稳定后，金属丝偏离竖直方向夹角为。已知风力F与风速v的大小关系为，k为常量，金属球的质量为m，重力加速度为g，则风速大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2023春·安徽·安徽省当涂第一中学校联考阶段练习）如图所示，质量为m的物块A静置于水平台面上，质量也为m的光滑小球B（可视为质点）放在半球体C上，物块A与小球B通过细线连接起来，并且细线绕过轻质定滑轮P。物块A在图示位置恰好处于静止状态，滑轮P通过竖直的轻杆固定于半球体球心的正上方，细线PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ=30°。重力加速度大小为g，不计细线与滑轮间的摩擦，则（ ）
A．轻杆OP对滑轮的作用力大小为mgB．A受到的摩擦力大小为
C．C受到的摩擦力大小为D．C对B的弹力大小为
【例4】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图所示，小球A通过小滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在点，另一端跨过小滑轮连接一弹簧。弹簧下端与小球B连接，小球B置于粗糙水平面上的光滑半圆柱体上，两球均处于静止状态。已知B球质量为m，小滑轮用轻杆固定在半圆柱体圆心的正上方，与竖直方向成角，长度与半圆柱体半径相等，与竖直方向成角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，则下列叙述正确的是（ ）
A．A球质量为
B．地面对半圆柱体的摩擦力大小为
C．杆对滑轮作用力大小为
D．若将AB两小球的质量均加倍，与竖直方向夹角保持不变
【例5】（2023·高三课时练习）研究表明：头发能承受的拉力随年龄而变化，20岁组人的头发能承受的最大拉力平均约为1.72N，30岁组的平均约为1.5N，40岁组的平均约为1.38N，60岁组的平均约为0.95N……小萍利用简易实验器材：一把刻度尺，一质量为m = 300g的重物，测量一根头发丝能承受的最大拉力，并与上述数据进行对比来推测该头发丝对应者的年龄范围。实验步骤如下：
①水平固定刻度尺；
②用手指尖紧握住头发丝的两端，用直尺测量出头发丝拉直时两手指尖之间的距离a = 40.0cm；
③如图所示，用光滑轻挂钩将重物挂在头发丝上，两手缓慢沿刻度尺水平向外移动，直至头发丝恰好被拉断；从刻度尺上读出此时两手指尖之间的距离b = 20.0cm（重力加速度g取10m/s2）。利用所测数据可求得该头发丝能承受的最大拉力为___________N，由此可推测该人的大致年龄。
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，三角形斜面A放置于水平地面上，将光滑滑块B放置于斜面A上，在滑块B上施加水平向右的恒力F，斜面A和滑块B一起向右匀速运动，已知滑块B的质量为m，斜面A的质量为2m，斜面倾角为30°，则斜面与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图所示是一竖直固定的光滑圆环，中央有孔的小球P和Q套在环上，由伸直的细绳连接，它们恰好能在圆环上保持静止状态．已知小球Q的质量为m，O、Q连线水平，细绳与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g.则( )
A．细绳对Q球的拉力大小为mg
B．环对Q球的支持力大小为eq \f(\r(3),3)mg
C．P球的质量为2m
D．环对P球的支持力大小为eq \r(3)mg
【例3】（2022·湖南永州·模拟预测）如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计一切摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比mA：mB等于（ ）
A．1：sinθB．sinθ：1C．tanθ：1D．1：csθ
【例4】（2022·山东临沂·高三期中）如图所示，倾斜直杆的左端固定在水平地面上，与地面成角，杆上穿有质量为m的小球a和轻质环b，两者通过一条细绳跨过定滑轮相连接。当a、b静止时，Oa段绳与杆的夹角也为，不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．a受杆的弹力方向垂直杆向上B．杆对a的支持力大小为
C．绳对a的拉力大小为D．b受到杆的弹力大小为
【例5】(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【例6】．（2023春·湖北恩施·校联考期中）如图，环a、b的质量分别为、，用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆OM和竖直光滑细杆ON上，O点离地面的高度，细线长，且已知细线能承受的张力最大值为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线与水平杆间夹角为θ，重力加速度为g取。
（1）初始时整个装置静止，当时，a、b环恰好不滑动，求a环与水平粗糙杆OM间动摩擦因数μ；
（2）在第一问条件下，若整个装置以竖直杆ON为轴匀速转动，求当细线刚好断裂时装置转动的角速度ω；
（3）若细线断裂时环a刚好位于横杆最右端M点，求圆环a落地时离ON轴的水平距离。
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·全国·统考模拟预测）如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止在B点时，弹簧与竖直方向夹角θ=30°，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同，劲度系数更大的轻质弹簧，小球将在B点下方达到受力平衡
【例2】（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（ ）
A．B．C．D．
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，已知b球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A.eq \r(3) kg B.eq \f(\r(3),3) kg
C.eq \f(\r(3),2) kg D．2 kg
【例2】.(2022·湖南雅礼中学高三月考)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C.eq \r(3)∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶eq \r(3)
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，长度为的木棒一端支在光滑竖直墙上的A点，另一端B点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C点而处于静止状态，细线与木棒之间的夹角为，A、C两点之间的距离为，墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为B．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点
C．细线对木棒的拉力大小为D．木棒的质量为
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为和的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知轻杆与槽右壁成角，槽右壁与水平地面成角时，两球刚好能平衡，且，则B、A两球质量之比为（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2023春·浙江嘉兴·高三嘉兴高级中学校考阶段练习）如图所示，内壁光滑的等边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架的三个面刚好接触，在一次搬运过程中，工人将框架以A为轴逆时针缓慢抬起，当AC边转到向左偏离竖直方向的夹角为15°时。AB边与AC受到的压力之比为（ ）
A．B．C．D．
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）如图所示，倾角为、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重为G的小球在弹簧秤的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧秤，直到弹簧秤的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．力F先变大后变小
B．地面对斜面体的支持力一直变大
C．地面对斜面体的摩擦力一直变小
D．斜面体对小球的支持力一直变大
【例2】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝eq \f(1,2) B．kA＝kB
C．FA＝eq \r(3)mg D．FB＝2mg
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态。m和M的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．水平面对正方体M的弹力大于(M＋m)g
B．水平面对正方体M的弹力大小为(M＋m)gcsα
C．墙面对正方体m的弹力大小为mgtanα
D．墙面对正方体M的弹力大小为
【例4】(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A套在水平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),4)
D．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),5)
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析eq \(――――――→,\s\up7(化“动”为静))画不同状态平衡图构造矢量三角形eq \(―――――→,\s\up7(“静”中求动))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(―――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(―――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))找关系求极值))
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为O，两根不可伸长的轻绳A、B一端系在圆环上，另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，重物静止，结点位于O点，A绳竖直，B绳与A绳的夹角。现保持结点位置和B绳的方向不变，让A绳绕着O点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．开始时，B绳上的张力不为零B．A绳上的张力一直减小
C．A绳上的张力先增大后减小D．B绳上的张力一直增大
【例2】如图所示，用光滑铁丝弯成的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，O为圆心，A为轨道上的一点，一中间带有小孔的小球套在圆弧轨道上，对小球施加一个拉力，若在拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，小球始终静止在A点，则拉力F（ ）
A．先变大，后变小B．先变小，后变大
C．一直变大D．一直变小
【例3】（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球处于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子与竖直方向的夹角均为。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【例4】（2023·全国·二模）如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看做质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的支持力为，则在上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．F和都一直增大
B．F一直增大，先减小后增大
C．地面对凹槽的支持力一直减小
D．地面对凹槽的摩擦力保持不变
【例4】（2023秋·云南玉溪·云南省玉溪第一中学校考阶段练习）如图所示，轻绳OA将一质量为的小球悬挂于点，OA与竖直方向的夹角为，在水平力作用下，小球静止。现使力沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（ ）
A．小球的合力逐渐减小
B．力先减小后增大
C．轻绳OA对球的拉力先增大再减小
D．力最小值为
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例1】（2023·浙江台州·校联考模拟预测）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，，在下降过程中角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳与竖直玻璃墙的夹角，连接小木板的两等长轻绳的夹角，且与在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（ ）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为
D．此时若工人不触碰轻绳，绳的张力大小为
【例2】．（2023·上海·高三专题练习）两根通电直导线a、b相互平行，a通有垂直纸面向里的电流，固定在O点正下方的地面上；b通过一端系于O点的绝缘细线悬挂，且Oa=Ob，b静止时的截面图如图所示。若a中电流大小保持不变，b中的电流缓慢增大，则在b缓慢移动的过程中（ ）
A．细线对b的拉力逐渐变小B．地面对a的作用力变小
C．细线对b的拉力逐渐变大D．地面对a的作用力变大
【例3】．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，导体棒P通过两等长细线悬挂在竖直墙面上等高的两点，并通以恒定电流，另一长直导体棒Q位于AB连线正下方，并与一滑动变阻器串联，闭合开关前滑片位于最左端，已知通电直导线产生的磁场的磁感应强度与通电导线的电流大小成正比，与到通电导线的距离成反比。不计电源与导体棒电阻，现闭合开关，将滑动变阻器的滑片自最左端缓慢滑至中间，导体棒P绕AB连线缓慢转动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒P所受安培力始终垂直于两棒所在平面
B．绳子拉力将减半
C．两棒间的安培力将翻倍
D．两棒的间距将变为原来的倍
【例4】．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F大小不变B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【例5】(2022·贵州贵阳市2月适应性考试)如图所示，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物。现将杆顺时针在竖直面内缓慢旋转，使OA从水平位置转到竖直位置的过程中，绳OA、OB的张力FA和FB的大小变化情况是( )
A.FA先增大后减小，FB一直减小
B.FA先减小后增大，FB一直增大
C.FA先减小后增大，FB先增大后减小
D.FA先增大后减小，FB先减小后增大
【例6】.(2022·天一大联考)如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程中( )
A.OA绳的拉力逐渐增大
B.OA绳的拉力先增大后减小
C.OB绳的拉力先增大后减小
D.OB绳的拉力先减小后增大
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变，Q移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝eq \f(d,l)，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（ ）
A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【例2】．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学阶段练习）如图所示，水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A极缓慢向右移动一小段距离后，系统仍保持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳的拉力变大B．横杆对圆A的摩擦力不变
C．物块C的高度下降D．物块B的高度下降
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点，系统仍然平衡，以下说法正确的是（ ）
A．夹角θ将变小B．夹角θ将变大
C．物体B位置将变高D．绳子张力将增大
【例4】．（2023秋·广东揭阳·高三阶段练习）如图所示，一根不可伸长的细绳的一端固定在天花板上的B点，另一端固定在墙壁上的A，一滑轮放置在细绳上，滑轮下面挂着质量为m的重物，若将细绳的A端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离，则移动过程中（ ）
A．细绳所受拉力保持不变
B．细绳所受拉力逐渐增大
C．细绳所受拉力逐渐减小
D．细绳与竖直方向的夹角α和β都减小
【例5】．（2023秋·全国·高三期中）如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果绳一端由Q点缓慢地向下移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角不变
【例6】（2021·全国·高三专题练习）一杂技演员表演单车过钢丝，如图所示。在两固定杆等高处各挂一个光滑的圆环，两圆环上系一段钢丝，钢丝的长度大于两杆间距，不计钢丝重力。演员从一端缓慢骑单车到另一端。下列说法正确的是（ ）
A．到最低点时，演员受到的合力竖直向上
B．表演用的钢丝可能是光滑的
C．两个圆环对钢丝的拉力，大小始终相等
D．两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上
题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.
多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）一个箱子在平行于斜面的轻绳拉动下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为。若轻绳能承受的最大拉力为，则箱子的质量最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径为22.5m，高度为55m，质量为550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为，则至少需要多少根绳子才能成功起吊（，）（ ）
A．7根B．8根C．9根D．10根
【例3】．（2022·全国·高三假期作业）如图，将物体用细绳OC悬于O点，现用细绳AB绑住绳OC上的A点，再缓慢增大AB上的水平力，已知各部分绳子所能承受的最大拉力是相同的，若此过程中某段绳子被拉断，则（ ）
A．绳AC段先断B．绳OA段先断C．绳AB段先断D．OA与AB段可能同时拉断
【例4】．（2023春·辽宁朝阳·高三统考期中）用AB和CD两根细绳悬挂一小轻环，A、C两点在同一水平面上，如图所示。已知AC=50cm，AB=30cm，CD=40cm，AB绳能承受的最大拉力为5N，CD绳能承受的最大拉力为4N，环下悬挂重物的悬绳能承受的最大拉力为9N，则所悬挂重物受到的重力最大为（ ）
A．B．C．D．
【例4】．（2023·江西南昌·统考一模）如图所示，在建筑沙石料产地常将沙石颗粒输送到高处落下，在水平地面上堆积成圆锥体，若沙石颗粒间的动摩擦因数为，则该圆锥体表面与水平地面的最大夹角满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【例5】（2023·山东·模拟预测）在吊运表面平整的重型板材（混凝土预制板、厚钢板）时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起（不必捆的很紧），用两个吊钩勾住绳圈长边的中点起吊（如图所示），若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为，为了满足安全起吊（不考虑钢丝绳断裂），需要满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【例6】．（2023·江苏苏州·苏州中学校考开学考试）竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈夹角。部件B质量为m，重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（ ）
A．B．C．D．
【例7】．（2023秋·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考期中）扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力，滑块D就能在比大得多的压力下向上顶起物体，已知滑块D与左壁接触面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要扩张机能够顶起质量为的物体，并使其上升，必须满足的条件为（ ）
A．B．
C．D．
【例8】．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3个力作用
B．当增大时，筷子对小球的作用力增大
C．当减小时，筷子对小球的作用力增大
D．筷子对小球的最小压力是
【例9】（2023·全国·高三专题练习）质量为M的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，木块匀速上滑，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，木块与木楔间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）。下列结论正确的是（ ）
A．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcsθ
B．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ
C．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcsθ
D．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsin2θ
【例10】．（2023秋·浙江杭州·期中）如图，斜面固定，倾角为30°，斜面底端固定一挡板．轻弹簧劲度系数为1000N/m，原长10cm，一端与挡板相连，另一端放上重为100N的物体后压缩到8cm，已知物体与斜面间最大静摩擦力为35N。现在用力F沿斜面向上拉物块，物块保持静止，则力F的取值可能为（ ）
A．60NB．70NC．80ND．90N
专题04 受力分析与共点力的平衡
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10861" 题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用 PAGEREF _Tc10861 \h 1
\l "_Tc7063" 题型二 共点力的静态平衡 PAGEREF _Tc7063 \h 5
\l "_Tc16151" 类型1 合成法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc16151 \h 6
\l "_Tc3090" 类型2 正交分解法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc3090 \h 11
\l "_Tc26976" 类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc26976 \h 17
\l "_Tc1193" 类型4 正弦定理求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc1193 \h 20
\l "_Tc22886" 类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡 PAGEREF _Tc22886 \h 24
\l "_Tc26323" 题型三 动态平衡问题 PAGEREF _Tc26323 \h 28
\l "_Tc23887" 类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc23887 \h 28
\l "_Tc6275" 类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc6275 \h 33
\l "_Tc23065" 类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型 PAGEREF _Tc23065 \h 39
\l "_Tc3634" 题型四 平衡中的临界、极值问题 PAGEREF _Tc3634 \h 45
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
三重检验：
明确各力的施力物体、受力物体．
判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，一质量为的白板擦静止在竖直磁性白板上，现给白板擦一个恒定的水平推力，重力加速度g取，则推力作用后（ ）
A．白板擦可能做水平方向匀速直线运动B．白板擦可能做匀加直线运动
C．白板擦受到的摩擦力大小为D．白板擦共受6个力
【答案】B
【详解】AB．水平推力作用后，重力与推力的合力为，白板擦不可能做水平方向运动。若最大静摩擦力大于，则白板擦静止，若最大静摩擦力小于，则沿重力与推力的合力方向做匀加速直线运动，故A错误，B正确；
C．此时摩擦力大小与弹力成正比，具体大小未知，故C错误；
D．推力作用后，白板擦共受重力、弹力、摩擦力、推力、磁力5个力，故D错误。
故选B。
【例2】．（2023春·四川宜宾·校考期中）如图所示，M、N两物体叠放在一起，在恒力F作用下，一起沿竖直墙向上做匀加速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是（ ）
A．物体M一定受到5个力B．物体N可能受到4个力
C．物体M与墙之间一定有弹力和摩擦力D．物体M与N之间一定有摩擦力
【答案】D
【详解】C．M、N两物体一起向上做匀加速直线运动，则合力向上。对M、N整体进行受力分析，受到重力和F；墙对M没有弹力，否则合力不能向上，也就不可能有摩擦力，故C错误；
BD．对N进行受力分析可得：N受到重力，M对N的支持力，这两个力的合力不能向上，所以还受到M对N向上的静摩擦力，共3个力，故B错误，D正确；
A．对M进行受力分析可得：M受到重力、推力F，N对M的压力以及N给M沿斜面向下的静摩擦力，一共4个力，故A错误。
故选D。
【例3】．（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图，在恒力F作用下，a、b两物体保持静止，关于它们的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．a可能受到四个力
B．b一定受到四个力
C．a对b的作用力垂直二者的接触面
D．b与墙壁之间可能有弹力和摩擦力
【答案】B
【详解】A．a物体受到重力、支持力和摩擦力的作用，共受到三个力，A错误；
B．b物体受到恒力F、重力、a物体施加的压力和摩擦力的作用，共受到四个力，B正确；
C．a对b的作用力竖直向下，C错误；
D．b与墙壁之间一定没有弹力和摩擦力，D错误；
故选B。
【例4】．（2023秋·山东临沂·校考期末）如图所示，质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的滑块沿着斜面向下做加速运动，斜面体始终处于静止状态。已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为
C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【答案】B
【详解】A．滑块加速下滑说明，滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ小于tanθ，选项A错误；
B．斜面体对滑块的支持力大小为，选项B正确；
C．对整体进行受力分析可知，竖直方向有向下的加速度，因此地面对斜面体的支持力小于（M＋m）g，选项C错误；
D．对整体受力分析可知，地面对斜面的摩擦力水平向右，选项D错误。
故选B。
【例5】．（2023秋·山东青岛·青岛二中校考期中）如图所示，倾角为的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则（ ）
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D．若将细绳剪断后，B物体依然静止在斜面上，则水平面对C的摩擦力一定不为零
【答案】B
【详解】A．当B受到绳子的拉力与B的重力在沿斜面向下的分力大小相等，即
时，B在斜面上没有运动趋势，此时B、C间没有摩擦力，A错误；
B．把B、C当成一个整体进行受力分析，可知绳子的拉力在水平方向上的分量不是零，整体有向右的运动趋势，所以C受到地面的摩擦力一定不会是零，B正确；
C．把B、C当成一个整体进行受力分析，在竖直方向上有
绳子的拉力在竖直方向上的分量不是零，所以水平面对C的支持力与B、C的总重力大小不相等，C错误；
D．若将细绳剪断，B物体依然静止在斜面上，以B、C为整体进行受力分析，受重力和地面的支持力作用，在水平方向没有力作用，所以水平面对C的摩擦力是零，D错误。
故选B。
【例6】．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学期中）如图所示，质量为m的物体A放在质量为M、倾角为的斜面B上，斜面B置于粗糙的水平地面上，用平行于斜面的力F拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜面B始终静止不动，则下列说法中不正确的是（ ）
A．斜面B相对地面有向左运动的趋势
B．地面对斜面B的静摩擦力大小为
C．地面对斜面B的支持力大小为
D．斜面B与物体A间的动摩擦因数为
【答案】D
【详解】D．对物体A进行受力分析如图所示
根据平衡条件有
，
解得
D错误；
ABC．对A、B整体进行受力分析如图所示
根据平衡条件有
，
可知，斜面B受到地面水平向右的静摩擦力，大小为，B相对地面有向左运动的趋势，地面对斜面B的支持力大小为，ABC正确。
故选D。
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·福建厦门·统考二模）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑特色之一。屋顶部分结构如图乙所示，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间。已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为，瓦片质量为m，圆弧半径为d，忽略瓦片厚度，重力加速度为g，则每根椽子对瓦片的支持力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意，垂直于斜面的截面图及受力分析如图所示
根据受力平衡并结合几何关系，可得
解得
故选C。
【例2】（2023·广东惠州·统考一模）在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。若某次受到沿水平方向来的风时，稳定后，金属丝偏离竖直方向夹角为。已知风力F与风速v的大小关系为，k为常量，金属球的质量为m，重力加速度为g，则风速大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对小球受力分析，有
根据共点力平衡，有
又因为
联立解得
故选A。
【例3】（2023春·安徽·安徽省当涂第一中学校联考阶段练习）如图所示，质量为m的物块A静置于水平台面上，质量也为m的光滑小球B（可视为质点）放在半球体C上，物块A与小球B通过细线连接起来，并且细线绕过轻质定滑轮P。物块A在图示位置恰好处于静止状态，滑轮P通过竖直的轻杆固定于半球体球心的正上方，细线PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ=30°。重力加速度大小为g，不计细线与滑轮间的摩擦，则（ ）
A．轻杆OP对滑轮的作用力大小为mgB．A受到的摩擦力大小为
C．C受到的摩擦力大小为D．C对B的弹力大小为
【答案】C
【详解】BD．对小球B分析，受重力、细线拉力、C对B的弹力，如图
绳子的拉力大小
C对B弹力大小
A受到的摩擦力大小为
故BD错误；
A．轻杆对滑轮的作用力大小
故A错误；
C．对B、C整体水平方向根据平衡条件可知C受到的摩擦力大小为
故C正确。
故选C。
【例4】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图所示，小球A通过小滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在点，另一端跨过小滑轮连接一弹簧。弹簧下端与小球B连接，小球B置于粗糙水平面上的光滑半圆柱体上，两球均处于静止状态。已知B球质量为m，小滑轮用轻杆固定在半圆柱体圆心的正上方，与竖直方向成角，长度与半圆柱体半径相等，与竖直方向成角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，则下列叙述正确的是（ ）
A．A球质量为
B．地面对半圆柱体的摩擦力大小为
C．杆对滑轮作用力大小为
D．若将AB两小球的质量均加倍，与竖直方向夹角保持不变
【答案】C
【详解】A．对小球B分析，受拉力、重力、支持力处于平衡状态，根据几何关系和平衡条件可得
对小球A分析，根据竖直方向平衡条件可得
联立可得
故A错误；
B．对小球B分析，圆柱体对B的支持力大小
方向与竖直方向夹角为30°，则根据牛顿第三定律，B对圆柱体压力
对圆柱体分析，根据水平方向的平衡条件可得
解得
故B错误；
C．对滑轮分析，根据平衡条件，两绳对滑轮的作用力合力（两力大小相等且垂直，则合力为）与杆对滑轮作用力大小相等，则杆对滑轮作用力大小
故C正确；
D． 若将AB两小球的质量均加倍，假设与竖直方向夹角保持不变，根据
则绳拉力扩大两倍，则弹簧拉力扩大两倍，则弹簧伸长，则B位置改变，则与竖直方向不成角，则此时不再满足
即B质量扩大两倍，绳拉力并未扩大两倍，前后矛盾，则假设不成立，即与竖直方向夹角发生改变，故D错误。
故选C。
【例5】（2023·高三课时练习）研究表明：头发能承受的拉力随年龄而变化，20岁组人的头发能承受的最大拉力平均约为1.72N，30岁组的平均约为1.5N，40岁组的平均约为1.38N，60岁组的平均约为0.95N……小萍利用简易实验器材：一把刻度尺，一质量为m = 300g的重物，测量一根头发丝能承受的最大拉力，并与上述数据进行对比来推测该头发丝对应者的年龄范围。实验步骤如下：
①水平固定刻度尺；
②用手指尖紧握住头发丝的两端，用直尺测量出头发丝拉直时两手指尖之间的距离a = 40.0cm；
③如图所示，用光滑轻挂钩将重物挂在头发丝上，两手缓慢沿刻度尺水平向外移动，直至头发丝恰好被拉断；从刻度尺上读出此时两手指尖之间的距离b = 20.0cm（重力加速度g取10m/s2）。利用所测数据可求得该头发丝能承受的最大拉力为___________N，由此可推测该人的大致年龄。
【答案】1.73
【详解】[1]设头发与刻度尺之间的夹角为θ，由图中的几何关系可知
头发与绳子的结点处受力平衡，设头发的拉力为F，得
2Fsinθ = mg
联立解得
F = 1.73N
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，三角形斜面A放置于水平地面上，将光滑滑块B放置于斜面A上，在滑块B上施加水平向右的恒力F，斜面A和滑块B一起向右匀速运动，已知滑块B的质量为m，斜面A的质量为2m，斜面倾角为30°，则斜面与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】隔离滑块B，对B受力分析，如图所示
根据平衡条件，可得
对A、B整体受力分析，如图所示
可得
其中摩擦力
代入数据解得
故选D。
【例2】如图所示是一竖直固定的光滑圆环，中央有孔的小球P和Q套在环上，由伸直的细绳连接，它们恰好能在圆环上保持静止状态．已知小球Q的质量为m，O、Q连线水平，细绳与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g.则( )
A．细绳对Q球的拉力大小为mg
B．环对Q球的支持力大小为eq \f(\r(3),3)mg
C．P球的质量为2m
D．环对P球的支持力大小为eq \r(3)mg
【答案】 C
【解析】 对Q球受力分析，如图所示，
由平衡条件可知，在竖直方向上有Fsin 30°＝mg，在水平方向上有Fcs 30°＝FQ，联立解得F＝2mg，FQ＝eq \r(3)mg，故A、B错误；设P球的质量为M，对P球受力分析，如图所示，在水平方向上有F′cs 30°＝FPsin 30°，在竖直方向上有FPcs 30°＝Mg＋F′sin 30°，F′＝F，联立解得M＝2m，FP＝2eq \r(3)mg，故C正确，D错误．
【例3】（2022·湖南永州·模拟预测）如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计一切摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比mA：mB等于（ ）
A．1：sinθB．sinθ：1C．tanθ：1D．1：csθ
【答案】 D
【解析】
物体A受力如图1所示
受到重力mAg和绳子拉力T，由平衡条件得
T=mAg
物体B受力如图2所示
重力mBg、绳子拉力T、杆的弹力N，由平衡条件得
Tcsθ=mBg
联立解得
故选D。
【例4】（2022·山东临沂·高三期中）如图所示，倾斜直杆的左端固定在水平地面上，与地面成角，杆上穿有质量为m的小球a和轻质环b，两者通过一条细绳跨过定滑轮相连接。当a、b静止时，Oa段绳与杆的夹角也为，不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．a受杆的弹力方向垂直杆向上B．杆对a的支持力大小为
C．绳对a的拉力大小为D．b受到杆的弹力大小为
【答案】 AD
【解析】
当a、b静止时，受力分析如图所示
对a由平衡条件可得
联立解得
，
所以A正确；BC 错误；
D对b分析，由平衡条件可知，b受到杆的弹力大小为
所以D正确；
故选AD。
【例5】(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【答案】 B
【解析】 受力分析如图所示
甲图中，FN1＝Fcs θ，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcs θ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若Fsin θ＝mg，则Ff2＝0，若Fsin θ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝Fsin θ－mg，若Fsin θ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsin θ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsin θ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误．
【例6】．（2023春·湖北恩施·校联考期中）如图，环a、b的质量分别为、，用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆OM和竖直光滑细杆ON上，O点离地面的高度，细线长，且已知细线能承受的张力最大值为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线与水平杆间夹角为θ，重力加速度为g取。
（1）初始时整个装置静止，当时，a、b环恰好不滑动，求a环与水平粗糙杆OM间动摩擦因数μ；
（2）在第一问条件下，若整个装置以竖直杆ON为轴匀速转动，求当细线刚好断裂时装置转动的角速度ω；
（3）若细线断裂时环a刚好位于横杆最右端M点，求圆环a落地时离ON轴的水平距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对两环受力分析，如图所示
对a环由平衡条件可知
对b环有
解得
对两小球整体分析
代入数据
（2）当细线断裂时细线与水平面夹角为，
解得
其中
解得
（3）小球离开M点后做平抛运动初速度为v，可得
竖直方向
水平位移
有几何关系
联立解得
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】（2023·全国·统考模拟预测）如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止在B点时，弹簧与竖直方向夹角θ=30°，已知重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同，劲度系数更大的轻质弹簧，小球将在B点下方达到受力平衡
【答案】C
【详解】A．弹簧处于伸长状态，弹簧弹力F的方向如图所示
小球处于平衡状态，合力为0，故圆环对小球的弹力沿半径向外，由牛顿第三定律知小球对圆环的弹力方向指向圆心，故A错误；
B．由相似三角形法得
可得
故B错误；
C．弹簧的长度为
弹簧的形变量为
由胡克定律
F=kx
可得
解得
故C正确；
D．换用劲度系数更大的某轻质弹簧，若拉伸到同样的长度，小球将上移，则小球将在B点上方达到受力平衡，故D错误。
故选C。
【例2】（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A．由于两球的电场力是相互作用力，故无法比较两球电荷量的大小，A错误；
B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的节点受力分析可知
所以
B错误；
CD．对两球受力可知，根据相似三角形
可得
故C错误，D正确。
故选D。
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，已知b球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A.eq \r(3) kg B.eq \f(\r(3),3) kg
C.eq \f(\r(3),2) kg D．2 kg
【答案】 A
【解析】 分别对a、b两球受力分析，如图所示
根据共点力平衡条件，得FT＝mbg，根据正弦定理列式，可得eq \f(FT,sin 30°)＝eq \f(mag,sin 120°)，解得ma＝eq \r(3) kg，故选A.
【例2】.(2022·湖南雅礼中学高三月考)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C.eq \r(3)∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶eq \r(3)
【答案】 D
【解析】 甲物体是拴牢在O点，且O点处于平衡状态，受力分析如图所示
根据几何关系有γ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理有eq \f(m甲g,sin γ)＝eq \f(m乙g,sin β)，故eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(sin 45°,sin 60°)＝eq \f(\r(2),\r(3))，故选D.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，长度为的木棒一端支在光滑竖直墙上的A点，另一端B点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C点而处于静止状态，细线与木棒之间的夹角为，A、C两点之间的距离为，墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为B．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点
C．细线对木棒的拉力大小为D．木棒的质量为
【答案】C
【详解】A．设细线与竖直墙之间的夹角为，在△ABC中由正弦定理可得
解得
故A错误；
B．根据共点力平衡的原理，木棒受到的三个力（或延长线）一定交于同一点，故B错误；
CD．设细线的拉力为T，木棒的质量为m，对木棒受力分析如图，由力的平衡条件有
，
结合
综合解得
，
故C正确，D错误。
故选C。
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为和的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知轻杆与槽右壁成角，槽右壁与水平地面成角时，两球刚好能平衡，且，则B、A两球质量之比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先对A球受力分析，受重力、杆的弹力、斜面的支持力，然后根据共点力平衡条件并结合合成法列式，再对B球受力分析，受重力、杆的弹力、斜面的支持力，同样根据共点力平衡条件列式，最后联立求解。
【详解】对A球受力分析，受重力、杆的弹力、斜面的支持力，如图所示
根据共点力平衡条件，有
再对B球受力分析，受重力、杆的弹力、斜面的支持力，如图所示
根据平衡条件，有
联立解得
故选B。
【例5】（2023春·浙江嘉兴·高三嘉兴高级中学校考阶段练习）如图所示，内壁光滑的等边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架的三个面刚好接触，在一次搬运过程中，工人将框架以A为轴逆时针缓慢抬起，当AC边转到向左偏离竖直方向的夹角为15°时。AB边与AC受到的压力之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当AC边以A为轴逆时针转动到向左偏离竖直方向15°角时，对铁球进行受力分析可知，此时BC边跟铁球之间没有作用力，铁球受到重力G、AB边作用力F和AC边作用力F三个力作用，力的方向及力的矢量三角形如图所示，根据正弦定理有
故选A。
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）如图所示，倾角为、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重为G的小球在弹簧秤的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧秤，直到弹簧秤的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．力F先变大后变小
B．地面对斜面体的支持力一直变大
C．地面对斜面体的摩擦力一直变小
D．斜面体对小球的支持力一直变大
【答案】C
【详解】AD．根据题意，作出小球受力的矢量三角形，如图所示
从图中可看出力F先减小再增大，斜面对球支持力一直减小，故AD错误；
BC．对整体分析，竖直方向上有
水平方向上有
现沿逆时针方向缓慢转动弹簧秤，则一直增大，一直减小，则一直减小，一直减小，故D错误，C正确。
故选C。
【例2】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝eq \f(1,2) B．kA＝kB
C．FA＝eq \r(3)mg D．FB＝2mg
【答案】 A
【解析】 对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得：F＝mgtan 45°＝mg，FB＝eq \f(mg,cs 45°)＝eq \r(2)mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得：tan θ＝eq \f(F,2mg)，又F＝mg，解得tan θ＝eq \f(1,2)，FA＝eq \r(2mg2＋F2)＝eq \r(5)mg，由题图可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝eq \f(FA,kA)＝eq \f(FB,kB)，解得：eq \f(kA,kB)＝eq \f(FA,FB)＝eq \f(\r(5),\r(2))，故A正确，B、C、D错误．

【例3】（2023·广东·模拟预测）如图所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态。m和M的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．水平面对正方体M的弹力大于(M＋m)g
B．水平面对正方体M的弹力大小为(M＋m)gcsα
C．墙面对正方体m的弹力大小为mgtanα
D．墙面对正方体M的弹力大小为
【答案】D
【详解】AB．对M和m构成的整体进行受力分析，如图甲所示，整体受重力(M＋m)g、水平面的支持力N、两墙面的支持力N 和N，由于两正方体受力平衡，根据共点力平衡条件，水平面对正方体M的弹力大小为
N＝(M＋m)g
故AB错误；
CD．对m进行受力分析，受重力mg、两墙面的支持力N、M的支持力N′，如图乙所示，根据共点力平衡条件有，竖直方向
mg＝N′sinα
水平方向
N＝N′csα
解得
N ＝
即墙面对正方体m的弹力大小等于；由整体法可知
N＝N
则墙面对正方体M的弹力大小为
N＝
故C错误，D正确。
故选D。
【例4】(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A套在水平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),4)
D．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),5)
【答案】 BD
【解析】 对B受力分析，B受重力、拉力F及绳子的拉力而处于平衡状态；将两拉力合成，因拉力为10 N，小球的重力为10 N，则由几何关系可知，轻绳的拉力也为10 N，方向与水平方向成30°角，故B正确，A错误；对A、B整体受力分析可知，A受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°＝25 N，摩擦力等于F沿水平方向的分力Ff＝Fcs 30°＝5eq \r(3) N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝eq \f(Ff,FN)＝eq \f(\r(3),5)，故D正确，C错误。
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析eq \(――――――→,\s\up7(化“动”为静))画不同状态平衡图构造矢量三角形eq \(―――――→,\s\up7(“静”中求动))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(―――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(―――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))找关系求极值))
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为O，两根不可伸长的轻绳A、B一端系在圆环上，另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，重物静止，结点位于O点，A绳竖直，B绳与A绳的夹角。现保持结点位置和B绳的方向不变，让A绳绕着O点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．开始时，B绳上的张力不为零B．A绳上的张力一直减小
C．A绳上的张力先增大后减小D．B绳上的张力一直增大
【答案】D
【详解】A．开始时，重物受力平衡，假设B绳上的张力不为零，则A绳不可能竖直，A错误；
BCD．A绳从竖直转到水平过程，设A、B绳上的张力分别为、，则该过程中结点的受力情况如图所示，由力的矢量三角形知，A绳上的张力先减小后增大，B绳上的张力一直增大，BC错误，D正确。
故选D。
【例2】如图所示，用光滑铁丝弯成的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，O为圆心，A为轨道上的一点，一中间带有小孔的小球套在圆弧轨道上，对小球施加一个拉力，若在拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，小球始终静止在A点，则拉力F（ ）
A．先变大，后变小B．先变小，后变大
C．一直变大D．一直变小
【答案】B
【详解】根据题意可知，小球始终静止在A点，对小球受力分析可知，小球受重力与弹力及拉力，三力平衡三力可组成一个闭合的三角形，如图所示
则拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，拉力F先变小，后变大。
故选B。
【例3】（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球处于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子与竖直方向的夹角均为。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【答案】C
【详解】A．用筷子夹着小球在竖直平面内处于静止状态，则根据平衡条件可知，筷子对小球的合力的大小等于小球的重力，方向与重力的方向相反，故A错误；
B．由几何关系可知，筷子对小球的弹力大小为
故B错误；
CD．在右边筷子转到竖直方向的过程中，左边筷子对小球弹力的方向始终垂直于筷子，而小球自身的重力是一个恒力，由此可以做出在动态平衡过程中力的矢量三角形如下图所示
当两根筷子与竖直方向夹角都为时，三力构成的矢量三角为等腰三角形，在右边的筷子转到竖直方向时，三个力的矢量构成一个直角三角形，易得，在右边筷子转到竖直的过程中，两筷子对小球的弹力都在增大，故C正确，D错误。
故选C。
【例4】（2023·全国·二模）如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看做质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的支持力为，则在上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．F和都一直增大
B．F一直增大，先减小后增大
C．地面对凹槽的支持力一直减小
D．地面对凹槽的摩擦力保持不变
【答案】BC
【详解】AB．由题意可知，在力F缓慢推动的过程中物块处于动态平衡中，且重力为恒力始终不变，推力的方向始终不变，重力、推力、圆弧面对物块的弹力三力始终平衡，合力为零，则可做出力的矢量三角形，如下图所示
则根据动态变化过程中的矢量三角形可知，推力F逐渐增大，圆弧面对物块的弹力先减小后增大，故A错误，B正确；
CD．将小物块和凹槽看成一个整体，由整体法分析可知，推力F斜向右上方，方向不变，但大小始终在增大，因此可知力F在竖直方向和水平方向的分力都在始终增大，设力F与水平方向的夹角为，则由平衡条件可得，竖直方向有
水平方向有
由以上平衡方程结合力F的变化情况可知，地面对凹槽的支持力一直减小；地面对凹槽的摩擦力一直增大，故C正确，D错误。
故选BC。
【例4】（2023秋·云南玉溪·云南省玉溪第一中学校考阶段练习）如图所示，轻绳OA将一质量为的小球悬挂于点，OA与竖直方向的夹角为，在水平力作用下，小球静止。现使力沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（ ）
A．小球的合力逐渐减小
B．力先减小后增大
C．轻绳OA对球的拉力先增大再减小
D．力最小值为
【答案】BD
【详解】A．由于小球一直保持静止，因此小球的合力一直为零，故A错误；
BCD．小球受重力mg、拉力F和轻绳的拉力FT，其中重力的大小和方向均不变，轻绳的拉力的方向不变。三力平衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如下图
力F沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F先减小后增大，且当力F与水平方向的夹角30°时，F最小，最小值为
而轻绳OA上的拉力FT一直减小，故BD正确，C错误。
故选BD。
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例1】（2023·浙江台州·校联考模拟预测）如图所示，一玻璃清洁工人坐在简易的小木板上，通过楼顶的滑轮和轻质绳索在竖直平面内缓慢下降。工人两腿并拢伸直，腿与竖直玻璃墙的夹角，，在下降过程中角保持不变。玻璃墙对脚的作用力始终沿腿方向，小木板保持水平且与玻璃墙平行。某时刻轻绳与竖直玻璃墙的夹角，连接小木板的两等长轻绳的夹角，且与在同一倾斜平面内。已知工人及工具的总质量，小木板的质量可忽略不计。工人在稳定且未擦墙时，下列说法正确的是（ ）
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，脚对墙的作用力增大
B．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，绳的弹力增大
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小为
D．此时若工人不触碰轻绳，绳的张力大小为
【答案】B
【详解】
A．从该时刻起，工人在缓慢下移的过程中，如图由相似三角形
OA长度增加，OD、DE长度不变，所以不变，增加，即绳OA的弹力增大，脚对墙的作用力大小为，在下降过程中角保持不变。所以脚对墙的作用力大小不变。故A错误；
B．由A选项得，OA长度增加，OD、DE长度不变，所以不变，增加，即绳OA的弹力增大，故B正确；
C．此时若工人不触碰轻绳，小木板受的压力大小等于，由于，则
故C错误；
D．连接小木板的两等长轻绳AB、AC的夹角，所以绳AB的张力大小
故D错误。
故答案选B。
【例2】．（2023·上海·高三专题练习）两根通电直导线a、b相互平行，a通有垂直纸面向里的电流，固定在O点正下方的地面上；b通过一端系于O点的绝缘细线悬挂，且Oa=Ob，b静止时的截面图如图所示。若a中电流大小保持不变，b中的电流缓慢增大，则在b缓慢移动的过程中（ ）
A．细线对b的拉力逐渐变小B．地面对a的作用力变小
C．细线对b的拉力逐渐变大D．地面对a的作用力变大
【答案】D
【详解】由题意可知导线中电流方向与导线中相反，在中电流缓慢增大的过程中，对导线受力分析如下图所示
易得与矢量三角形相似，根据相似三角形的性质有
由此可知细线对b的拉力不变，而在逐渐增大，故导线间相互作用的安培力逐渐增大，因此可知导线对地面的作用力变大，根据牛顿第三定律可知，地面对a的作用力变大。
故选D。
【例3】．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，导体棒P通过两等长细线悬挂在竖直墙面上等高的两点，并通以恒定电流，另一长直导体棒Q位于AB连线正下方，并与一滑动变阻器串联，闭合开关前滑片位于最左端，已知通电直导线产生的磁场的磁感应强度与通电导线的电流大小成正比，与到通电导线的距离成反比。不计电源与导体棒电阻，现闭合开关，将滑动变阻器的滑片自最左端缓慢滑至中间，导体棒P绕AB连线缓慢转动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒P所受安培力始终垂直于两棒所在平面
B．绳子拉力将减半
C．两棒间的安培力将翻倍
D．两棒的间距将变为原来的倍
【答案】D
【详解】A．由题意可知，两棒互相排斥，则电流方向相反，安培力平行于两棒所在平面，A错误；
B．如图所示
根据相似三角形可知
可知绳子拉力为定值，B错误；
CD．由
，
可得
当滑片滑到中间时，电阻减半，故两棒的间距将变为原来的倍，则安培力将变为原来的倍，C错误，D正确。
故选D。
【例4】．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F大小不变B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此
缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。
故选D。
【例5】(2022·贵州贵阳市2月适应性考试)如图所示，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物。现将杆顺时针在竖直面内缓慢旋转，使OA从水平位置转到竖直位置的过程中，绳OA、OB的张力FA和FB的大小变化情况是( )
A.FA先增大后减小，FB一直减小
B.FA先减小后增大，FB一直增大
C.FA先减小后增大，FB先增大后减小
D.FA先增大后减小，FB先减小后增大
【答案】 A
【解析】 合力大小不变，等于mg，方向不变，两个分力的夹角不变，根据三角形定则作图，如图所示。由图可知，当OA从水平位置转到竖直位置的过程中，FA先增大后减小，FB一直减小，选项A正确。
【例6】.(2022·天一大联考)如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程中( )
A.OA绳的拉力逐渐增大
B.OA绳的拉力先增大后减小
C.OB绳的拉力先增大后减小
D.OB绳的拉力先减小后增大
【答案】 B
【解析】 以重物为研究对象，重物受到重力mg、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2三个力而平衡，构成矢量三角形，置于几何圆中如图：
在转动的过程中，OA绳的拉力F1先增大，转过直径后开始减小，OB绳的拉力F2开始处于直径上，转动后一直减小，B正确，A、C、D错误.
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变，Q移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝eq \f(d,l)，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（ ）
A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【详解】如图所示，两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的。
假设绳子的长度为x，则有
绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变。
AC．两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A正确，C错误；
B．当N向右移动后，根据，即L变大，绳长不变，所以θ角减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉力变大，B正确；
D．绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误。
故选AB。
【例2】．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学阶段练习）如图所示，水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A极缓慢向右移动一小段距离后，系统仍保持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳的拉力变大B．横杆对圆A的摩擦力不变
C．物块C的高度下降D．物块B的高度下降
【答案】BC
【详解】A．物体B保持静止，受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B的重力，保持不变，A错误；
B．圆环A缓慢向右移动一段距离，重物C受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，栓接A的轻绳与水平方向夹角不变，杆对环的摩擦力也一定不变，B正确；
CD．圆环A缓慢向右移动一段距离，两段绳子夹角不变，滑轮的运动情况如图所示
所以重物C必定下降，重物B上升，D错误C正确。
故选BC。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点，系统仍然平衡，以下说法正确的是（ ）
A．夹角θ将变小B．夹角θ将变大
C．物体B位置将变高D．绳子张力将增大
【答案】C
【详解】因为绳子张力始终与B物体重力平衡，所以绳子张力不变，因为重物A的重力不变，所以绳子与水平方向的夹角不变，因为绳子一端从P点缓慢移到Q点，所以重物A会下落，物体B位置会升高。故选C。
【例4】．（2023秋·广东揭阳·高三阶段练习）如图所示，一根不可伸长的细绳的一端固定在天花板上的B点，另一端固定在墙壁上的A，一滑轮放置在细绳上，滑轮下面挂着质量为m的重物，若将细绳的A端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离，则移动过程中（ ）
A．细绳所受拉力保持不变
B．细绳所受拉力逐渐增大
C．细绳所受拉力逐渐减小
D．细绳与竖直方向的夹角α和β都减小
【答案】A
【详解】设滑轮两边的绳长分别为L1、L2，如下图所示
同一根绳子上的拉力是相等的，由平衡条件，两边绳子水平方向的分力也相等，则
而
细绳的A端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离时，OB和绳长都不变，故不变，则绳子上的拉力不变。
故选A。
【例5】．（2023秋·全国·高三期中）如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果绳一端由Q点缓慢地向下移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角不变
【答案】D
【详解】绳子拉力等于物体A的重力，由于各处都光滑连接，所以各段绳子拉力均相等。将绳一端由Q点缓慢地向下移到P点，绳子拉力不变，物体B质量不变，则稳定后绳子与水平面的夹角不变，如图所示：
因为定滑轮左侧绳子的投影长度不变，所以左侧绳子的长度不变，则物体A的高度不变。
故选D。
【例6】（2021·全国·高三专题练习）一杂技演员表演单车过钢丝，如图所示。在两固定杆等高处各挂一个光滑的圆环，两圆环上系一段钢丝，钢丝的长度大于两杆间距，不计钢丝重力。演员从一端缓慢骑单车到另一端。下列说法正确的是（ ）
A．到最低点时，演员受到的合力竖直向上
B．表演用的钢丝可能是光滑的
C．两个圆环对钢丝的拉力，大小始终相等
D．两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上
【答案】D
【详解】A．因为在整个过程中，演员是缓慢运动的，故可把每个时刻的演员看成是处于平衡状态，即演员所受合力应该为0，故A错误；
B．若钢丝是光滑的，则演员不能够骑单车运动到另一端，故B错误；
C．对钢丝与单车接触的点进行受力分析，如下图所示
由力的平衡可得
由上式可知，只有当时，两钢丝的拉力大小才相等，故C错误；
D．由于平衡状态，故两钢丝拉力的合力应与演员和单车的总重力等大反向，所以两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上，故D正确。
故选D。
题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.
多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）一个箱子在平行于斜面的轻绳拉动下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为。若轻绳能承受的最大拉力为，则箱子的质量最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当轻绳中的拉力达到最大值时，此时箱子的质量有最大值，根据平衡条件有
，
解得
故选C。
【例2】．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径为22.5m，高度为55m，质量为550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为，则至少需要多少根绳子才能成功起吊（，）（ ）
A．7根B．8根C．9根D．10根
【答案】C
【详解】设n根绳拉力在竖直方向的分矢量和与重力大小相等、方向相反。则
由题知

得
即至少需要9根绳子才能成功起吊。
故选C。
【例3】．（2022·全国·高三假期作业）如图，将物体用细绳OC悬于O点，现用细绳AB绑住绳OC上的A点，再缓慢增大AB上的水平力，已知各部分绳子所能承受的最大拉力是相同的，若此过程中某段绳子被拉断，则（ ）
A．绳AC段先断B．绳OA段先断C．绳AB段先断D．OA与AB段可能同时拉断
【答案】B
【详解】设OA与竖直方向夹角为θ，物体质量为m，对物体分析受力，由平衡条件可得
对A点分析受力，由平衡条件可得
整理可得
又
又三股绳的最大拉力相等，故OA绳先断。
故选B。
【例4】．（2023春·辽宁朝阳·高三统考期中）用AB和CD两根细绳悬挂一小轻环，A、C两点在同一水平面上，如图所示。已知AC=50cm，AB=30cm，CD=40cm，AB绳能承受的最大拉力为5N，CD绳能承受的最大拉力为4N，环下悬挂重物的悬绳能承受的最大拉力为9N，则所悬挂重物受到的重力最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
以轻环为研究对象，受力如图所示，根据相似三角形知识有
当AB绳达到最大拉力5N时，代入数据解得
AB绳比CD绳先达到最大值，根据相似三角形知识有
代入数据解得
所悬挂重物受到的重力最大为6.25N。
故选B。
【例4】．（2023·江西南昌·统考一模）如图所示，在建筑沙石料产地常将沙石颗粒输送到高处落下，在水平地面上堆积成圆锥体，若沙石颗粒间的动摩擦因数为，则该圆锥体表面与水平地面的最大夹角满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当圆锥体表面沙石颗粒受到静摩擦力达到最大时，根据受力平衡可得
解得
故选A。
【例5】（2023·山东·模拟预测）在吊运表面平整的重型板材（混凝土预制板、厚钢板）时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起（不必捆的很紧），用两个吊钩勾住绳圈长边的中点起吊（如图所示），若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为，为了满足安全起吊（不考虑钢丝绳断裂），需要满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】要起吊重物，只需满足绳子张力的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静摩擦力，一般情况最大静摩擦力等于滑动摩擦力，如图所示
即
化简可得
故B正确，ACD错误。
故选B。
【例6】．（2023·江苏苏州·苏州中学校考开学考试）竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈夹角。部件B质量为m，重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设A、B刚好发生相对滑动，A、B的受力如图所示
以B为对象，则有
以A为对象，则有
又
联立解得施加在部件A上的水平力F的最小值为
【例7】．（2023秋·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考期中）扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力，滑块D就能在比大得多的压力下向上顶起物体，已知滑块D与左壁接触面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要扩张机能够顶起质量为的物体，并使其上升，必须满足的条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】将力分解成沿杆的两个力、，那么
杆AB顶滑块D使滑块与墙面之间产生一个垂直墙面的压力
同时给滑块一个沿墙壁向上的力
当满足条件
则滑块D就能在比大得多的压力下向上顶起质量为的物体
可得
，
故选A。
【例8】．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3个力作用
B．当增大时，筷子对小球的作用力增大
C．当减小时，筷子对小球的作用力增大
D．筷子对小球的最小压力是
【答案】D
【详解】A．小球受到重力，两根筷子的压力，两根筷子的摩擦力，共5个力作用，A错误；
BC．无论增大还是减小，只要小球不掉下来，筷子对小球的作用力，一定与重力等大反向，BC错误；
D．小球的受力如图所示
筷子对小球的压力最小时，小球受到的摩擦力等于最大静摩擦力，由平衡条件，得
＋
由两式解得
D正确。
故选D。
【例9】（2023·全国·高三专题练习）质量为M的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，木块匀速上滑，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，木块与木楔间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）。下列结论正确的是（ ）
A．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcsθ
B．当α＝0时，F有最小值，最小值为mgsinθ
C．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcsθ
D．当α＝θ时，F有最小值，最小值为mgsin2θ
【答案】D
【详解】木块在木楔斜面上匀速下滑时，有
mgsinθ＝μmgcsθ
木块在力F的作用下沿斜面匀速上滑时，由平衡条件得
Fcsα＝mgsinθ+Ff
Fsinα+FN＝mgcsθ
且
Ff＝μFN
解得
当α＝θ时，F有最小值
Fmin＝mgsin2θ
故选D。
【例10】．（2023秋·浙江杭州·期中）如图，斜面固定，倾角为30°，斜面底端固定一挡板．轻弹簧劲度系数为1000N/m，原长10cm，一端与挡板相连，另一端放上重为100N的物体后压缩到8cm，已知物体与斜面间最大静摩擦力为35N。现在用力F沿斜面向上拉物块，物块保持静止，则力F的取值可能为（ ）
A．60NB．70NC．80ND．90N
【答案】A
【详解】压缩的弹簧对物体产生向上的推力
最大静摩擦力大小为
重力沿斜面的分力大小为
由于物体在重力，弹簧弹力、斜面的支持力，及摩擦力作用下可以平衡，所以拉力F的最小值为零。当静摩擦沿斜面向下达到最大时，拉力F值会有最大值，此时
解得
由此可知拉力的取值范围为
故选A。