高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时一课一练

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1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝ eq \f(13,14)，则c等于( )
A．2B．3
C．4D．9
【答案】B
【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cs C＝82＋72－2×8×7× eq \f(13,14)＝9，所以c＝3．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝ eq \r(13)，则b＝( )
A．1B．2
C．3D． eq \r(13)
【答案】A
【解析】由余弦定理知( eq \r(13))2＝a2＋b2－2ab cs 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b× eq \f(1,2)，解得b＝1．故选A．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝ab，则∠C＝( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【答案】C
【解析】∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，则由余弦定理可得，cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－ eq \f(1,2)．∵0＜C＜180°，∴C＝120°．故选C．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 eq \f(c2－a2－b2,2ab)＞0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形
【答案】C
【解析】由 eq \f(c2－a2－b2,2ab)＞0，得－cs C＞0，所以cs C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A． eq \f(4,3)B．8－4 eq \r(3)
C．1D． eq \f(2,3)
【答案】A
【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4．由余弦定理，得a2＋b2－c2＝2ab cs C＝2ab cs 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝ eq \f(4,3)．
6．在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1＜a＜3B．1＜a＜5
C． eq \r(3)＜a＜ eq \r(5)D．不确定
【答案】C
【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜ eq \r(5)．若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞ eq \r(3)．故 eq \r(3)＜a＜ eq \r(5)．
7．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2 eq \r(3)，cs A＝ eq \f(\r(3),2)，则b的值可以是( )
A．2B．3
C．4D．2 eq \r(2)
【答案】AC
【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝__________．
【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2ac cs B＝a2＋c2－2ac cs 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
9．在△ABC中，边a，b，c满足a＋b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为__________．
【答案】3 eq \r(3)
【解析】a＋b＝6，∠C＝120°，∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝9，当且仅当a＝b时取等号．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2ab cs 120°＝(a＋b)2－ab＝36－ab≥36－9＝27，∴c≥3 eq \r(3)，则边c的最小值为3 eq \r(3)．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解：由余弦定理的推论，得cs A＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝ eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝ eq \f(2,3)．
设所求的中线长为x，由余弦定理知x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2))) eq \s\up12(2)＋AB2－2· eq \f(AC,2)·AB cs A＝42＋92－2×4×9× eq \f(2,3)＝49，解得x＝7．
所以所求中线长为7．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有( )
A．a2＝b2＋c2－2bc cs AB．cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
C．a＝b cs C＋c cs BD．a cs B＋b cs A＝sin C
【答案】ABC
【解析】在A中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A，故A正确；在B中，由余弦定理的推论，得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，故B正确；在C中，a＝b cs C＋c cs B⇔a＝b× eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c× eq \f(a2＋c2－b2,2ac)⇔2a2＝2a2，故C正确；在D中，a cs B＋b cs A＝a× eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋b× eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝c≠sin C，故D错误．故选ABC．
12．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是( )
A．(1，7)B．(1，5)
C．( eq \r(7)，5)D．( eq \r(3)，5)
【答案】C
【解析】∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，∴cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，且cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＞0．∴7＜a2＜25，
∴ eq \r(7)＜a＜5．
13．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为__________．
【答案】4
【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝ eq \f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cs C＝ eq \f(3,5)．根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cs C＝52＋32－2×5×3× eq \f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三边长为4．
14．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cs C＋c＝2b，则∠A＝__________，△ABC的周长的取值范围是__________．
【答案】 eq \f(π,3) (2，3]
【解析】a＝1，2cs C＋c＝2b，∴2× eq \f(1＋b2－c2,2b)＋c＝2b，整理可得，b2＋c2－1＝bc，即b2＋c2－a2＝bc，则cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(1,2)．∵A∈(0，π)，∴A＝ eq \f(π,3)．∵b2＋c2－1＝bc，∴(b＋c)2＝3bc＋1≤3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2))) eq \s\up12(2)＋1．∴b＋c≤2．∵b＋c＞a＝1，∴2＜a＋b＋c≤3，即△ABC的周长范围为(2，3]．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs C＋(cs A－ eq \r(3)sin A)·cs B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cs (A＋B)＋cs A cs B－ eq \r(3)sin A·cs B＝0，即有sin A sin B－ eq \r(3)sin A cs B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－ eq \r(3)cs B＝0．
又因为cs B≠0，所以tan B＝ eq \r(3)．
又因为0＜B＜π，所以B＝ eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2ac cs B．
因为a＋c＝1，cs B＝ eq \f(1,2)，
所以b2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,4)．
又因为0＜b＜1，
所以 eq \f(1,4)≤b2＜1，即 eq \f(1,2)≤b＜1．