2023-2024学年湖北省荆门市高一上学期1月期末学业水平检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆门市高一上学期1月期末学业水平检测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知M=α|α=k⋅90∘,k∈Z,N=α|α=k⋅45∘,k∈Z则
( )
A. M⊆NB. M⊇NC. M=ND. M∩N=⌀
2.函数y= 1−xlgx的定义域为
( )
A. 0,1B. 0,1C. 1,+∞D. 0,1∪1,+∞
3.函数f(x)=lnx−2x−1的零点所在的大致区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
4.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的
( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为23π时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长AB之比为( )
A. 2 33πB. 2 33πC. 3 32πD. 33π
6.已知函数fx=4−ax+2a,x<1lg3x,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是
( )
A. −4,4B. −4,4C. −∞,−4D. −4
7.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金
( )
A. 大于10gB. 小于10gC. 大于等于10gD. 小于等于10g
8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当−1≤x<0时，f(x)=x2，则方程f(x)+12=0在[−2,6]内的所有根之和为( )
A. 12B. 6C. 4D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算结果为有理数的有( )
A. lg2+lg5B. sin5π6C. 8−23D. 21ln2
10.已知sinα−π+2sinα+π2=0，则下列结论正确的是
( )
A. tanα=2B. sinα−csα= 55
C. sinαcsα+cs2α=35D. sinα+csαsinα−csα=13
11.关于函数fx=sinx+sinx，下列结论正确的有
( )
A. fx是偶函数B. fx在区间−π,−π2单调递减
C. fx的最大值为2D. fx的周期为π
12.生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：ba( )
A. 若a>b>0，m<0，则baB. lg32C. 若a，b，c为▵ABC三条边长，则a1+a+b1+b>c1+c
D. 若a，b，c为▵ABC三条边长，则1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数fx=m2−3m+3xm是偶函数，则f2= ．
14.若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是 ．
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=ex1+ex−12，则函数y=[f(x)]的值域是
16.函数fx 的 定义域为R，满足fx+1=2fx，且当x∈0,1时，fx=4xx−1，若对任意的x∈−∞,m，都有fx≥−3，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数y=1 x−3的定义域为集合A，集合B=xx≤2a+1．
(1)若a=2，求A∩B；
(2)若A∪B=R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知fα= 1+sinα1−sinα+ 1−sinα1+sinα
(1)化简fα；
(2)若α为第三象限角，且fα=3，求sinα，tanα．
19.(本小题12分)
已知函数fx= x2−x4x−1−1
(1)求fx的定义域，并判断其奇偶性；
(2)判断函数fx在0,1上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
20.(本小题12分)
已知函数fx=sin2x+csx．
(1)求fx在0,π2上的值域；
(2)gx=lg22x+a，若对∀x2∈1,2，∃x1∈0,π2，使得4fx1=gx2，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80 km/ℎ(不含80 km/ℎ).经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wℎ)与速度v(单位：km/ℎ)的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
M(v)=140v3+bv2+cv，M(v)=100023v+a，M(v)=300lgav+b．
(1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是50 km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wℎ)与速度的关系是：N(v)=2v2−10v+200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
22.(本小题12分)
已知函数fx=e2x−t+1ex+t．
(1)当t=e时，求不等式fx≤0的解集；
(2)对于函数gx，若∀a，b，c>0，ga，gb，gc为某一三角形的三边长，则称gx为“可构造三角形函数”，已知函数gx=fxe2x−1(x>0)是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】分别讨论集合N中的k=2n和k=2n+1两种情况，即可求得M和N之间的关系．
【详解】∵N=α|α=k⋅45∘,k∈Z
①当集合N中的k=2n时，n∈Z
N=α|α=k⋅45∘,k∈Z=α|α=2n⋅45∘,n∈Z
即N=α|α=n⋅90∘,n∈Z
故此时M=N
②当集合N中的k=2n+1时，n∈Z
N=α|α=k⋅45∘,k∈Z=α|α=2n+1⋅45∘,n∈Z
即N=α|α=n⋅90∘+45∘,n∈Z
此时M≠N
综上所述，M⊆N．
故选：A．
【点睛】本题考查了求角的集合之间的关系，解题关键是掌握角集合的表示方法和集合间的关系，考查了分析能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式求解可得函数的定义域．
【详解】由1−x≥0x>0x≠1⇒0所以函数的定义域为：0,1
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的零点存在定理的应用，函数的单调性以及函数的连续性的判断．
判断函数的连续性以及函数的单调性，然后利用零点存在定理推出结果即可．
【解答】
解：函数f(x)=lnx−2x−1在(1,+∞)是增函数，在(1,+∞)上是连续函数，
所以f(x)在(1,+∞)最多只有一个零点，
因为f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3−1>0，
所以f(2)f(3)<0．
所以函数的零点所在的大致区间是(2,3)．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的．
【详解】可令a=9，c=6，b=d=7，则满足a+c>b+d，但“a>b且c>d”不成立，所以“a+c>b+d”不是“a>b且c>d”的充分条件；
根据不等式的性质：由a>b且c>d，可得：a+c>b+d.所以“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要条件．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
设扇形的弧长为l，半径为r，根据三角函数的定义和弧长公式即可求解．
本题主要考查扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：设扇形的弧长为l，半径为r，如图，D为AB的中点，
圆心角α为23π，则∠BOD=π3，
所以弦长AB=2AD=2rsinπ3= 3r，
又弧长AB=2π3r，
所以弦长AB与弧长AB之比为 3r2πr3=3 32π．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】首先求函数在x≥1时函数的值域，再根据函数的值域为R，确定x<1时函数的单调性和端点值的范围，求实数a的取值范围．
【详解】当x≥1时，y=lg3x在1,+∞上单调递增，且lg31=0，所以函数在1,+∞的值域是0,+∞．
因为函数fx的值域是R．
所以当x<1时的函数值域应该包含−∞,0．
即4−a>04−a+2a≥0⇒−4≤a<4．
故选：B
7.【答案】A
【解析】【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得的 黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2.根据天平平衡，列出等式，可得m1,m2表达式，利用作差法比较m1+m2与10的大小，即可得答案．
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，
先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2．
由杠杆的平衡原理：bm1=a×5，am2=b×5.解得m1=5ab，m2=5ba，
则m1+m2=5ba+5ab．
下面比较m1+m2与10的大小：(作差比较法)
因为m1+m2−10=5ba+5ab−10=5b−a2ab，
因为a≠b，所以5b−a2ab>0，即m1+m2>10．
所以这样可知称出的黄金质量大于10g．
故选：A
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查方程根的个数的判断，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用数形结合是解决本题的关键．注意函数性质和数形结合思想的合理运用．
根据函数的奇偶性和对称性推导出f(x)是以4为周期的周期函数，由当−1≤x<0时，f(x)=x2，作出f(x)在[−2,6]内的图象，数形结合能求出方程f(x)+12=0在[−2,6]内的所有根之和．
【解答】
解：∵定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(x)=f(2−x)=−f(−x)，
即f(x)=−f(x+2)=f(x+4)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∵当−1≤x<0时，f(x)=x2，
∴f(x)在[−2,6]内的图象如右图：
由方程f(x)+12=0得f(x)=−12，
作出函数y=−12的图象如图：
则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于x=1和x=5对称，
则在[−2,6]内的零点之和为：
x1+x2+x3+x4=2+10=12．
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】逐一计算结果进行判断即可．
【详解】因为：lg2+lg5=lg10=1为有理数；
sin5π6=12为有理数；
8−23=23−23=2−2=14为有理数；
21ln2为无理数．
故选：ABC
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断．
【详解】由sinα−π+2sinα+π2=0⇒−sinα+2csα=0⇒tanα=2.故A正确；
sinαcsα+cs2α=sinαcsα+cs2αcs2α+sin2α=tanα+11+tan2α=2+11+4=35，故 C正确；
sinα+csαsinα−ccα=tanα+1tanα−1=2+12−1=3，故 D错误；
因为tanα=2>0，所以α为第一或第三象限角．
若α为第一象限角，则sin2α+cs2α=1sinαcsα=2sinα>0,csα>0⇒sinα=2 55csα= 55，所以sinα−csα= 55；
若α为第三象限角，则sin2α+cs2α=1sinαcsα=2sinα<0,csα<0⇒sinα=−2 55csα=− 55，所以sinα−csα=− 55．
所以B错误．
故选：AC
11.【答案】AC
【解析】【分析】分析函数的性质得到有关结论．
【详解】因为函数fx的定义域是R，且f−x=sin−x+sin−x=sinx+sinx=fx，所以fx为偶函数，故 A对；
当x∈0,π时，x=x，sinx=sinx≥0，所以fx=2sinx；
当x∈π,2π时，sinx=−sinx≥0，所以fx=0，
所以函数fx的图象如下：
所以函数fx在−π,−π2上单调递增，故 B错；
fx的最大值为2，故 C对；
由图象可知，函数fx不是周期函数，故 D错．
故选：AC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】根据糖水不等式逐项判断即可．
【详解】A.由糖水不等式得：a>b>0，m<0时，ba>b+ma+m，故 A错误．
B.lg32=lg2lg3C.a1+a+b1+b>a1+a+b+b1+a+b=a+b1+a+b>c1+c，故 C正确．
D.ab+c+ba+c+ca+b>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=1，ab+c+ba+c+ca+b<2aa+b+c+2ba+b+c+2ca+b+c=2，故 D正确．
故选：BCD
13.【答案】4
【解析】根据函数fx是幂函数，且为偶函数可求得实数m的值，可得出函数fx的解析式，进而可求得f2的值．
【详解】因为函数fx为幂函数，所以m2−3m+3=1，解得m=1或m=2．
当m=1时，fx=x，函数fx为奇函数，不合题意；
当m=2时，fx=x2，函数fx为偶函数，所以f2=4．
故答案为：4．
14.【答案】9
【解析】利用基本不等式得a+b=ab−3≥2 ab，再解不等式可得结果．
【详解】因为a+b=ab−3≥2 ab(当且仅当a=b时，等号成立)，
所以( ab)2−2 ab−3≥0，
所以( ab−3)( ab+1)≥0，所以 ab≥3，所以ab≥9，
所以ab的最小值为9．
故答案为：9
15.【答案】{−1,0}
【解析】【分析】
本题考查了数学文化及分离常数法求函数值域的应用，函数新定义问题，属于基础题．
由题意分离常数可得f(x)=12−11+ex，再由指数函数的性质可得f(x)的值域，即可得解．
【解答】
解：依题意f(x)=ex+1−11+ex−12=12−11+ex，
由1+ex>1，可得−12<12−11+ex<12，
则f(x)的值域为−12,12，
所以函数y=[f(x)]的值域是−1,0．
故答案为：−1,0．
16.【答案】−∞,94
【解析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求m的取值范围．
【详解】.由fx+1=2fx⇒fx=2fx−1．
当x∈0,1时，fx=4xx−1≥−1；
设x∈1,2，则x−1∈0,1，所以fx=2fx−1=8x−1x−2≥−2；
设x∈2,3时，则x−1∈1,2，所以fx=2fx−1=16x−2x−3≥−4，
由16x−2x−3≥−3⇒x−2x−3=−316，
即x−94x−114=0⇒x=94或114．
由图象可得：x∈−∞,94，都有fx≥−3，故m∈−∞,94
故答案为：−∞,94
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
17.【答案】解：(1)
依题意：整理得A=xx>3，B=xx≤2a+1，
当a=2时，B=xx≤5，∴A∩B=x3(2)
∵A∪B=R，∴根据题意得：2a+1≥3，解得：a≥1，
则实数a的取值范围是1,+∞．

【解析】(1)根据交集的运算求解；
(2)根据A∪B=R，在数轴上画出集合数形结合，求参数的取值范围．
18.【答案】解：(1)
fα= 1+sinα21−sinα1+sinα+ 1−sinα21−sinα1+sinα=1+sinαcsα+1−sinαcsα=2csα．
(2)
∵α为第三象限角，∴sinα<0
又因为fα=−2csα=3⇒csα=−23．
故sinα=− 1−cs2α=− 53，tanα=sinαcsα= 52．

【解析】(1)根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简；
(2)利用同角三角函数的基本关系求值计算，注意“符号优先”．
19.【答案】解：(1)
要使函数有意义，可得x2−x4≥0x−1−1≠0，解得−1≤x≤1且x≠0，
故函数的定义域为−1,0∪0,1，
故fx= x2−x4x−1−1=x 1−x21−x−1=x 1−x2−x
∴f−x=−x 1−−x2x=−fx，又定义域关于原点对称.故fx为奇函数．
(2)
x∈0,1时，fx=x 1−x2−x=− 1−x2，判断：fx在0,1单调递增，
下用定义法证之：任取x1，x2∈0,1且x1fx1−fx2= 1−x22− 1−x12=x12−x22 1−x22+ 1−x12=x1−x2x1+x2 1−x22+ 1−x12
由00，x1−x2<0，x1+x2>0，
故fx1−fx2<0，即fx1
【解析】(1)使函数解析式有意义可求函数的定义域，再利用函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性．
(2)化简函数的解析式，判断函数的单调性，利用单调性的定义进行证明．
20.【答案】解：(1)
fx=1−cs2x+csx=−cs2x+csx+1，x∈0,π2
令t=csx，设ℎt=−t2+t+1=−t−122+54，t∈0,1．
函数ℎt在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，
∵ℎ1=ℎ0=1，∴fx的值域为1,54．
(2)
设y=4fx的值域为集合A，gx的值域为集合B，根据题意可得：B⊆A，
由(1)有A=4,5，又gx=lg22x+a，所以gx在1,2上单调递增，
∵g1=lg22+a，g2=lg24+a，∴B=lg22+a,lg24+a
由B⊆A得4≤lg22+a∴a的取值范围是14,28．

【解析】(1)采用换元法，把问题转化成为二次函数在给定区间上的值域问题解决；
(2)先把问题转化成已知函数gx的值域，求参数的取值范围问题，再结合函数的单调性求参数的取值范围．
21.【答案】解：(1)对于M(v)=300lgav+b，当v=0时，它无意义，所以不合题意；
对于M(v)=1000(23)v+a，它显然是个减函数，这与M(40)故选择M(v)=140v3+bv2+cv.
根据提供的数据，有 140×103+b⋅102+c⋅10=1325,140×403+b⋅402+c⋅40=4400, 解得b=−2,c=150,
当0≤v<80时，M(v)=140v3−2v2+150v．
(2)国道路段长为200 km，所用时间为200vh，
所耗电量为f(v)=200v⋅M(v)=200v⋅(0.025v3−2v2+150v)=5×(v2−80v+6000)
=5×(v−40)2+22000，
因为0≤v<80，当v=40时，f(v)min=22000 Wℎ；
高速路段长为50 km，所用时间为50vh，
所耗电量为g(v)=50v⋅N(v)=50v⋅(2v2−10v+200)=100×(v+100v−5)=100×(v+100v)−500，
因为g(v)在[80,120]上单调递增，
所以g(v)min=g(80)=100×(80+10080)−500=7625Wℎ；
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/ℎ，在高速路上的行驶速度为80 km/ℎ时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为22000+7625=29625 Wℎ．

【解析】本小题主要考查二次函数、指数函数、对数函数的基本性质及函数单调性、最值等基础知识，属于难题．
(1)分别从取值与单调性确定函数模型选择M(v)=140v3+bv2+cv，再用待定系数法求解即可；
(2)分别求出国道路段所耗电量为f(v)=5×(v−40)2+22000， 当v=40时，f(v)min=22000 Wℎ；高速路段所耗电量为g(v)=100×(v+100v)−500，因为g(v)在[80,120]上单调递增， 所以g(v)min=g(80)=100×(80+10080)−500=7625Wℎ，即可求解.
22.【答案】解：(1)
当t=e时，不等式fx≤0，即为ex−1ex−e≤0，
也就是1≤ex≤e，解得0≤x≤1，所以不等式fx≤0的解集为0,1．
(2)
由于函数gx=fxe2x−1=e2x−t+1ex+te2x−1=ex−1ex−tex−1ex+1=ex−tex+1
所以gx=ex−tex+1=ex+1−t+1ex+1=1−t+1ex+1是“可构造三角形函数”
首先，必有t≤1才能保证gx>0；且必有gxmax<2gxmin，
①当0则gx的值域为(1−t2,1)，由0②当t+1=0时，即t=−1时，gx=1，符合题意；
③而当t+1<0时，即t<−1时，gx=1−t+1ex+1是0,+∞上的减函数，
则gx的值域为(1,1−t2)，故t+1<01−t2≤2，解得−3≤t<−1．
综上，实数t的取值范围−3,0．

【解析】(1)当t=e时，不等式fx≤0，不等式因式分解，利用单调性即可求解．
(2)先将函数gx整理并化简gx=1−t+1ex+1，根据函数gx是“可构造三角形函数”，
须由gx>0(x>0)得出t≤1，且gxmax<2gxmin，即通过不等式求得．
【点睛】本题第(1)问主要考查可化为一元二次不等式解法，结合指数函数的单调性；第(2)问通过新定义“可构造三角形函数”，gx>0(x>0)得出t≤1，且gxmax<2gxmin，考查了学生思维能力，运算能力，也进一步运用分类讨论思想，结合函数的单调性，本题综合性较强．
v
0
10
40
60
M
0
1325
4400
7200