2023-2024学年湖南省邵阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(1,2,1)，b=(−2,3,1)，则(a−b)⋅b=( )
A. −19B. −9C. 9D. 19
2.直线ax+2y−6=0与直线3x+(a+5)y+3=0平行，则a=( )
A. −6B. 1C. −6或1D. 3
3.双曲线x23−y26=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. 63B. 2C. 3D. 6
4.已知{Sn}为等差数列{an}的前n项和，若S4=14，S6=S2+22，则S6=( )
A. 26B. 27C. 28D. 29
5.设函数f(x)=x+lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. x−y−1=0B. 2x−y−1=0C. x−y−2=0D. 2x−y−2=0
6.某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A. 14B. 16C. 20D. 48
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=9，a6=243，若关于n的不等式3anλ−2S2n−730≤0恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,27]B. (−∞,54]C. (−∞,27)D. (−∞,54)
8.设a=ln3，b= 3ln2，c= 2ln3，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (x+1x)′=1−1x2
B. (x⋅csx)′=−sinx
C. (x2ex)′=2x−x2ex
D. f(x)=sin(2x−1)，则f′(x)=2cs(2x−1)
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=0，S15=25，则( )
A. a5=0B. {an}的前n项和中S5最小
C. 使Snb>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点的直线：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，直线AF2与BF2的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22.(本小题12分)
已知f(x)=eax+e−ax−ax2．
(1)当a=1时，证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)若f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为a=(1,2,1)，b=(−2,3,1)，所以a−b=(3,−1,0)，
则(a−b)⋅b=(−2)×3+(−1)×3+0×1=−9．
故选：B．
由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为直线ax+2y−6=0与直线3x+(a+5)y+3=0平行，
所以a(a+5)=2×33a≠3×(−6)，解得a=1．
故选：B．
根据两条平行直线的方程的关系，列出关于实数a的等式与不等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x23−y26=1，
其焦点坐标为(±3,0)，其渐近线方程为y=± 2； 2x，即 2x±y=0，
则其焦点到渐近线的距离d=|3 2| 1+2= 6；
故选：D．
根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，
∴2(S4−S2)=S2+(S6−S4)，又S4=14，S6=S2+22，
∴2[14−(S6−22)]=S6−22+(S6−14)，解得S6=27．
故选：B．
由题意得S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，结合条件求解即可．
本题考查等差数列前n项和性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
先对函数f(x)求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．
【解答】
解：f′(x)=1+1x，则f′(1)=2，
又f(1)=1，
则由点斜式可得，所求切线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有12种；不含有甲的选法有4种，根据分类计数原理得到结果．
本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．
【解答】
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
由于甲有两个人参加会议需要分两类：
①含有甲的选法有C21C42=12种，
②不含有甲的选法有C43=4种，
共有12+4=16(种)，
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则a6=a3q3，即243=9q3，解得q=3，
所以a1=a3q2=932=1，所以an=3n−1,Sn=a1(1−qn)1−q=3n−12，
因为3anλ−2S2n−730≤0恒成立，即3nλ≤32n−1+730恒成立，即λ≤3n+7293n恒成立，
由基本不等式可得3n+7293n≥2 3n⋅7293n=54，当且仅当3n=7293n，即n=3时等号成立，
所以λ≤54，即实数λ的取值范围为(−∞,54]．
故选：B．
根据等比数列的通项公式与求和公式求出an=3n−1，Sn=3n−12，由题意可得λ≤3n+7293n恒成立，运用基本不等式求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，不等式恒成立，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：构造函数f(x)=2lnxx(x>0)，则f′(x)=2(lnx)′x−x′lnxx2=2(1−lnx)x2，
当00，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=2，符合题意；
当a