山西省运城市盐湖区2024届高三下学期一模考试数学试题

这是一份山西省运城市盐湖区2024届高三下学期一模考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，若，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知所在平面内一点，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．对变量，有观测数据，得散点图1；对变量，有观测数据，得散点图2. 表示变量，之间的样本相关系数，表示变量，之间的样本相关系数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知符号函数则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（ ）
A．B．C．1D．
7．直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．月份B．月份
C．月份D．月份
二、多选题
9．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（ ）
A．若，则直线的斜率为或
B．若，则
C．若和不平行，则
D．若，则的最大值为
11．以码的方式在信道内发送位码数据流，前位为信息码，最后一位为奇检验码，使得位码数据流中的个数为奇数，如若信息码为，则检验码为，所发送数据流为.每位码信号的传输相互独立，发送时，收到的概率为，收到的概率为.接收方收到数据后，若数据流中的个数是偶数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则（ ）
A．位码数据流传输无误的概率为
B．接收方要求重新发送该数据的概率为
C．若所接收数据流中的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为
D．若所接收数据流中的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为
三、填空题
12．已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为 .
13．已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则函数的最小正周期是 .
14．已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，，则椭圆的离心率等于 .
四、解答题
15．已知数列各项均不为零，前项和为，满足，.
(1)求；
(2)求.
16．如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
(1)求的长度；
(2)若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
17．一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.

(1)若，
①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列；
②求次试验中事件发生的次数的期望；
(2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？
18．已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)若，求的面积.
19．已知，函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一的极值点；
(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】利用复数的除法化简可得复数.
【详解】因为，则.
故选：A.
2．C
【分析】解出集合，由集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可得出实数的最大值.
【详解】因为，由可得，解得，
即，
又因为，，则，解得，
故的最大值为.
故选：C.
3．B
【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出关于、的表达式.
【详解】因为，即，即，
解得，
故选：B.
4．A
【分析】利用散点图，结合相关系数知识容易得出答案.
【详解】从图像中看出随增大而减少（图像下降），随增大而减少（图像下降），则与呈负相关关系， 与呈负相关关系，即，故C，D不正确；
另外对比两图，容易看出与相关性更强，故越接近，
所以得，A正确，B错误.
故选：A.
5．D
【分析】先得到为偶函数，排除AB，再计算出，得到正确答案.
【详解】定义域为R，且为奇函数，故，
故的定义域为R，
且
，
故为偶函数，AB错误；
当时，，C错误，D正确.
故选：D
6．A
【分析】利用诱导公式，余弦和差公式，二倍角公式，辅助角公式等化简求值.
【详解】
.
故选：A
7．B
【分析】求出直线、所过定点的坐标，分析可知，即，求出点的轨迹方程，分析可知，设，可知直线与曲线有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】直线的方程可化为，由可得，
对于直线，由可得，
所以，直线过定点，直线过定点，
又因为，则，即，
则，，
所以，，所以，，
当，，点不在直线上，
所以，点的轨迹是曲线，
设可得，
由题意可知，直线与曲线有公共点，
且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得，
当，时，；当，时，.
因此，的取值范围是.
故选：B.
8．C
【分析】该工厂每月的产量、合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论.
【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的不合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、合格率分别用、表示，月份用表示，
则，，其中，，
则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台，
因为
，
当时，，即，此时，数列单调递增，
即；
当且时，，即，此时，数列单调递减，
即，
因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据已知条件直接判断线线位置关系，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用线面平行的性质结合线面平行的判定可判断C选项；利用线面、面面平行的性质可判断D选项.
【详解】因为、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，
对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A错；
对于B选项，若，，则，由线面垂直的性质可知，B对；
对于C选项，因为，，，如下图所示：

过直线作平面，使得，
因为，，，则，则，
因为，，则，C对；
对于D选项，过直线作平面，使得，，如下图所示：

因为，，，则，
因为，，，则，则，
因为，，则，D对.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，
对于A选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
因为，则在直线上，设直线的方程为，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
因为，即，可得，即，
所以，，可得，，解得，
此时，直线的斜率为，A对；
对于B选项，当时，则在直线上，，
则，B对；
对于C选项，当和不平行时，则、、三点不共线，
所以，，C错；
对于D选项，设，，
当时，，
由C选项可得，
所以，
，
即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
11．ABC
【分析】利用独立事件的概率公式可判断A选项；设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为，利用独立重复试验的概率公式可得出，求出，可判断B选项；利用条件概率公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，每位数据码传输正确的概率均为，传输错误的概率为，
由独立事件的概率公式可知，位码数据流传输无误的概率为，A对；
对于B选项，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为，
接收方要求重新发送该数据，意味着数据码在传输时传错的数码的个数为或或，
则，
，
所以，，①
，②
①②得，则，B对；
对于C选项，由①②可得，则，
记事件所接收数据流中的个数是奇数个，事件信息码传输正确，
则，
事件意味着，数据流前四位是正确的，最后一位也是正确的，
所以，，
由条件概率公式可得，
所以，若所接收数据流中的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为，C对；
对于D选项，记事件所接收数据流中的个数是偶数个，则，
事件意味着数据流前四位是正确的，最后一位是错误的，
则，
由条件概率公式可得，D错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤：
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算、；
（3）代入公式求.
12．
【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.
【详解】取圆锥的轴截面如下图所示：
设圆锥的外接球为球，易知，且，，则，
故圆锥的底面半径为，
因此，该圆锥的体积为.
故答案为：.
13．
【分析】解方程，根据题意可得出关于的等式，解出的值，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】由可得，
所以，或，
设曲线与直线的交点中两点的横坐标分别为、，
则，可得，
则，此时，；
或，同上可知，；
或，可得，
则，此时，.
综上所述，，解得，故函数的最小正周期为.
故答案为：.
14．/
【分析】利用已知条件和椭圆的定义求出、，由平面向量的线性运算可得出，，利用平面向量数量积的运算性质可得出、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值.
【详解】如下图所示：
由已知条件和椭圆的定义可得，可得，，
因为为的中点，则，
因为，，所以，，
又因为，
所以，，
即，即，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用、的关系推导可知，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，对分奇数、偶数两种情况讨论，综合可得出数列的通项公式；
（2）求出、，相加即可得出.
【详解】（1）解：因为数列各项均不为零，前项和为，，，
当时，则，可得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，
当为奇数时，设，则
；
当为偶数时，设，则.
综上所述，.
（2）解；，，
故.
16．(1)1
(2)
【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得，再利用三角形相似可求得；
（2）建立空间直角坐标系，设，并根据坐标分别求得平面与平面的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得，可得.
【详解】（1）作，垂足为，连接，如下图所示：

由点在平面的射影落在边上可得平面，
又平面，所以，
因为，且平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为为矩形，，可得，
由，可得，
所以，；
由可得，即；
即的长度为1.
（2）根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，并设，
可得，所以；
易知，，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，取，则，
即，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，取，则，
即，
因此可得，整理可得，
解得（舍）或；
因此，即可得.
所以的长度为.
17．(1)①分布列答案见解析；②.
(2)
【分析】（1）①分析可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列；
②求出的值，分析可知，随机变量，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）求出的表达式，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，求出的可能取值，即可得出结论.
【详解】（1）解：当时，
①由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
则，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
②由题意可知，一次试验中事件发生的概率为，
所以，，则.
（2）解：一次试验中，事件发生的概率为，
所以，次试验中事件恰好发生次的概率，
令，其中，则，
当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
所以，当时，函数取最大值，
因为且时，，
故当时，取最大值.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；
（2）设直线的方程为，设点、，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：在双曲线中，，，则，
该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，
所以，，解得，
因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）解：因为，，
由可得，则，
当直线与轴重合时，则点、，，，
此时，，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
由（1）可得，则或，
由韦达定理可得，则，
，即，解得，则，
所以，.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程.
（2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果.
（3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可.
【详解】（1）由题意知，，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：由，，
①当时，，则在上单调递增，
②当时，设，则，
所以，故在上单调递减，
又，，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即.
所以当时，，即；当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得.
故存在唯一的极值点.
（3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，
因为，所以，
由题意知，，
即，
化简得，，
设，，
由题存在，使得，
所以，.
又
设，，则，
所以在上单调递减，
故，
当时，，；当时，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒成立（能成立）问题解题策略：
方法1：分离参数法求最值：
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔；
方法2：根据不等式恒成立（能成立）构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．