人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习，共5页。试卷主要包含了化简以下各式，如图，向量a－b等于，对于菱形ABCD，给出下列各式，故点P在边AC所在的直线上等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量
【答案】C
【解析】a－b必定与a或b是平行向量．
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的有( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝0B． eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))D． eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0
【答案】ABD
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝0， eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))．A，B，D正确．
3．化简以下各式：① eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))；② eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))；③ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))；④ eq \(NQ,\s\up6(→))＋ eq \(QP,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))－ eq \(MP,\s\up6(→))．结果为零向量的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】① eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＝0；
② eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))－( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝0；
③ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝0；
④ eq \(NQ,\s\up6(→))＋ eq \(QP,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))－ eq \(MP,\s\up6(→))＝ eq \(NP,\s\up6(→))＋ eq \(PM,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(NM,\s\up6(→))－ eq \(NM,\s\up6(→))＝0．
4．在△ABC中， eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则 eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．a＋bB．－a＋(－b)
C．a－bD．b－a
【答案】B
【解析】如图，∵ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋b，∴ eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \(BA,\s\up6(→))＝－a－b．
5．如图，向量a－b等于( )
A．3e1－e2B．e1－3e2
C．－3e1＋e2D．－e1＋3e2
【答案】B
【解析】如图，设a－b＝ eq \(AB,\s\up6(→))，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－3e2，∴a－b＝e1－3e2．故选B．
6．对于菱形ABCD，给出下列各式：
① eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))；②| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|；③| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))|；④| eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))|．
其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】由菱形的图形，可知向量 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))|＝2| eq \(AB,\s\up6(→))|，| eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))|＝2| eq \(BC,\s\up6(→))|，且| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))|，即③正确；因为| eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|，| eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3．故选C．
7．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上D．点P在直线AC上
【答案】D
【解析】因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))，所以 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AP,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AP,\s\up6(→))，即 eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AP,\s\up6(→))．故点P在边AC所在的直线上．
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝__________．
【答案】0 2
【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又因为a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1．因为a与－b共线，所以|a－b|＝2．
9．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(OD,\s\up6(→))＝__________．(用a，b，c表示)
【答案】a－b＋c
【解析】由题意，在平行四边形ABCD中， eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b．所以 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b．所以 eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝a－b＋c．
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．
解：如图，作向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝a，向量 eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量 eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b；
作向量 eq \(AC,\s\up6(→))＝a，则 eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋a．
B级——能力提升练
11．在平面上有A，B，C三点，设m＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，n＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【解析】以 eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则m＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，n＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C．
12．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的有( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
【答案】ABD
【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|．故A，B，D均正确．
13．已知| eq \(OA,\s\up6(→))|＝a，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝b(a＞b)，| eq \(AB,\s\up6(→))|的取值范围是[5，15]，则a＝__________，b＝__________．
【答案】10 5
【解析】因为a－b＝|| eq \(OA,\s\up6(→))|－| eq \(OB,\s\up6(→))||≤| eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|≤| eq \(OA,\s\up6(→))|＋| eq \(OB,\s\up6(→))|＝a＋b，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝15，,a－b＝5，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝5.))
14．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|的值为__________．
【答案】5或9
【解析】当a与b方向相同时，|a－b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点， eq \(CM,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b．求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB．又因为M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM．
(1)因为 eq \(CM,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AM,\s\up6(→))，
又因为| eq \(AM,\s\up6(→))|＝| eq \(CM,\s\up6(→))|，所以|a－b|＝|a|．
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))，
所以a＋(a－b)＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋( eq \(CM,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(CM,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))，
因为| eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|，
所以|a＋(a－b)|＝|b|．