2023-2024学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知圆O:x2+y2−4x+6y+5=0，则圆心O和半径r分别为( )
A. O−2,3,r=3 2B. O2,−3,r=2 2
C. O−2,3,r=2 2D. O2,−3,r=3 2
2.双曲线C:y23−x24=1，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±2 3xB. y=±2 33xC. y=± 32xD. y=± 3x
3.已知正项等比数列an满足a4=16,a6=64，则S5=( )
A. 62B. 30或10C. 62或−22D. 30
4.若函数fx=x(x−c)2在x=−2处有极小值，则c=( )
A. −6B. −2C. −6或−2D. −4
5.函数fx=14x−lnx的零点个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长相等，D为AA1的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为( )
A. 32B. 22C. 12D. 0
7.某工厂去年12月试产1060个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月份开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高6%，产品合格率比前一个月增加0.4%，则今年4月份的不合格产品的数量是( )
A. 1.065×88B. 1.064×88C. 1.064×84D. 1.065×84
8.若a=0.7,b=e−0.3,c=ln1.7，则a,b,c的大小关系为( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为y=−1，点A,B是抛物线E上不同的两点，且AF+BF=8，则( )
A. p=2B. 以线段AB为直径的圆必与准线相切
C. 线段AB的长为定值D. 线段AB的中点M到x轴的距离为定值
10.已知等差数列an的首项a1=16，公差d=−4，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn,Sn是数列bn的前n项和.以下说法正确的是( )
A. bn=n+15B. b29是数列an的第8项
C. 当n=17时，Sn最大D. Snn是公差为−1的等差数列
11.已知函数fx=xlnx，下列说法正确的是( )
A. fx的单调递减区间是0,e
B. fx在点e2,fe2处的切线方程是x−4y+e2=0
C. 若方程alnx=x只有一个解，则a=e
D. 设gx=x2+a，若对∀x1∈R,∃x2∈1,+∞，使得gx1=fx2成立，则a≥e
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,O是空间中的一动点，下列结论正确的是( )
A. 若M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点，则BD1⊥平面MNP
B. 平面A1BC1//平面ACD1
C. 若AO=14AB+λAD0≤λ≤1，则B1O+OD的最小值为 13
D. 若AO=λAB+1−λAD0≤λ≤1，则平面OAD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面面积的最大值为4 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线l1:4x−3y+2=0与直线l2:ax+y+3=0平行，则a= ．
14.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2×3n−3，则an= ．
15.已知函数fx=x,gx=ex，若fm=gn成立，则m⋅n+1的最小值为 ．
16.已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，直线l:y=kx与椭圆相交于A,B两点，∠AF2B=120∘,∠AF2B的平分线交l于点N，且2AN=BN，则椭圆E的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．

(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求BD1⋅AC．
18.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2−2x−2my+4=0．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小正整数时，若点P为直线4x−3y+12=0上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为A，求线段PA的最小值．
19.(本小题12分)
已知数列an的首项a1=2，且满足an+1+an=4×3n．
(1)求证：an−3n是等比数列，并求出an的通项公式；
(2)设bn=an−(−1)n，求数列nbn的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B，长轴长为2 2，点P在椭圆C上(不与A,B重合)，且kPA⋅kPB=−12，左右焦点分别为F1,F2．
(1)求C的标准方程；
(2)设过右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点，当△F1MN的面积最大时，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
如图，多面体PS−ABC由正四面体A−PBC和正四面体S−PBC组合而成，棱长为2 3．

(1)证明：BC⊥AS；
(2)求PS与平面ABC所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax−2lnx．
(1)讨论函数fx的单调区间；
(2)当x>0时，fx≥12x3+x2+2−2ex−2lnx恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此确定圆心坐标及半径．
【详解】圆O的方程x2+y2−4x+6y+5=0可化为x−22+y+32=8．
所以圆心O的坐标为2,−3，半径为2 2，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解．
【详解】由双曲线C:y23−x24=1，可得a= 3,b=2，
又由双曲线C的焦点在y轴上，所以双曲线C的渐近线方程为y=±abx=± 32x．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n项和公式求出前项和．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
因为该正项等比数列{an}满足a4=16,a6=64，
所以a4=a1q3=16a6=a1q5=64q>0，解得a1=2,q=2，
故S5=a11−q51−q=21−251−2=62．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】求得f′x=x−c3x−c，由f′(−2)=0，求得c=−2或c=−6，分别求得函数fx的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解．
【详解】由函数fx=x(x−c)2，可得f′x=x−c2+2xx−c=x−c3x−c，
因为函数在x=−2处取得极小值，可得f′(−2)=0，解得c=−2或c=−6，
当c=−2时，令f′(x)>0，解得x−23；令f′x