2022-2023学年山东省淄博五中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省淄博五中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设f(x)=ln(2x+1)，则f′(x)=( )
A. 12x+1B. 22x+1C. −12x+1D. −22x+1
2.两个等差数列，它们前n项和之比为5n+32n−1，则两个数列的第9项之比是( )
A. 53B. 85C. 83D. 74
3.函数y=x−sinx，x∈[π2,π]的最大值是( )
A. π2−1B. π−1C. πD. π+1
4.已知数列{an}的前n项和Sn=an−1(a是不为0的常数)，那么数列{an}( )
A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列或者是等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列
5.已知等比数列{an}满足an>0，n=1，2，…，且a5⋅a2n−5=22n(n≥3)，则当n≥1时，lg2a1+lg2a3+…+lg2a2n−1=( )
A. n(2n−1)B. (n+1)2C. n2D. (n−1)2
6.若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离为( )
A. 1B. 2C. 22D. 3
7.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得 aman=4a1，则1m+4n的最小值为( )
A. 32B. 53C. 94D. 256
8.设a=e，b=πlnπ，c=3ln3，则a，b，c大小关系是( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3=12，S12>0，a7<0，则( )
A. S5=60B. −4C. a6>0D. Sn<0时，n的最小值为13
10.已知f(x)=lnxx，下列说法正确的是( )
A. f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1
B. f(x)的单调递减区间为(e,+∞)
C. f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1
D. f(x)的单调递增区间为(e,+∞)
11.已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7=S11，则( )
A. a10>0B. 当n=9时，Sn最大
C. S17>0D. S19>0
12.已知数列{an}的首项为4，且满足2(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)，则( )
A. {ann}为等差数列B. {an}为递增数列
C. {ann}为等比数列D. {an2n+1}的前n项和Tn=n2+n2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若an=(−1)n⋅(2n−1)，则数列{an}的前21项和S21= ．
14.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+2x的图象在点(1,m)处的切线，则a+b= ______．
15.等比数列{an}中，已知对任意自然数n,a1+a2+…+an=2n−1，则a12+a22+…+an2= ______．
16.若数列{an}满足a1=1，an+an+1=(14)n(n∈N*)，设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n−1an，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn−4nan= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知下列数列{an}的前n项和Sn的公式Sn=n2−3n+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由．
18.(本小题12分)
(1)已知a≤1−xx+lnx对于x∈[12,2]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f(x)=aex−2x2，若不等式f′(x)≥0在R上恒成立，试求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列{bn}中，b1=2，点P(bn,bn+1}在一次函数y=x+2的图象上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
(2)设cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
(1)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R.在区间(−23,−13)内是减函数，求a的取值范围；
(2)已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x.讨论f(x)的单调性．
21.(本小题12分)
某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.0510=1.629，1.310=13.786，1.510=57.665)
22.(本小题12分)
已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n(n∈N*)
(Ⅰ)求证：数列{an+12}为等比数列；
(Ⅱ)记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=ln(2x+1)，
∴f′(x)=22x+1．
故选：B．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设两个等差数列分别为{an}，{bn}，它们前n项和分别为{Sn}，{Tn}，则
由题意，a9b9=172(a1+a17)172(b1+b17)=S17T17=5×17+32×17−1=83
故选：C．
利用等差数列的通项性质与求和公式，可得a9b9=172(a1+a17)172(b1+b17)=S17T17，利用条件可得结论．
本题考查等差数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：y′=1−csx≥0，
∴函数y=x−sinx在区间[π2,π]递增，
∴y最大值=π−sinπ=π，
故选：C．
先求出函数的导数，得到函数在区间上递增，从而求出函数的最大值．
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
4.【答案】C
【解析】解：①当a=1时，Sn=0，
且a1=a−1=0，
an=Sn−Sn−1=(an−1)−(an−1−1)=0，(n>1)
an−1=Sn−1−Sn−2=(an−1−1)−(an−2−1)=0，
∴an−an−1=0，
∴数列{an}是等差数列．
②当a≠1时，
a1=a−1，
an=Sn−Sn−1=(an−1)−(an−1−1)=an−an−1，(n>1)
an−1=Sn−1−Sn−2=(an−1−1)−(an−2−1)=an−1−an−2，(n>2)
∴anan−1=a，(n>2)
∴数列{an}是等比数列．
综上所述，数列{an}或是等差数列或是等比数列．
故选：C．
判断该数列是什么数列，可把通项公式求出，再进行判断．
本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．
5.【答案】C
【解析】解：∵a5⋅a2n−5=22n=an2，an>0，
∴an=2n，
∴lg2a1+lg2a3+…+lg2a2n−1=lg2(a1a3…a2n−1)=lg221+3+…+(2n−1)=lg22n2=n2．
故选：C．
先根据a5⋅a2n−5=22n，求得数列{an}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．
本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：过点P作y=x−2的平行直线，且与曲线
y=x2−lnx相切，
设P(x0,x02−lnx0)则有
k=y′|x=x0=2x0−1x0．
∴2x0−1x0=1，∴x0=1或x0=−12(舍去)．
∴P(1,1)，
∴d=|1−1−2| 1+1= 2．
故选：B．
设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x−2的最小距离．
本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．
由a7=a6+2a5求得q=2，代入 aman=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】
解：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，
可得a1q6=a1q5+2a1q4，
∴q2−q−2=0，
显然q>0，
∴q=2．
∵ aman=4a1，
∴qm+n−2=16，
∴2m+n−2=24，∴m+n=6，
∴1m+4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4mn)≥16×(5+4)=32，
当且仅当nm=4mn时，即m=2,n=4时等号成立．
故1m+4n的最小值等于32，
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：考查函数f(x)=xlnx，则f′(x)=lnx−1(lnx)2，f(x)在(e,+∞)上单调递增，
∵e<3<π，∴f(e)∴a故选：A．
构造函数f(x)=xlnx，根据f(x)的单调性可得f( e)本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：∵a3=12，∴S5=5a3=60，
故选项A正确；
∵S12=6(a6+a7)>0，a7<0，
∴a6>0，
故选项C正确；
∵a6+a7=a3+3d+a3+4d=24+7d>0，a7=12+4d<0，
∴−247故选项B错误；
∵S12>0，S13=13a7<0，
且n≥13时，an<0，
故当n≥13时，Sn<0恒成立，
故选项D正确；
故选：ACD．
由等差数列的通项公式、前n项和公式及性质对四个选项依次判断即可．
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及性质，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于AC，f(1)=ln11=0，由f(x)=lnxx，得f′(x)=1−lnxx2，
所以切线的斜率k=f′(1)=1−ln112=1，所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1，所以A错误，C正确，
对于BD，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)>0，得1−lnx>0，解得0由f′(x)<0，得1−lnx<0，解得x>e，
所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以B正确，D错误．
故选：BC．
对于AC，利用导数的几何意义求解即可，对于BD，求导后由导数的正负可求出函数的单调区间．
本题主要考查考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和，数列的函数特征，考查运算求解能力，属于拔高题．
由递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d>0，再逐一判断各选项．
【解答】
解：∵递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=S11，
∴d<07a1+7×62d=11a1+11×102d，解得a1=−172d>0，
∴a10=a1+9d=−172d+9d=12d<0，故A错误；
Sn=na1+n(n−1)2d=−17d2n+d2n2−d2n=d2(n−9)2−812d．
∴当n=9时，Sn最大，故B正确；
S17=17a1+17×162d=17×(−172d)+136d=−8.5d>0，故C正确；
S19=19a1+19×182d=19×(−172d)+171d=9.5d<0，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】BCD
【解析】解：由2(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)可得an+1n+1=2ann(n∈N*)，所以数列{ann}为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确，
ann=4×2n−1⇒an=n⋅2n+1，由于{n}，{2n}均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以{an}为递增数列，B正确，
an2n+1=n，设{an2n+1}的前n项和为Tn，则Tn=n2+n2，D正确．
故选：BCD．
根据递推关系可得{ann}为等比数列，进而可判断A、C、B，根据等差数列求和公式即可判断D．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】−21
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，分组求和法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用数列的通项公式和分组求和法即可求出结果．
【解答】
解：由于an=(−1)n⋅(2n−1)，
则S21=(−1+3)+(−5+7)+(−9+11)+…+(−41)
=2×10−41=−21．
故答案为：−21．
14.【答案】5
【解析】解：由题可得，f′(x)=a−2x2，
因为直线x+y=b是函数f(x)=ax+2x的切线，
所以f′(1)=a−2=−1，
解得a=1，
所以f(x)=x+2x，
又f(1)=1+2=3，
所以切点为(1,3)，
又因为切点(1,3)在切线x+y=b上，
所以b=4，
所以a+b=5．
故答案为：5．
利用函数的导数与切线的关系求解．
本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】13(4n−1)
【解析】解：∵等比数列{an}中，对任意自然数n,a1+a2+…+an=2n−1，
∴a1=2−1=1，
an=Sn−Sn−1=(2n−1)−(2n−1−1)=2n−1，n≥2，
n=1时，上式成立，
∴an=2n−1，
∴an2=22n−2=4n−1，
∴a12+a22+…+an2=1×(1−4n)1−4=13(4n−1)．
故答案为：13(4n−1)．
推导出an=2n−1，从而an2=22n−2=4n−1，由此能求出a12+a22+…+an2的值．
本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审，注意等比数列的性质的合理运用．
16.【答案】n
【解析】解：由Sn=a1+a2⋅4+a3⋅42+…+an⋅4n−1 ①
得4⋅sn=4⋅a1+a2⋅42+a3⋅43+…+an−1⋅4n−1+an⋅4n ②
①+②得：5sn=a1+4(a1+a2)+42⋅(a2+a3)+…+4n−1⋅(an−1+an)+an⋅4n
=a1+4×14+42⋅(14)2+…+4n−1⋅(14)n−1+4n⋅an
=1+1+1+…+1+4n⋅an
=n+4n⋅an．
所以5sn−4n⋅an=n．
故答案为n．
先对Sn=a1+a2⋅4+a3⋅42+…+an⋅4n−1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5Sn−4nan的表达式．
本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．
17.【答案】解：(1)根据题意，当n=1时，a1=S1=−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−3n+1−(n−1)2+3(n−1)−1=2n−4，
又a1=−1不满足上式，所以an=−1,n=12n−4,n≥2；
(2)由(1)得a1=−1，a2=0，a3=2，
因为a3−a2=2≠a2−a1=1，
所以数列{an}不是等差数列．
【解析】(1)根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求解即可；
(2)根据等差数列的定义即可得解．
本题考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a≤1−xx+lnx对于x∈[12,2]恒成立，
令g(x)=1−xx+lnx，x∈[12,2]，
只需a≤g(x)min即可，
则g′(x)=−x−(1−x)x2+1x=x−1x2，
当x∈(1,2]时，g′(x)>0，当x∈[12,1)时，g′(x)<0，
所以g(x)=1−xx+lnx在x∈(1,2]上单调递增，在x∈[12,1)上单调递减，
所以当x=1时，g(x)=1−xx+lnx取得极小值，也是最小值，
所以g(x)min=g(1)=0，
故a≤0，则实数a的取值范围是(−∞,0]；
(2)f′(x)=aex−4x，故aex−4x≥0在R上恒成立，
即a≥4xex在R上恒成立，
令h(x)=4xex，
只需a≥h(x)max，
则h′(x)=4−4xex，
当x<1时，h′(x)>0，h(x)=4xex单调递增，
当x>1时，h′(x)<0，h(x)=4xex单调递减，
故h(x)=4xex在x=1处取得极大值，也是最大值，
故h(x)max=h(1)=4e，
所以a≥4e，故a的取值范围为[4e,+∞)．
【解析】(1)令g(x)=1−xx+lnx，x∈[12,2]，只需a≤g(x)min即可，求导得到g(x)的单调性和极值，最值，进而得到答案；
(2)求导后，转化为a≥4xex在R上恒成立，令h(x)=4xex，只需a≥h(x)max，求导后求出h(x)的单调性，进而求出h(x)max=h(1)=4e，从而得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由2an=Sn+2得：2a1=S1+2；即2a1=a1+2，解得a1=2．
同理可得：2a2=S2+2；2a1=a1+a2+2，解得a2=4；
由2an=Sn+2┅①得2an−1=Sn−1+2┅②；(n≥2)
将两式相减得：2an−2an−1=Sn−Sn−1；2an−2an−1=an；an=2an−1(n≥2)
所以：当n≥2时：an=a22n−2=2n；n=1时也成立．
故：an=2n；
又由等差数列{bn}中，b1=2，点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上．
得：bn+1=bn+2，且b1=2，所以：bn=2+2(n−1)=2n； (6分)
(2)cn=anbn=n2n+1；
数列{cn}的前n项和Tn=22+2×23+3×24+…+n⋅2n+1，
2Tn=23+2×24+…+(n−1)×2n+1+n⋅2n+2，
∴−Tn=22+23+…+2n+1−n⋅2n+2=4(2n−1)2−1−n⋅2n+2，
可得：Tn=(n−1)⋅2n+2+4． (12分)
【解析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的通项公式可得bn．
(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+ax2+x+1在(−23,−13)内是减函数，
∴当f′(x)=3x2+2ax+1≤0对∀x∈(−23,−13)恒成立，
则2a≥−3x−1x 对∀x∈(−23,−13)恒成立，
设h(x)=−3x−1x=−(3x+1x)，x∈(−23,−13)，
根据对勾函数的单调性知，
h(x)在(−23,− 33)上单调递减，在(− 33,−13)上单调递增，
且h(−23)=72，h(−13)=4，则h(x)<4，
∴2a≥4⇒a≥2．
∴a的取值范围是[2,+∞)．
(2)∵f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立；
当a>0时，f′(x)<0⇒x<−lna，
∴当a≤0时，函数单调递减；
当a>0时，函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞) 上单调递增．
【解析】(1)求导后利用分离参数法即可求出a的取值范围；
(2)对函数求导，分类讨论不同情况a时的导函数情况，即可得出f(x)的单调性．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
21.【答案】解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9
=1.310−10.3≈42.62(万元)，
银行贷款本息和：10(1+5%)10≈16.29(万元)，
故甲方案纯利：42.62−16.29=26.33(万元)．
②乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)
=10×1+10×92×0.5
=32.50(万元)；
银行本息和：1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]
=1.05×1.05 10−10.05
≈13.21(万元)
故乙方案纯利：32.50−13.21=19.29(万元)．
综上可知，甲方案更好．
【解析】甲方案是等比数列，甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=1.310−10.3≈42.63(万元)，银行贷款本息和：10(1+5%)10≈16.29(万元).乙方案是等差数列，乙方案获利：1+(1+0.5)=(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+10×92×0.5=32.50(万元)；银行本息和：1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×1.05 10−10.05≈13.21(万元).由此能做出正确判断．
这是一道比较常见的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
22.【答案】(Ⅰ)证明：∵3an=2Sn+n，
∴3an−1=2Sn−1+n−1(n≥2)，
两式相减得：3(an−an−1)=2an+1(n≥2)，
∴an=3an−1+1(n≥2)，
∴an+12=3(an−1+12)，
又3a1=2S1+1=2a1+1，得a1+12=32，
∴数列{an+12}是以32为首项，3为公比的等比数列；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得an+12=32⋅3n−1=12⋅3n，
∴an=12⋅3n−12=12(3n−1)，
∴Sn=3an−n2=3n+1−34−n2，
∴Tn=S1+S2+⋯+Sn=14(32+33+…+3n+3n+1)−3n4−12(1+2+…+n)
=14⋅32(1−3n)1−3−3n4−(1+n)n4
=3n+2−98−n2+4n4．
【解析】(Ⅰ)由3an=2Sn+n，类比可得3an−1=2Sn−1+n−1(n≥2)，两式相减，整理即证得数列{an+12}是以32为首项，3为公比的等比数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an+12=12⋅3n⇒an=12(3n−1)，Sn=3n+1−34−n2，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得Tn的表达式．
本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于中等题．