2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高一（下）开学数学试卷（A卷）（含解析）

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这是一份2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高一（下）开学数学试卷（A卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−2A. {x|x≥−1}B. {x|x≥4}C. {x|x≤−2}D. {x|−1≤x≤4}
2.已知函数f(x)=lg3(x+3),x>02−x+2,x≤0，则f(f(−2))=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.若函数f(x)=x3+2x2+3x,x≥0x3+ax2+bx,x<0为奇函数，则实数a，b的值分别为( )
A. 2，3B. −2，3C. −2，−3D. 2，−3
4.函数y=2x−x2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量a=( 3,−1)，|b|=4，且(a−2b)⊥a，则|a−b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.设a=lg37，b=21.3，c=0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c7.函数f(x)=3x−lnx的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
8.函数f(x)=sin(2x−π4)−2 2sin2x的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 2πD. π4
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. {0}⊆Z
B. 若集合A，B是全集U的两个子集，且A⊆B，则B∩(∁UA)=⌀
C. 命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2≤0”
D. 命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∀x∈Z，x2<0”
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]单调递减，则( )
A. f(f(1))C. g(f(1))11.已知函数f(x)=lg2(2x+8x)−2x，以下判断正确的是( )
A. f(x)是增函数B. f(x)有最小值C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数
12.关于三角函数f(x)=2sin(2x+π3)−1的性质，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)的一个对称中心为(π3,0)
C. 函数f(x)的图象关于x=11π12对称D. 函数f(x)在区间(−π3,0)上单调
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.设单位向量a，b的夹角为60°，则(2a+b)⋅b= ______．
14.命题“∃x∈(−1,2)，2x2+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是______．
15.已知幂函数f(x)=(m−1)xm的图象过点M(2,a)，则a= ______．
16.若fx=sinπx6x≤01−2xx>0，则f[f(3)]= ．
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x−1+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求不等式|f(x)|≥2的解集．
18.(本小题8分)
已知m∈R，命题p：m2−m−6<0命题q：函数f(x)=2x2−mx+1在(0,+∞)上存在零点．
(1)若p是真命题，求m的取值范围；
(2)若p，q中有一个为真命题，另一个为假命题，求m的取值范围．
19.(本小题10分)
已知向量a=(1,2x)，b=(x,3)，c=(−2,0)．
(1)若(a+2b)//(2a−c)，求实数x的值；
(2)若(a+2b)⊥(2a−c)，求实数x的值．
20.(本小题10分)
已知f(α)=sin(π2+α)cs(π+α)sin(−α)sin(3π2−α)cs(2π−α)tan(π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(π3−α)=13，求cs2(π6+α)+cs(2π3+α)的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为M={x|−2所以∁RM={x|x≤−2或x≥4}，
所以N∩(∁RM)={x|x≥4}．
故选：B．
利用补集和交集的定义求解即可．
本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意f(x)=lg3(x+3),x>02−x+2,x≤0，
所以f(−2)=2−(−2)+2=6，
故f(f(−2))=f(6)=lg3(6+3)=2．
故选：B．
根据分段函数的解析式，先计算f(−2)的值，再求得f(f(−2))的值即可．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵f(x)为奇函数，
∴设x<0，−x>0，则f(−x)=−x3+2x2−3x=−f(x)，
∴x<0时，f(x)=x3−2x2+3x=x3+ax2+bx，
∴a=−2，b=3．
故选：B．
根据f(x)的解析式以及f(x)为奇函数，即可设x<0，从而得出f(−x)=−x3+2x2−3x=−f(x)，这样即可得出x3−2x2+3x=x3+ax2+bx，这样即可求出a，b的值．
本题考查奇函数的定义，考查函数解析式的求法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：分别画出函数f(x)=2x(红色曲线)和g(x)=x2(蓝色曲线)的图象，如图所示，
由图可知，f(x)与g(x)有3个交点，
所以y=2x−x2=0，有3个解，
即函数y=2x−x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，
当x=−3时，y=2−3−(−3)2<0，故排除D
故选：A．
根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D
本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题
5.【答案】C
【解析】【分析】
由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⋅b，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．
本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力．
【解答】
解：由平面向量a=( 3,−1)，可得|a|= 3+1=2，
由(a−2b)⊥a，可得a⋅(a−2b)=0，
即a2=2a⋅b=4，
则a⋅b=2，
|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 4−2×2+16=4，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：因为1=lg33因为21.3>21=2，所以b>a，
又因为0.70.3<0.70=1，所以c所以c故选：B．
根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：依题意，函数f(x)=3x−lnx的定义域为(0,+∞)，
而y=3x在(0,+∞)为单调递减函数，y=−lnx在(0,+∞)为单调递减函数，
因为e3>4，所以e32>2，即e322>1，
所以f(2)=32−ln2=lne32−ln2=lne322>0，f(3)=33−ln3=1−ln3=lne−ln3=lne3所以f(2)⋅f(3)<0，
所以由零点存在性定理可知，
函数f(x)=3x−lnx在区间(2,3)有零点．
故选：C．
根据零点存在性定理f(a)f(b)<0，f(x)=3x−lnx在(0,+∞)为单调递减函数，结合f(2)>0，f(3)<0即可求解．
本题考查了函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=sin(2x−π4)−2 2sin2x
= 22sin2x− 22cs2x− 2(1−cs2x)
= 22sin2x+ 22cs2x− 2
=sin(2x+π4)− 2，
∴其最小正周期T=2π2=π，
故选：B．
利用两角和与差的正弦及二倍角的余弦可得f(x)= 22sin2x− 22cs2x− 2(1−cs2x)，再利用辅助角公式可得f(x)=sin(2x+π4)− 2，于是可求其最小正周期．
本题考查两角和与差的正弦及二倍角的余弦、辅助角公式的应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：选项A，∵0是整数，∴{0}⊆Z，正确；
选项B，当U={1,2,3}，A={1}，B={1,2}时，∁UA={2,3}，B∩(∁UA)≠⌀，错误；
选项C，命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2≤0”，正确；
选项D，命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2≤0”，错误．
故选：AC．
分别根据集合间的关系，集合的运算法则以及含有一个量词的命题的否定求解即可．
本题考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在(−∞,0]单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，
g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)在(−∞,0]单调递减，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以g(x)在R上是减函数，
所以f(1)0>g(1)>g(2)，可得f(g(1))g(f(1))>g(f(2))，所以C不正确；
g(g(1))故选：BD．
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的性质，属于中档题．
先由对数的运算化简，再结合对数函数的性质逐一判断即可得解．
【解答】
解：函数f(x)=lg2(2x+8x)−2x，
则f(x)=lg2(2x+8x)−lg222x，
则f(x)=lg2(2x+12x)，
则f(x)=f(−x)，即函数为偶函数，即选项D正确，选项C错误；
由2x+12x≥2 2x×12x=2，当且仅当x=0时取等号，即函数f(x)有最小值1，即选项B正确；
由函数f(x)为偶函数，且f(x)不是常数函数，所以f(x)一定不是单调递增函数，即选项A错误，
故选BD．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A选项，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，A对；
对干B选项；因为f(π3)=sin(2×π3+π3)−1=sinπ−1=−1，
所以函数f(x)的一个对称中心为(π3,−1)，B错；
对于C选项，因为f(11π12)=sin(2×11π12+π3)−1=sin13π6−1=−12，
则f(11π12)≠f(x)max且f(11π12)≠f(x)min，
故函数f(x)的图象不关于直线x=11π12对称，C错；
对于D选项，当−π3又因为正弦函数在(−π3,π3)上单调递增，
所以函数f(x)在(−π3,0)上单调递增，D对．
故选：AD．
利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项，利用正弦型函数的单调性可判断D选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由题意，|a|=|b|=1，cs=cs60°=12，
所以(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2×1×1×12+1=2．
故答案为：2．
根据向量的模及夹角直接进行数量积运算即可．
本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
14.【答案】(−8,0]
【解析】解：∵∃x∈(−1,2)，2x2+a=0是真命题，
∴a=−2x2，x∈(−1,2)成立，
当x∈(−1,2)时，y=−2x2∈(−8,0]，
∴实数a的取值范围是(−8,0]．
故答案为：(−8,0]．
根据特称命题的性质得到a=−2x2，x∈(−1,2)成立，再利用二次函数求值域即可．
本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的值域是解决本题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：由函数f(x)=(m−1)xm为幂函数，得m−1=0，即m=2，
所以f(x)=x2，
又函数f(x)过点M(2,a)，
则a=f(2)=22=4．
故答案为：4．
根据幂函数的定义可得m=2，再根据函数图象过点M(2,a)，可得a．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
16.【答案】−12
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数求函数值，本题要注意两点，一是要根据定义域选择好解析式，二是当多重求值时，要从内到外求解．
先求出f(3)来，再求f[f(3)]，一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】
解：f(3)=1−2×3=−5，
f[f(3)]=f(−5)=sin(−5π6)=−sin5π6=−12，
故答案为−12．
17.【答案】解：(1)当x<0时，−x>0，f(−x)=2−x−1+1．
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−2−x−1−1．
f(x)=2x−1+1,x>0,0,x=0,−2−x−1−1,x<0.
(2)当x>0时，f(x)=2x−1+1>0，|f(x)|≥2，即f(x)≥2，
即2x−1+1≥2，解得x≥1．
当x<0时，f(x)=−2−x−1−1<0，|f(x)|≥2，即−f(x)≥2，
即2−x−1+1≥2，解得x≤−1．
故不等式|f(x)|≥2的解集是(−∞,−1]∪[1,+∞)．
【解析】(1)利用函数的奇偶性求出解析式即可．
(2)对分段函数进行讨论，去掉绝对值后解不等式即可．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为p是真命题，所以m2−m−6<0成立，解得−2所以m的取值范围是{m|−2(2)若q为真命题，则函数f(x)=2x2−mx+1在(0,+∞)上存在零点，
则方程2x2−mx+1=0在(0,+∞)上有解，
因为该方程在有解时两解同号，
所以方程2x2−mx+1=0在(0,+∞)上有两个正根，
则m2−8≥0m>0，解得m≥2 2，
若p为真命题，q为假命题，得−2若p为假命题，q为真命题，得m≥3，
所以m的取值范围为{m|−2【解析】(1)p是真命题即以m2−m−6<0成立，解此不等式即可；(2)分p为真命题，q为假命题和p为假命题，q为真命题两种情况分别求解即可．
本题考查了命题的真假，以及二次不等式的解法和二次方程根的分布问题，属于中档题．
19.【答案】解：a=(1,2x)，b=(x,3)，c=(−2,0)，
则a+2b=(1+2x,2x+6)，2a−c=(4,4x)，
(1)(a+2b)//(2a−c)，
则(1+2x)⋅4x=4(2x+6)，解得x=2或x=−32；
(2)(a+2b)⊥(2a−c)，
则4(1+2x)+4x(2x+6)=0，解得x=−4+ 142或x=−4− 142．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直、共线的性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意得，f(α)=csα⋅(−csα)⋅(−sinα)−csα⋅csα⋅(−tanα)=csα；
(2)若f(π3−α)=13，则cs(π3−α)=13，
∴cs2(π6+α)=cs2π2−(π3−α)=sin2(π3−α)=1−cs2(π3−α)=1−19=89，
cs(2π3+α)=csπ−(π3−α)=−cs(π3−α)=−13，
则cs2(π6+α)+cs(2π3+α)=89−13=59．
【解析】本题考查利用诱导公式化简求值，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，是基础题．
(1)直接利用三角函数的诱导公式化简；
(2)利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值．

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