【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题（含解析）

这是一份【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有( )
A. 8种B. 15种C. 35种D. 53种
2.双曲线E:x23−y26=1的渐近线方程为( )
A. 2x±y=0B. x± 2y=0C. 3x±y=0D. x± 3y=0
3.下列四对向量中，垂直的是( )
A. a=(2,0,1)，b=(−1,1,−2)B. a=(2,1,3)，b=(−1,−1,1)
C. a=(4,0,6)，b=(2,0,3)D. a=(3,1,1)，b=(−1,−2,2)
4.(1x−2x2)9的展开式中，常数项为( )
A. −672B. 672C. −144D. 144
5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )
A. r1>r2>r3B. r2>r3>r1C. r1>r3>r2D. r3>r2>r1
6.在四面体ABCD中，BM=2MC，AN=ND，则MN=( )
A. 13AB+23AC+12ADB. 13AB+23AC−12AD
C. −13AB−23AC+12ADD. −13AB+23AC+12AD
7.从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有( )
A. 252种B. 420种C. 672种D. 10080种
8.已知直线l1:mx+y+4=0与直线l2:x−my−6−4m=0交于点P(x0,y0)，则x02+y02的最大值为( )
A. 4B. 8C. 32D. 64
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(12,σ2),且P(X<10)=0.2,则下列说法正确的是（）
A. P(X>14)=0.2B. P(10≤X≤14)=0.6
C. 若Y=3X+1,则EY=36D. 若Y=3X+1,则DY=9σ2
10.已知直线l:x+ 3y+c=0(c≠0)，O为坐标原点，则( )
A. 直线l的倾斜角为120∘
B. 过O且与直线l平行的直线的方程为x+ 3y=0
C. 若O到直线l的距离为1，则c=2
D. 过O且与直线l垂直的直线的方程为 3x−y=0
11.若曲线C1:y=k|x|+2与曲线C2:x22+y|y|=1有6个公共点，则k的值可能是( )
A. − 153B. − 102C. − 72D. − 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l1:ax+2y−3=0，l2:2x+ay+a+5=0，若l1/​/l2，则a= ．
13.已知抛物线E:y2=8x的焦点为F，M(x0,y0)是E上一点，且|MF|=4x03，则x0= ．
14.22024被9除的余数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C上有两个点A(2,3)，B(4,9)，且AB为圆C的直径．
(1)求圆C的方程;
(2)已知点P(0,5)，求过点P且与圆C相切的直线的方程．
16.(本小题12分)
下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果(单位：人)．
(1)完善上述表格数据，试问是否有99%的把握判断体验感评价与性别有关?
(2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为X，求X的分布列与期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的;
当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联;
当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联;
当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，△PAB是边长为2的正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=π3，BC=4，E为棱PD的中点．
(1)证明：AC⊥平面PAB．
(2)求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，且椭圆C的短轴长为2 6．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设P是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，B是椭圆C的上顶点，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N.记△ABN的面积为S1，△AMN的面积为S2.证明：|S1−S2|为定值．
19.(本小题12分)
某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为23，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为13，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为12，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为Pn，证明：{Pn−37}为等比数列．
(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】
解：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3×5=15种．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=±bax，即可得出答案．
【解答】
解：双曲线x23−y26=1的a= 3，b= 6，
则渐近线方程为y=± 6 3x，即 2x±y=0．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量垂直的判断，属于基础题．
根据数量积是否为0逐个判断即可．
【解答】
解：对于A选项，a⋅b=2×(−1)+0×1+1×(−2)=−4≠0，不正确．
对于B选项，a⋅b=2×(−1)+1×(−1)+3×1=0，正确．
对于C选项，a⋅b=4×2+0×0+6×3=26≠0，不正确．
对于D选项，a⋅b=3×(−1)+1×(−2)+1×2=−3≠0，不正确．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
【解答】
解：(1x−2x2)9的展开式的通项为Tr+1=C9r⋅(1x)9−r⋅(−2x2)r=(−1)r⋅2r．C9r⋅x3r−9，
由3r−9=0，得r=3．
∴在(1x−2x2)9的二项展开式中，常数项等于(−8) ×C93=−672．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查散点图和变量的相关系数，属于基础题．
利用散点图和相关系数的性质即可判断．
【解答】
解：由图可知，r1>0，r2<0，r3<0，且|r2|>|r3|，
所以r1>r3>r2．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间向量的加法，减法，数乘运算法则得出结果．
【解答】
解：如图所示，
由题意得：MN=MC+CD+DN=13BC+AD−AC−12AD
=13AC−AB+12AD−AC=−13AB−23AC+12AD．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查组合问题，属于基础题．
将甲、乙都没被选中的情况加上甲、乙恰有1人被选中的情况即可．
【解答】
解：根据题意分成两类，
第一类：甲、乙都没被选中，共有C105=252种选法．
第二类：甲、乙恰有1人被选中，共有C21C104=420种选法．
故甲、乙至多有1人被选中的选法共有252+420=672种．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到定点距离的最大值的求法，属于中档题．
求出两直线的交点的轨迹为圆后，结合x02+y02的几何意义即可求解．
【解答】
解：∵直线mx+y+4=0与直线x−my−6−4m=0垂直，
并且分别过定点(0,−4)，(6,−4)，m∈R，
且直线mx+y+4=0与直线x−my−6−4m=0交于点P(x0,y0)，
∵(0,−4)，(6,−4)两点所成线段的中点为(3,−4)
所成线段长 6−02+−4−(−4)2=6，
∴点P的轨迹为以(3,−4)为圆心，3为半径的圆．
x02+y02表示坐标原点O与点P之间距离的平方，
由题可知5−3≤|OP|≤5+3，
所以x02+y02的最大值为64．
故答案为D
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正态分布、期望和方差的性质，属于基础题.
利用正态分布的概率计算、期望和方差的性质即可判断.
【解答】
解：因为随机变量X~N(12,σ​2),且P(X<10)=0.2,
所以P(X>14)=P(X<10)=0.2,P(10≤X≤14)=1-P(X<10)-P(X>14)=0.6.
若Y=3X+1,则EY=3EX+1=3×12+1=37,DY=9DX=9σ​2.
故ABD正确，C错误，
​​​​​​​故选ABD
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角、斜率，点到直线的距离，两直线平行、垂直，属于基础题．
由直线的倾斜角、斜率，点到直线的距离，两直线平行、垂直，逐项求解．
【解答】
解：直线l：x+ 3y+c=0(c≠0)的斜率为k=− 33，
设倾斜角为α，则tanα=− 33，
∵0°⩽α<180°，
∴α=150°，故A错误；
设过O且与直线l平行的直线方程为x+ 3y+m=0，代入(0,0)，得m=0，
则过O且与直线l平行的直线方程为x+ 3y=0，故B正确；
若O到直线l的距离为1，则c 12+ 32=1，则c=±2，故C错误；
设过O且与直线l垂直的直线方程为 3x−y+n=0，代入(0,0)，得n=0，
则过O且与直线l垂直的直线方程为 3x−y=0，故D正确．
故选BD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查直线与曲线的位置关系，属于一般题．
分析曲线方程，得到C2是由椭圆x22+y2=1的上半部分与双曲线x22−y2=1的下半部分组合而成的，C1过定点(0,2)，作图，分别联立直线与椭圆和直线与双曲线方程，利用Δ=0求出临界情况，结合图像即可求解．
【解答】
解：当y≥0时，x22+y2=1，当y≤0时，x22−y2=1，
所以C2是由椭圆x22+y2=1的上半部分与双曲线x22−y2=1的下半部分组合而成的．
C1过定点(0,2).如图，
由y=kx+2,x22+y2=1,得(1+2k2)x2+8kx+6=0，
由Δ=64k2−24(1+2k2)=0，得k=± 62．
由y=kx+2,x22−y2=1,得(1−2k2)x2−8kx−10=0，
由Δ=64k2+40(1−2k2)=0，得k=± 102．
因为C1与C2有6个公共点，所以k<0，
由图可知，k的取值范围为(− 102,− 62).
结合选项可知，只有ACD满足题意，
故选ACD．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了两直线平行的条件，属于基础题．
根据两直线平行时对应系数的关系列方程求出a的值，再验证两直线是否重合即可．
【解答】
解：因为l1/​/l2，所以a2−4=0，解得a=±2.
当a=2时，l1:2x+2y−3=0，l2:2x+2y+7=0互相平行，符合题意;
当a=−2时，l1:2x−2y+3=0，l2:2x−2y+3=0重合，不符合题意．
综上所述，a=2．
13.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查抛物线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，属于基础题．
求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义结合题意得|MF|=x0+p2=x0+2=43x0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：因为抛物线方程为y2=8x，
由抛物线的定义，可得|MF|=x0+p2=x0+2=43x0，
解得x0=6．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
把所给的式子化为4×(9−1)674 ，按照二项式定理展开，可得它除以9的余数．
【解答】
解：22024=22×22022=4×8674=4×(9−1)674=4×(C6740×9674−C6741×9673+⋯−C674673×9+C674674×90)，
因为C6740×9674−C6741×9673+⋯−C674673×9为9的整数倍，
所以22024被9除的余数为4×C476476×90=4．
15.【答案】解：(1)因为圆C的直径为AB，故其圆心为C3,6，
其半径为12AB=12 4−22+9−32= 10，
故圆C的方程为：x−32+y−62=10．
(2)因为0−32+5−62=10，故P在圆C上，连接PC，
而直线PC的斜率：kPC=5−60−3=13，故圆C在P处的切线的斜率为k=−3，
故所求切线的方程为：y=−3x+5 ，即3x+y−5=0．

【解析】本题考查圆的标准方程的求解，切线方程的求解，属于中档题．
(1)由中点坐标公式求出圆心C坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；
(2)先判断点P在圆C上，再求得直线PC的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解．
16.【答案】解：(1)由题可把表格数据完善如下：
χ2 =100×(30×35−20×15)250×50×45×55=10011≈9.091>6.635，
所以有99%的把握判断体验感评价与性别有关．
(2)由题可知，用分层随机抽样的方法选取的居民中，
男居民有3045×6=4人，女居民有6−4=2人．
X的取值可能为1，2，3，
且P(X=1)=C41×C22C63=15，P(X=2)=C42×C21C63=35，P(X=3)=C43C63=15，
则X的分布列为
EX=1×15+2×35+3×15=2．
【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量分布列与数学期望，属于中档题．
(1)由题意得到2×2列联表，代入公式求解即可；
(2)X的取值可能为1，2，3，求出对应的概率，得到分布列求期望即可．
17.【答案】(1)证明：∵AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=12，
∴AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥平面PAB．
(2)解：如图，分别取AB，BC的中点O，F，连接OP，OF．
∵OF//AC，∴OF⊥平面PAB．
以O为坐标原点，OB，OF，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，P(0,0, 3)，A(−1,0,0)，C(−1,2 3,0)，D(−3,2 3,0)，E(−32, 3, 32)，
PA=(−1,0,− 3)，AC=(0,2 3,0)，BE=(−52, 3, 32).
设n=(x,y,z)是平面PAC的法向量，则n⋅PA=−x− 3z=0,n⋅AC=2 3y=0,
令z=1，得x=− 3，则n=(− 3,0,1)．
故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为|cs|=|BE⋅n|BEn=3 3020．

【解析】本题考查面面垂直的性质，考查直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
(1)由余弦定理得到AC2的值，根据勾股定理推导出AC⊥AB，根据面面垂直的性质即可得到AC⊥平面PAB．
(2)分别取AB，BC的中点O，F，连接OP，OF，以O为坐标原点，OB，OF，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，利用向量法能求出BE与平面PAC所成角的正弦值．
18.【答案】解：(1)由题可知，ca= 332b=2 6a2=b2+c2,
解得a=3b= 6c= 3,
故椭圆C的方程为x29+y26=1；
(2)证明：设P(x0,y0)，则直线PA的方程为y=y0x0+3(x+3)，
令x=0，得M(0,3y0x0+3)，
直线PB的方程为y=y0− 6x0x+ 6，
令y=0，得N(− 6x0y0− 6,0)，
则S1=12|AN||OB|= 62|3− 6x0y0− 6|，S2=12|3− 6x0y0− 6||3y0x0+3|，
所以|S1−S2|=12|3− 6x0y0− 6|| 6−3y0x0+3|=12|3y0−3 6− 6x0y0− 6⋅ 6x0+3 6−3y0x0+3|
=126x02+9y02−18 6y0−6 6x0y0+36x0+54x0y0+3y0− 6x0−3 6，
由x029+y026=1，得6x02+9y02=54，
则126x02+9y02−18 6y0−6 6x0y0+36x0+54x0y0+3y0− 6x0−3 6
=12108−18 6y0−6 6x0y0+36x0x0y0+3y0− 6x0−3 6=3 6，
所以|S1−S2|为定值．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题．
(1)根据题意得出ca= 332b=2 6a2=b2+c2，求出a，b的值，即可求出结果；
(2)设P(x0,y0)，分别写出直线PA与PB的方程，求出M，N的坐标，表示出|S1−S2|，化简求值即可证出结果．
19.【答案】(1)解：设A1表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，A2表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，
则A1表示第一天中午选择苹果百合汤．
根据题意得P(A1)=23，P(A1)=13，P(A2|A1)=13，P(A2|A1)=1−12=12．
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=23×13+13×12=718．
(2)证明：设An表示第n天中午选择冰糖雪梨汤，
则Pn=P(An)，P(An)=1−Pn，
根据题意得P(An+1|An)=13，P(An+1|An)=1−12=12．
由全概率公式得P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|An)=13Pn+12(1−Pn)=−16Pn+12，
即Pn+1=−16Pn+12．
不妨设Pn+1+λ=−16(Pn+λ)，即Pn+1=−16Pn−16λ−λ，
所以−16λ−λ=12，解得λ=−37，
则Pn+1−37=−16(Pn−37)，又P1−37=521≠0，
所以{Pn−37}是以521为首项，−16为公比的等比数列．
(3)解：由(2)得，Pn=37+521×(−16)n−1．
由题意，只需Pn>1−Pn，即Pn>12(n=1,2,⋯,10)，
则37+521×(−16)n−1>12，即(−16)n−1>310(n=1,2,⋯,10)．
显然n必为奇数，偶数不成立．
当n=1，3，5，7，9时，有(−16)n−1=(16)n−1>310
当n=1时，显然成立．
当n=3时，(16)2−310<0，所以当n=3时不成立．
因为y=(16)n−1单调递减，所以n=5，7，9也不成立．
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率．
【解析】本题考查全概率公式、等比数列的证明和函数单调性的应用，属于中档题．
(1)设事件，利用全概率公式即可求解;
(2)利用全概率公式求得Pn+1=−16Pn+12，由等比数列的定义即可求证{Pn−37}是以521为首项，−16为公比的等比数列;
(2)由(2)得，Pn=37+521×(−16)n−1，由题意，只需Pn>1−Pn，即(−16)n−1>310(n=1,2,⋯,10)，对n进行讨论，结合函数单调性即可求解．X
1
2
3
P
15
35
15