数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课后复习题

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课后复习题，共6页。

1．在△ABC中，若( eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))·( eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，则△ABC( )
A．是正三角形B．是直角三角形
C．是等腰三角形D．形状无法确定
【答案】C
【解析】由条件知 eq \(CA,\s\up6(→))2＝ eq \(CB,\s\up6(→))2，即| eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|，即△ABC为等腰三角形．
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 NB．10 eq \r(2) N
C．20 eq \r(2) ND．10 eq \r(3) N
【答案】B
【解析】|F1|＝|F2|＝|F|cs 45°＝10 eq \r(2)．当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 eq \r(2) N．
3．已知正方形ABCD的边长为1，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于( )
A．0B． eq \r(2)
C．2D．2 eq \r(2)
【答案】C
【解析】如图，a＋b＝c，则|a－b＋c|＝|2a|．又∵|a|＝1，∴|a－b＋c|＝2．故选C．
4．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°B．60°
C．90°D．120°
【答案】D
【解析】由题意作出示意图(如图)，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°．
5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为( )
A．5 eq \r(3) NB．5 N
C．10 ND．5 eq \r(2) N
【答案】A
【解析】由题意可知对应向量如图所示．由于α＝60°，∴F2的大小为|F合|·sin 60°＝10× eq \f(\r(3),2)＝5 eq \r(3) N．故选A．
6．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，则 eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，t)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，t)．由AC⊥BC知 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．
7．(多选)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20，15)移到点B(7，0)．其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量，下列结论正确的有( )
A．F1对该质点做的功为－28
B．F2对该质点做的功为23
C．F1，F2的合力为F＝5i－4j
D．F1，F2的合力F对该质点做的功为－5
【答案】ABCD
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，所以WF1＝F1· eq \(AB,\s\up6(→))＝－13－15＝－28，A正确；WF2＝F2· eq \(AB,\s\up6(→))＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23，B正确；F＝F1＋F2＝(5，－4)，C正确；WF＝F· eq \(AB,\s\up6(→))＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5，D正确．
8．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))＝4，则y与x的函数关系式为__________．
【答案】y＝－ eq \f(1,2)x＋2
【解析】 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，则y＝－ eq \f(1,2)x＋2．
9．在四边形ABCD中，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－2)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(7，4)， eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是__________．
【答案】30
【解析】 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，6)＝ eq \(AD,\s\up6(→))，又因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝(4，－2)·(3，6)＝0，所以四边形ABCD为矩形．又因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(42＋(－2)2)＝2 eq \r(5)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(32＋62)＝3 eq \r(5)，所以S＝| eq \(AB,\s\up6(→))|×| eq \(BC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(5)×3 eq \r(5)＝30．
10．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设 eq \(AD,\s\up6(→))＝a， eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b， eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b．而| eq \(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(1＋4－2a·b)＝ eq \r(5－2a·b)＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝ eq \f(1,2)．又因为| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，即AC＝ eq \r(6)．
B级——能力提升练
11．如图，用两根分别长5 eq \r(2)米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A处所受力的大小为( )
A．(120 eq \r(2)－50 eq \r(6))NB．(150 eq \r(2)－50 eq \r(6))N
C．(120 eq \r(3)－50 eq \r(2))ND．(150 eq \r(3)－50 eq \r(2))N
【答案】B
【解析】如图，由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角．设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|Fa|cs 45°＋|Fb|cs 60°＝G＝100①，且|Fa|·sin 45°＝|Fb|sin 60°②．由①②解得|Fa|＝150 eq \r(2)－50 eq \r(6)．故选B．
12．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的重心
B．若 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝ eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))· eq \(AB,\s\up6(→))＝( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的内心
【答案】AC
【解析】选项A，设D为BC的中点，由于 eq \(OA,\s\up6(→))＝－( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))＝－2· eq \(OD,\s\up6(→))，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．选项B，向量 eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)， eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)分别表示在边AC和AB上取单位向量 eq \(AC′,\s\up6(→))和 eq \(AB′,\s\up6(→))，记它们的差是向量 eq \(B′C′,\s\up6(→))，则当 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上．同理由 eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C， eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))是以 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的一条对角线，而| eq \(AB,\s\up6(→))|是该平行四边形的另一条对角线， eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))＝0表示这个平行四边形是菱形，即| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|，同理有| eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|，于是O为△ABC的外心．选项D，由 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))得 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝0，∴ eq \(OB,\s\up6(→))·( eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴ eq \(OB,\s\up6(→))⊥ eq \(CA,\s\up6(→))．同理可证 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))⊥ eq \(AB,\s\up6(→))．∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．
13．如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为__________．
【答案】(3，3)
【解析】设P(x，y)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，4)， eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)．由于 eq \(OB,\s\up6(→))∥ eq \(OP,\s\up6(→))，所以x－y＝0． eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)， eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，由于 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(AC,\s\up6(→))，所以6(x－4)＋2y＝0．可得x＝3，y＝3，故点P的坐标是(3，3)．
14．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为__________，力F做的功为__________．
【答案】25e 1 000 J
【解析】∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cs 60° e＝25e．∵力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．
15．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．
解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得
－G＝F1＋F2，|F1|＝ eq \f(|G|,cs θ)，|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝ eq \f(|G|,cs θ)，|F1|≤2|G|，得cs θ≥ eq \f(1,2)．
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．